22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
知识点1 二次函数y=ax2的图象及画法
1用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础,且图象能直观反映出两个变量之间的函数关系.请用描点法画函数y=x2的图象,并按照要求回答下列问题:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 4.5 0.5 0 2 4.5 …
(1)补齐上表;
(2)在所给坐标系内描出表格中的点;
(3)将上述各点用平滑曲线连起来;
(4)由图象可知:当x=4时,y=________;当y<2时,x的取值范围是________________.
解:(1)当x=-2时,y=×(-2)2=2;
当x=1时,y=×12=0.5;
答案:2 0.5
(2)描点如图;
(3)如图:
(4)由图象可知:
当x=4时,y=8;
当y<2时,-2
答案:8 -2知识点2 二次函数y=ax2的图象和性质
2(2024·福州期中)抛物线y=mx2与y=-x2的形状相同,而开口方向相反,则m的值是(D)
A.- B.2 C.-2 D.
3[教材再开发·P31思考变式]抛物线y=2x2,y=-2x2,y=x2共有的性质是(B)
A.开口向下
B.对称轴是y轴
C.都有最高点
D.y随x的增大而增大
4(2024·绍兴期中)已知二次函数y=x2,则其图象经过下列点中的(A)
A.(-2,4) B.(-2,-4)
C.(2,-4) D.(4,2)
5(2024·恩施期中)二次函数y=-2x2的图象大致是(D)
6抛物线y=-3x2的开口 向下 .(填“向上”或“向下”)
7如果抛物线y=(m-1)x2有最低点,那么m的取值范围为 m>1 .
8如图,点A,B分别在二次函数y=x2的图象上,且线段AB⊥y轴,若AB=6.
(1)求点A,B的坐标.
(2)求三角形AOB的面积.
解:(1)∵AB⊥y轴,AB=6,∴点A的横坐标为-3,
∴y=(-3)2=9,
∴点A的坐标为(-3,9).
∵点A,B关于y轴对称,
∴点B的坐标为(3,9).
(2)∵点A(-3,9),点B(3,9),
∴S△AOB=×6×9=27.
练易错 确定函数的最值时,忽略了顶点处的取值而出错
9已知二次函数y=-x2,在-3≤x<2内,函数的最小值为 -9 ,最大值为 0 .
10(2024·洛阳期中)关于函数y=4x2的性质表述正确的是(B)
A.无论x为何实数,y的值总为正数
B.它的图象关于y轴对称
C.当x的值增大时,y的值也增大
D.它的图象在第一、三象限内
11若二次函数y=(a-6)x2有最小值,则a的值可以是(A)
A.9 B.6 C.0 D.-1
12已知点(x1,y1)和(x2,y2)在抛物线y=-x2上,若x1A.y1y2
C.y1=y2 D.无法确定
13如图,三个二次函数图象中,分别对应的是①y=a1x2;②y=a2x2;③y=a3x2,则a1,a2,a3的大小关系为(A)
A.a1>a2>a3 B.a1C.a1>a3>a2 D.a114(2024·廊坊质检)已知某抛物线的开口向下,且该抛物线的对称轴为y轴,经过原点O,请写出一个满足条件的抛物线的解析式: y=-2x2(答案不唯一) .
15若点A(2,-4)在函数y=ax2的图象上,则a= -1 .
16(2024·南通质检)已知y=(k+2)是关于x的二次函数.
(1)若函数有最小值,求k的值;
(2)判断点P(-,6)是否在(1)中的函数图象上.
解:(1)∵y=(k+2)是关于x的二次函数,∴k+2≠0,k2-7=2,∴k=±3.
∵二次函数有最小值,则k+2>0,
∴k=3.
(2)∵y=5x2,
∴当x=-时,y=5x2=5×=15≠6,∴点P(-,6)不在此函数图象上.
17新趋势·推理能力、运算能力
如图,已知一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A(1,m)和B(-2,4).
(1)求两个函数的解析式;
(2)求△AOB的面积.
解:(1)把点B(-2,4)代入二次函数y=ax2得4a=4,a=1,
∴二次函数的解析式为y=x2;
把点A(1,m)代入二次函数解析式得m=1,
把点A(1,1),B(-2,4)代入一次函数y=kx+b得,
,解得,
故一次函数的解析式为y=-x+2.
(2)一次函数的解析式y=-x+2中,令x=0,得y=2,
∴一次函数图象与y轴交于点C(0,2),
∴S△AOB=S△AOC+S△COB=×2×1+×2×2=3.22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
知识点1 二次函数y=ax2的图象及画法
1用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础,且图象能直观反映出两个变量之间的函数关系.请用描点法画函数y=x2的图象,并按照要求回答下列问题:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 4.5 0.5 0 2 4.5 …
(1)补齐上表;
(2)在所给坐标系内描出表格中的点;
(3)将上述各点用平滑曲线连起来;
(4)由图象可知:当x=4时,y=________;当y<2时,x的取值范围是________________.
知识点2 二次函数y=ax2的图象和性质
2(2024·福州期中)抛物线y=mx2与y=-x2的形状相同,而开口方向相反,则m的值是( )
A.- B.2 C.-2 D.
3[教材再开发·P31思考变式]抛物线y=2x2,y=-2x2,y=x2共有的性质是( )
A.开口向下
B.对称轴是y轴
C.都有最高点
D.y随x的增大而增大
4(2024·绍兴期中)已知二次函数y=x2,则其图象经过下列点中的( )
A.(-2,4) B.(-2,-4)
C.(2,-4) D.(4,2)
5(2024·恩施期中)二次函数y=-2x2的图象大致是( )
6抛物线y=-3x2的开口 .(填“向上”或“向下”)
7如果抛物线y=(m-1)x2有最低点,那么m的取值范围为 .
8如图,点A,B分别在二次函数y=x2的图象上,且线段AB⊥y轴,若AB=6.
(1)求点A,B的坐标.
(2)求三角形AOB的面积.
练易错 确定函数的最值时,忽略了顶点处的取值而出错
9已知二次函数y=-x2,在-3≤x<2内,函数的最小值为 ,最大值为 .
10(2024·洛阳期中)关于函数y=4x2的性质表述正确的是( )
A.无论x为何实数,y的值总为正数
B.它的图象关于y轴对称
C.当x的值增大时,y的值也增大
D.它的图象在第一、三象限内
11若二次函数y=(a-6)x2有最小值,则a的值可以是( )
A.9 B.6 C.0 D.-1
12已知点(x1,y1)和(x2,y2)在抛物线y=-x2上,若x1A.y1y2
C.y1=y2 D.无法确定
13如图,三个二次函数图象中,分别对应的是①y=a1x2;②y=a2x2;③y=a3x2,则a1,a2,a3的大小关系为( )
A.a1>a2>a3 B.a1C.a1>a3>a2 D.a114(2024·廊坊质检)已知某抛物线的开口向下,且该抛物线的对称轴为y轴,经过原点O,请写出一个满足条件的抛物线的解析式: .
15若点A(2,-4)在函数y=ax2的图象上,则a= .
16(2024·南通质检)已知y=(k+2)是关于x的二次函数.
(1)若函数有最小值,求k的值;
(2)判断点P(-,6)是否在(1)中的函数图象上.
17新趋势·推理能力、运算能力
如图,已知一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A(1,m)和B(-2,4).
(1)求两个函数的解析式;
(2)求△AOB的面积.