22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
知识点1 二次函数y=ax2+k的图象和性质
1(2024·商丘期中)二次函数y=-x2+1的图象大致是(D)
2关于二次函数y=2x2+4,下列说法错误的是(B)
A.它的开口方向向上
B.当x=0时,y有最大值4
C.它的对称轴是y轴
D.顶点坐标为(0,4)
3[教材再开发·P33练习变式]若抛物线y=-2x2+2经过两点A(-1,y1)和B(3,y2),则下列关系式正确的是(D)
A.0C.y2<04二次函数y=-x2-1的顶点坐标是 (0,-1) .
5(2024·北京期中)一个二次函数过点(0,1),且开口向上,该二次函数可以为 y=x2+1(答案不唯一) .
知识点2 二次函数y=ax2+k与y=ax2的关系
6(2024·上海质检)抛物线y=2x2,y=-2x2,y=2x2+1共有的性质是(B)
A.开口向上 B.对称轴都是y轴
C.都有最高点 D.顶点相同
7要得到抛物线y=x2-4,可将抛物线y=x2(B)
A.向上平移4个单位长度
B.向下平移4个单位长度
C.向右平移4个单位长度
D.向左平移4个单位长度
8将抛物线y=x2+1绕原点O旋转180°,则旋转后抛物线的解析式为(A)
A.y=-x2-1 B.y=-x2+1
C.y=x2-1 D.y=-x2
9[教材再开发·P32例2变式]在同一直角坐标系中,画出下列三条抛物线:
y=x2,y=x2+3,y=x2-3.
(1)观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)请你说出抛物线y=x2+c的开口方向,对称轴及顶点坐标.
解:(1)将y=x2的图象分别向上和向下平移3个单位长度,就分别得到y=x2+3与y=x2-3的图象.
抛物线y=x2,y=x2+3与y=x2-3开口都向上,对称轴都是y轴,顶点坐标依次是(0,0),(0,3)和(0,-3).
(2)抛物线y=x2+c的开口向上,对称轴是y轴(或直线x=0),顶点坐标为(0,c).
练易错 比较函数值大小时,没有分类讨论而出错
10抛物线y=2x2+1上有两点A(x1,y1),B(x2,y2).嘉嘉说:“若0A.嘉嘉正确,琪琪错误
B.琪琪正确,嘉嘉错误
C.他们说的都正确
D.他们说的都不正确
11已知抛物线y=2x2-5,下列说法正确的是(B)
A.开口向下 B.关于y轴对称
C.顶点是(2,-5) D.y有最大值-5
12(2023·西安质检)已知抛物线y=(m+3)x2+1开口向下,则m的取值范围为(B)
A.m>-3 B.m<-3
C.m≠-3 D.任意实数
13点(x1,y1),(x2,y2)均在抛物线y=x2-1上,下列说法正确的是(D)
A.若y1=y2,则x1=x2
B.若x1=-x2,则y1=-y2
C.若0y2
D.若x1y2
14函数y=ax2+c与y=-ax+c(a≠0)在同一坐标系内的图象是图中的(C)
15如图,两条抛物线y1=-x2+1,y2=-x2-1与分别经过点(-2,-1),(2,-3),且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为(A)
A.8 B.6 C.10 D.4
16设点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)是抛物线y=-x2+b上的三点,则y1,y2,y3从小到大排列为 y317(2024·广州期末)已知函数y=(m+3)+5是关于x的二次函数.
(1)求m的值;
(2)函数图象的两点A(1,y1),B(5,y2),若满足y1>y2,则此时m的值是多少
解:(1)∵函数y=(m+3)+5是关于x的二次函数,
∴,解得m=1或m=-5.
(2)∵该函数的对称轴为y轴,点A(1,y1),B(5,y2),且y1>y2,
∴在对称轴右侧,y随x的增大而减小,
∴m+3<0,解得m<-3,∴m=-5.
18新趋势·推理能力、几何直观
如图,将二次函数y=x2-4位于x轴下方的图象沿x轴向上翻折,得到一个新函数的图象(图中的实线).
(1)当x=-3时,新函数值为________,当x=1时,新函数值为________;
(2)当x=________时,新函数有最小值;
(3)当新函数中函数y随x的增大而增大时,自变量x的取值范围是______;
(4)当直线y=a与新函数图象有两个公共点时,a的取值范围为______.
解:(1)把x=-3代入y=x2-4,
得y=9-4=5,把x=1代入y=x2-4,
得y=1-4=-3,∴当x=-3时,新函数值为5,当x=1时,新函数值为3;
答案:5 3
(2)观察题中图象可得,
当x=-2或2时,新函数有最小值0;
答案:-2或2
(3)观察题中图象可得,
当新函数中函数y随x的增大而增大时,自变量x的取值范围是-22;
答案:-22
(4)观察题中图象可得,
当直线y=a与新函数图象有两个公共点时,a的取值范围为a>4或a=0.
答案:a>4或a=022.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
知识点1 二次函数y=ax2+k的图象和性质
1(2024·商丘期中)二次函数y=-x2+1的图象大致是( )
2关于二次函数y=2x2+4,下列说法错误的是( )
A.它的开口方向向上
B.当x=0时,y有最大值4
C.它的对称轴是y轴
D.顶点坐标为(0,4)
3[教材再开发·P33练习变式]若抛物线y=-2x2+2经过两点A(-1,y1)和B(3,y2),则下列关系式正确的是( )
A.0C.y2<04二次函数y=-x2-1的顶点坐标是 .
5(2024·北京期中)一个二次函数过点(0,1),且开口向上,该二次函数可以为 .
知识点2 二次函数y=ax2+k与y=ax2的关系
6(2024·上海质检)抛物线y=2x2,y=-2x2,y=2x2+1共有的性质是( )
A.开口向上 B.对称轴都是y轴
C.都有最高点 D.顶点相同
7要得到抛物线y=x2-4,可将抛物线y=x2( )
A.向上平移4个单位长度
B.向下平移4个单位长度
C.向右平移4个单位长度
D.向左平移4个单位长度
8将抛物线y=x2+1绕原点O旋转180°,则旋转后抛物线的解析式为( )
A.y=-x2-1 B.y=-x2+1
C.y=x2-1 D.y=-x2
9[教材再开发·P32例2变式]在同一直角坐标系中,画出下列三条抛物线:
y=x2,y=x2+3,y=x2-3.
(1)观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)请你说出抛物线y=x2+c的开口方向,对称轴及顶点坐标.
练易错 比较函数值大小时,没有分类讨论而出错
10抛物线y=2x2+1上有两点A(x1,y1),B(x2,y2).嘉嘉说:“若0A.嘉嘉正确,琪琪错误
B.琪琪正确,嘉嘉错误
C.他们说的都正确
D.他们说的都不正确
11已知抛物线y=2x2-5,下列说法正确的是( )
A.开口向下 B.关于y轴对称
C.顶点是(2,-5) D.y有最大值-5
12(2023·西安质检)已知抛物线y=(m+3)x2+1开口向下,则m的取值范围为( )
A.m>-3 B.m<-3
C.m≠-3 D.任意实数
13点(x1,y1),(x2,y2)均在抛物线y=x2-1上,下列说法正确的是( )
A.若y1=y2,则x1=x2
B.若x1=-x2,则y1=-y2
C.若0y2
D.若x1y2
14函数y=ax2+c与y=-ax+c(a≠0)在同一坐标系内的图象是图中的( )
15如图,两条抛物线y1=-x2+1,y2=-x2-1与分别经过点(-2,-1),(2,-3),且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为( )
A.8 B.6 C.10 D.4
16设点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)是抛物线y=-x2+b上的三点,则y1,y2,y3从小到大排列为 .
17(2024·广州期末)已知函数y=(m+3)+5是关于x的二次函数.
(1)求m的值;
(2)函数图象的两点A(1,y1),B(5,y2),若满足y1>y2,则此时m的值是多少
18新趋势·推理能力、几何直观
如图,将二次函数y=x2-4位于x轴下方的图象沿x轴向上翻折,得到一个新函数的图象(图中的实线).
(1)当x=-3时,新函数值为________,当x=1时,新函数值为________;
(2)当x=________时,新函数有最小值;
(3)当新函数中函数y随x的增大而增大时,自变量x的取值范围是______;
(4)当直线y=a与新函数图象有两个公共点时,a的取值范围为______.
