第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
知识点1 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
1二次函数y=3(x-2)2的大致图象是(D)
2抛物线y=-(x+1)2的顶点坐标为(C)
A.(1,0) B.(0,1)
C.(-1,0) D.(0,-1)
3关于二次函数y=2(x-3)2的图象和性质,下列说法正确的是(B)
A.开口方向向下,顶点坐标为(0,3)
B.当x=3时,函数有最小值0
C.当x<3时,y随x的增大而增大
D.开口方向向下,对称轴为y轴
4(2024·宁波质检)已知二次函数y=-(x+h)2,当x<-2时,y随x的增大而增大,当x>-2时,y随x的增大而减小,则h的值为(D)
A.-4 B.-2 C.4 D.2
5已知A(-4,y1),B(-3,y2),C(3,y3)三点都在二次函数y=-2(x+2)2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为 y36已知抛物线y=(x-2)2经过点A(-2,b).
(1)求b的值;
(2)判断点B(10,8)是否在此抛物线上.
解:(1)∵抛物线y=(x-2)2经过点A(-2,b),∴b=(-2-2)2=16;
(2)∵当x=10时,y=(10-2)2=64≠8,
∴点B(10,8)不在此抛物线上.
知识点2 抛物线y=a(x-h)2与y=ax2的关系
7将抛物线y=3x2平移得到抛物线y=3(x+2)2,则这个平移过程正确的是(C)
A.向上平移2个单位长度
B.向下平移2个单位长度
C.向左平移2个单位长度
D.向右平移2个单位长度
8抛物线y=3(x-2)2的开口方向是 向上 ,顶点坐标为 (2,0) ,对称轴是 直线x=2 .当x ≥2 时,y随x的增大而增大;当x= 2 时,y有最 小 值是 0 ,它可以由抛物线y=3x2向 右 平移 2 个单位长度得到.
9将抛物线y=ax2向左平移后所得新抛物线的对称轴是直线x=-2,且新抛物线经过点(-1,-3),则a的值是 -3 .
10[教材再开发·P34思考变式]在同一平面直角坐标系中,画出二次函数y=x2与y=(x-2)2的图象.
(1)根据所画图象,填写下表:
抛物线 开口 方向 对称 轴 顶点 坐标 增减 性
y=x2
y=(x-2)2
(2)根据图象分析这两个抛物线的关系.
解:在同一平面直角坐标系中,画出二次函数y=x2与y=(x-2)2的图象.
先列表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 2 0 2 …
y=(x-2)2 … 8 2 0 …
描点、连线,画出这两个函数的图象:
(1)根据所画图象,填写下表:
抛物线 开口 方向 对称 轴 顶点 坐标 增减 性
y=x2 开口 向上 y轴 (0,0) 当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大
y=(x- 2)2 开口 向上 直线 x=2 (2,0) 当x<2时,y随x的增大而减小;当x>2时,y随x的增大而增大
(2)把抛物线y=x2向右平移2个单位长度,就得到抛物线y=(x-2)2.
练易错 根据函数的最值确定对称轴时,忽视分类讨论而出错
11已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为(B)
A.3或6 B.1或6
C.1或3 D.4或6
12在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b与二次函数y=b(x-a)2的图象大致为(A)
13(2024·合肥质检)已知函数y=2(x-1)2,当-1≤x≤2时,y的最大值与最小值的和为(A)
A.8 B.10 C.2 D.0
14点A(-1,-2)在抛物线y=-(x-1)2上,点A,B关于该抛物线的对称轴对称,则B点坐标为 (3,-2) .
15在下列二次函数中:①y=4x2,②y=(x+1)2,③y=-x2+5,图象开口最大的是 ② (填序号).
16已知二次函数y=-(x+a)2,当x<-4时,y随x的增大而增大;当x>-4时,y随x的增大而减小,当x=0时,y的值是 -16 .
17已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为直线x=-2,与y轴交于点(0,2).
(1)求a和h的值;
(2)求该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式.
解:(1)∵对称轴为直线x=-2,
∴h=-2.
∵抛物线与y轴交于点(0,2),
∴a·22=2,∴a=.
(2)由(1)可知:该抛物线为y=(x+2)2,顶点坐标为(-2,0),
∴该抛物线关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为(2,0),
∴该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为y=(x-2)2.
18抛物线y=3(x-2)2与x轴交于点A,与y轴交于点B,求△AOB(O为坐标原点)的面积和周长.
解:∵抛物线y=3(x-2)2与x轴交于点A,与y轴交于点B,
∴令y=0,3(x-2)2=0,解得x=2,
令x=0,y=3×(0-2)2=12,
∴A(2,0),B(0,12),
∴OA=2,OB=12,
由勾股定理得:AB==2,
∴S△AOB=×2×12=12,
C△AOB=2+12+2=14+2.
19新趋势·模型观念、几何直观
如图,抛物线y=2(x-2)2与平行于x轴的直线交于点A,B,抛物线顶点为C,△ABC为等边三角形,求S△ABC.
解:过点B作BP⊥x轴于点P,
由抛物线y=2(x-2)2得C(2,0),
∴对称轴为直线x=2.
设B(m,2(m-2)2),∴CP=m-2.
∵AB∥x轴,∴AB=2m-4.
∵△ABC是等边三角形,
∴BC=AB=2m-4,∠BCP=∠ABC=60°,
∵BP⊥x轴,∴∠CBP=30°,
∴BC=2PC=2(m-2),
∴PB==(m-2),
∵PB=2(m-2)2,
∴(m-2)=2(m-2)2,
解得m=,m=2(不合题意,舍去),
∴AB=,BP=,
∴S△ABC=××=.第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
知识点1 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
1二次函数y=3(x-2)2的大致图象是( )
2抛物线y=-(x+1)2的顶点坐标为( )
A.(1,0) B.(0,1)
C.(-1,0) D.(0,-1)
3关于二次函数y=2(x-3)2的图象和性质,下列说法正确的是( )
A.开口方向向下,顶点坐标为(0,3)
B.当x=3时,函数有最小值0
C.当x<3时,y随x的增大而增大
D.开口方向向下,对称轴为y轴
4(2024·宁波质检)已知二次函数y=-(x+h)2,当x<-2时,y随x的增大而增大,当x>-2时,y随x的增大而减小,则h的值为( )
A.-4 B.-2 C.4 D.2
5已知A(-4,y1),B(-3,y2),C(3,y3)三点都在二次函数y=-2(x+2)2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为 .
6已知抛物线y=(x-2)2经过点A(-2,b).
(1)求b的值;
(2)判断点B(10,8)是否在此抛物线上.
知识点2 抛物线y=a(x-h)2与y=ax2的关系
7将抛物线y=3x2平移得到抛物线y=3(x+2)2,则这个平移过程正确的是( )
A.向上平移2个单位长度
B.向下平移2个单位长度
C.向左平移2个单位长度
D.向右平移2个单位长度
8抛物线y=3(x-2)2的开口方向是 ,顶点坐标为 ,对称轴是 .当x 时,y随x的增大而增大;当x= 时,y有最 值是 ,它可以由抛物线y=3x2向 平移 个单位长度得到.
9将抛物线y=ax2向左平移后所得新抛物线的对称轴是直线x=-2,且新抛物线经过点(-1,-3),则a的值是 .
10[教材再开发·P34思考变式]在同一平面直角坐标系中,画出二次函数y=x2与y=(x-2)2的图象.
(1)根据所画图象,填写下表:
抛物线 开口 方向 对称 轴 顶点 坐标 增减 性
y=x2
y=(x-2)2
(2)根据图象分析这两个抛物线的关系.
练易错 根据函数的最值确定对称轴时,忽视分类讨论而出错
11已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为( )
A.3或6 B.1或6
C.1或3 D.4或6
12在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b与二次函数y=b(x-a)2的图象大致为( )
13(2024·合肥质检)已知函数y=2(x-1)2,当-1≤x≤2时,y的最大值与最小值的和为( )
A.8 B.10 C.2 D.0
14点A(-1,-2)在抛物线y=-(x-1)2上,点A,B关于该抛物线的对称轴对称,则B点坐标为 .
15在下列二次函数中:①y=4x2,②y=(x+1)2,③y=-x2+5,图象开口最大的是 (填序号).
16已知二次函数y=-(x+a)2,当x<-4时,y随x的增大而增大;当x>-4时,y随x的增大而减小,当x=0时,y的值是 .
17已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为直线x=-2,与y轴交于点(0,2).
(1)求a和h的值;
(2)求该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式.
18抛物线y=3(x-2)2与x轴交于点A,与y轴交于点B,求△AOB(O为坐标原点)的面积和周长.
19新趋势·模型观念、几何直观
如图,抛物线y=2(x-2)2与平行于x轴的直线交于点A,B,抛物线顶点为C,△ABC为等边三角形,求S△ABC.
