第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
知识点1 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
1二次函数y=-3(x+1)2+2的图象的顶点坐标是( )
A.(-1,8) B.(1,8)
C.(-1,2) D.(1,-4)
2已知二次函数y=2(x-4)2+3,下列关于函数值的说法正确的是( )
A.最大值是4
B.最小值是4
C.最大值是3
D.最小值是3
3A(-,y1),B(1,y2),C(4,y3)三点都在二次函数y=-(x-2)2+k的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为( )
A.y1C.y34函数y=3(x+1)2-5的开口向 ,对称轴为直线x= ,顶点坐标为 ,当x 时y随x的增大而减小.
知识点2 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
5[教材再开发·P35例3变式]将抛物线y=-3x2先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到的抛物线的解析式为( )
A.y=-3(x+1)2+2
B.y=-3(x-1)2+2
C.y=-3(x+1)2-2
D.y=-3(x-1)2-2
6抛物线y=3x2向左平移5个单位长度,再向下平移1个单位长度,所得到的抛物线是 .
7(2024·北京质检)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=a(x-3)2-1经过点(4,-2).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)将该抛物线向上平移________个单位长度后,所得抛物线与x轴只有一个公共点.
知识点3 应用二次函数y=a(x-h)2+k解决实际问题
8在羽毛球比赛中,某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=-+的一部分(如图,水平地面为x轴,单位:米),则羽毛球到达最高点时离地面的距离是( )
A.1米 B.3米 C.5米 D.米
9有一座拱桥洞呈抛物线形状,这个桥洞的最大高度为16 m,跨度为40 m,现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中,则抛物线对应的函数关系式为 .
练易错 忽视二次函数的开口方向而漏解
10若抛物线的形状与y=x2相同,顶点是(-2,3),则满足条件的抛物线的解析式是 .
11(2024·扬州期中)已知二次函数y=-3(x+2)2-3,则下列说法正确的是( )
A.对称轴为直线x=2 B.顶点为(2,-3)
C.最大值是-3 D.开口向上
12在平面直角坐标系中,点A(-1,y1),B(m,y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上.若y1>y2,则m的取值范围是( )
A.m<-1 B.m>-1
C.m>3 D.-113已知二次函数y=a(x-2)2+a(a<0),当-1≤x≤4时,y的最小值为-10,则a的值为 .
14小聪看到一处喷水景观,喷出的水柱呈抛物线形状如图1,他对此展开研究,测得喷水头P距地面1 m,水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高,最高点距地面3.5 m;建立如图2所示的平面直角坐标系,设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k,其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离,y(m)是水柱距地面的高度.
(1)求抛物线的解析式;
(2)小聪站在水柱正下方且距喷水头P水平距离4 m,身高1.9 m的哥哥在水柱下方走动,当哥哥的头顶恰好接触到水柱时,求小聪与哥哥的水平距离.
15新趋势·推理能力、几何直观
如图,直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A,B.抛物线y=a(x-2)2+k经过A,B,并与x轴交于另一点C,其顶点为P,
(1)求a,k的值;
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点M,使△ABM的周长最小 若存在,求出△ABM的周长;若不存在,请说明理由;
(3)抛物线的对称轴上是否存在一点N,使△ABN是以AB为斜边的直角三角形 若存在,求出N点的坐标;若不存在,请说明理由.第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
知识点1 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
1二次函数y=-3(x+1)2+2的图象的顶点坐标是(C)
A.(-1,8) B.(1,8)
C.(-1,2) D.(1,-4)
2已知二次函数y=2(x-4)2+3,下列关于函数值的说法正确的是(D)
A.最大值是4
B.最小值是4
C.最大值是3
D.最小值是3
3A(-,y1),B(1,y2),C(4,y3)三点都在二次函数y=-(x-2)2+k的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为(B)
A.y1C.y34函数y=3(x+1)2-5的开口向 上 ,对称轴为直线x= -1 ,顶点坐标为 (-1,-5) ,当x <-1 时y随x的增大而减小.
知识点2 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
5[教材再开发·P35例3变式]将抛物线y=-3x2先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到的抛物线的解析式为(A)
A.y=-3(x+1)2+2
B.y=-3(x-1)2+2
C.y=-3(x+1)2-2
D.y=-3(x-1)2-2
6抛物线y=3x2向左平移5个单位长度,再向下平移1个单位长度,所得到的抛物线是 y=3(x+5)2-1 .
7(2024·北京质检)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=a(x-3)2-1经过点(4,-2).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)将该抛物线向上平移________个单位长度后,所得抛物线与x轴只有一个公共点.
解:(1)将(4,-2)代入y=a(x-3)2-1得,a×(4-3)2-1=-2,解得a=-1,
∴该抛物线的解析式为y=-(x-3)2-1;
(2)∵y=-(x-3)2-1,
∴该抛物线的顶点为(3,-1).
∵要使抛物线与x轴只有一个公共点,即要求顶点在x轴上,∴顶点纵坐标为0,
∴将该抛物线向上平移1个单位长度后,所得抛物线与x轴只有一个公共点.
答案:1
知识点3 应用二次函数y=a(x-h)2+k解决实际问题
8在羽毛球比赛中,某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=-+的一部分(如图,水平地面为x轴,单位:米),则羽毛球到达最高点时离地面的距离是(D)
A.1米 B.3米 C.5米 D.米
9有一座拱桥洞呈抛物线形状,这个桥洞的最大高度为16 m,跨度为40 m,现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中,则抛物线对应的函数关系式为 y=-(x-20)2+16 .
练易错 忽视二次函数的开口方向而漏解
10若抛物线的形状与y=x2相同,顶点是(-2,3),则满足条件的抛物线的解析式是 y=-(x+2)2+3或y=(x+2)2+3 .
11(2024·扬州期中)已知二次函数y=-3(x+2)2-3,则下列说法正确的是(C)
A.对称轴为直线x=2 B.顶点为(2,-3)
C.最大值是-3 D.开口向上
12在平面直角坐标系中,点A(-1,y1),B(m,y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上.若y1>y2,则m的取值范围是(D)
A.m<-1 B.m>-1
C.m>3 D.-113已知二次函数y=a(x-2)2+a(a<0),当-1≤x≤4时,y的最小值为-10,则a的值为 -1 .
14小聪看到一处喷水景观,喷出的水柱呈抛物线形状如图1,他对此展开研究,测得喷水头P距地面1 m,水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高,最高点距地面3.5 m;建立如图2所示的平面直角坐标系,设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k,其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离,y(m)是水柱距地面的高度.
(1)求抛物线的解析式;
(2)小聪站在水柱正下方且距喷水头P水平距离4 m,身高1.9 m的哥哥在水柱下方走动,当哥哥的头顶恰好接触到水柱时,求小聪与哥哥的水平距离.
解:(1)由题意知,抛物线顶点为(5,3.5),设抛物线的解析式为y=a(x-5)2+3.5,
将(0,1)代入得1=25a+3.5,
解得a=-,
∴y=-(x-5)2+3.5=-x2+x+1,
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+1;
(2)当y=1.9时,-x2+x+1=1.9,
解得x=1或x=9,
∴他与哥哥的水平距离为4-1=3(m)或9-4=5(m),
答:当哥哥的头顶恰好接触到水柱时,小聪与哥哥的水平距离是3 m或5 m.
15新趋势·推理能力、几何直观
如图,直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A,B.抛物线y=a(x-2)2+k经过A,B,并与x轴交于另一点C,其顶点为P,
(1)求a,k的值;
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点M,使△ABM的周长最小 若存在,求出△ABM的周长;若不存在,请说明理由;
(3)抛物线的对称轴上是否存在一点N,使△ABN是以AB为斜边的直角三角形 若存在,求出N点的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A,B,
令x=0,则-3×0+3=3,
令y=0,则-3x+3=0,解得x=1,
∴B(0,3),A(1,0).
∵抛物线y=a(x-2)2+k经过A,B,
∴把B(0,3),A(1,0)代入抛物线y=a(x-2)2+k,得,
解得.
(2)由(1)知抛物线y=(x-2)2-1,
∴对称轴为直线x=2,
∴C(3,0).
如图,连接BC交对称轴于点M,连接MA,
∵A,C两点关于对称轴对称,∴AM=MC,
∴BM+AM=BM+MC.
∵两点之间线段最短,
∴此时BM+AM最小,为BC,
∴此时△ABM周长最小,
∵B(0,3),C(3,0),
∴设直线BC解析式为y=mx+3,把C(3,0)代入得3m+3=0,解得m=-1,
∴直线BC解析式为y=-x+3,当x=2时,y=-2+3=1,∴M(2,1),
∴存在满足条件的M点,此时BC==3,且AB==,
∴△ABM的周长最小为3+.
(3)设N(2,n),
∵B(0,3),A(1,0),∴AB2=12+32=10,
NB2=22+(n-3)2=n2-6n+13,
NA2=(2-1)2+n2=1+n2,
当△ABN是以AB为斜边的直角三角形时,由勾股定理得:NA2+NB2=AB2,
1+n2+n2-6n+13=10,
2n2-6n+4=0,
n2-3n+2=0,
(n-1)(n-2)=0,
n1=1,n2=2,
∴N(2,1)或N(2,2).
