单元提优测评卷(二)(第二十二章)
（90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共30分)
1下列函数中,是二次函数的是 (B)
A.y=2x+1 B.y=x2+1 C.y=(x-1)2-x2 D.y=
2已知抛物线y=x2-bx+c与x轴交于点A(1,0),B(-3,0),则关于x的方程x2-bx+c=0的解是 (C)
A.x1=-1,x2=-3 B.x1=-1,x2=3 C.x1=1,x2=-3 D.x1=1,x2=3
3若点A(0,y1),B(1,y2),C(-2,y3)是抛物线y=x2-2x+1上的三点,则 (D)
A.y3>y2>y1 B.y1>y2>y3 C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2
4将抛物线y=x2-4x-4向左平移3个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到抛物线的解析式为 (D)
A.y=(x+1)2-13 B.y=(x-5)2-5 C.y=(x-5)2-13 D.y=(x+1)2-5
5如图,在Rt△AOB中,AB⊥OB,且AB=OB=3,设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S,则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的 (D)
6一次函数y=acx+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (B)
7“直播带货”已经成为一种热门的销售方式,某主播代销某一品牌的电子产品(这里代销指厂家先免费提供货源,待货物销售后再进行结算,未售出的由厂家负责处理).经调查发现每件售价99元时,日销售量为300件,当每件电子产品每下降1元时,日销售量会增加3件.已知每售出1件电子产品,该主播需支付厂家和其他费用共50元,设每件电子产品售价为x(元),主播每天的利润为w(元),则w与x之间的函数解析式为 (C)
A.w=(99-x)[300+3(x-50)] B.w=(x-50)[300+3(x-99)]
C.w=(x-50)[300+3(99-x)] D.w=(x-50)[300-3(99-x)]
8如图是拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O,B,以点O为原点,水平直线OB为x轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01(x-20)2+4,桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面,且AC⊥x轴,若OA=5米,则桥面离水面的高度AC为 (C)
A.5米 B.4米 C.2.25米 D.1.25米
9若二次函数y=x2-2x-m与x轴无交点,则一次函数y=(m+1)x+m-1的图象不经过 (A)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
10已知抛物线y=(x-1)2-4的图象如图①所示,现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象其余部分不变,得到一个新图象如图②所示,当直线y=x+b与图象②恰有三个公共点时,则b的值为 (A)
A.1或 B.1 C.2 D.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11抛物线y=2x2+2(k-1)x-k(k为常数)与x轴交点的个数是 2 .
12抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,其与x轴的一个交点坐标为(-3,0),对称轴为x=-1,则当y<0时,x的取值范围是 -313向空中发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y米,且时间与高度的函数表达式为y=ax2+bx+c(a≠0),若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等,则炮弹所在高度最高的时间为 9.5 秒.
14已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系:
x … 1 3 5 …
y … 1.5 1.5 -2.6 …
则a-b+c= -2.6 .
15已知抛物线y=2x2-8与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,则△ABC的面积为 16 .
16二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,若关于x的一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则m的最大值为 7 .
17如图,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,则不等式ax2+mx+c>n的解集是 x<-3或x>1 .
18二次函数y=x2+x的图象如图所示,点A1,A2,A3,A4,…,A2 022在二次函数y=x2+x位于第一象限的图象上.点B1,B2,B3,B4,…,B2 022在y轴的正半轴上,△OA1B1,△B1A2B2,…,△B2 021A2 022B2 022都是等腰直角三角形,则B2 021A2 022= 2 022 .
三、解答题(共46分)
19(6分)已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(-1,0)和(2,0),与y轴的交点坐标为(0,-2),求这个二次函数的解析式.
解:由题意,设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-2),
把(0,-2)代入上式,得-2=-2a,
解得a=1,
∴y=(x+1)(x-2),
即y=x2-x-2.
20
(8分)已知抛物线y=a(x-h)2+k的图象如图所示,根据图象解答下列问题:
(1)写出抛物线的解析式;
(2)写出y随x的增大而增大的自变量x的取值范围;
(3)当自变量x取何值时,函数y有最大值 最大值为多少
解:(1)根据题中图象可知,抛物线的顶点坐标为(2,2),且过点(1,0),
设顶点式y=a(x-2)2+2,将(1,0)代入得,0=a(1-2)2+2,解得a=-2,
∴抛物线的解析式为y=-2(x-2)2+2;
(2)根据题中函数图象可知,在对称轴直线x=2的左侧,y随x的增大而增大,即x<2时,y随x的增大而增大;
(3)根据题中图象可知,抛物线的顶点坐标为(2,2),且开口向下,
∴当x=2时,y有最大值,最大值为2.
21
(8分)已知,抛物线y=ax2+bx+c,过A(-1,0),B(3,0),C(0,-3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在该抛物线的对称轴上找一点P,使得PA+PC的值最小,并求出点P的坐标.
解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),
把C(0,-3)代入得a·(0+1)·(0-3)=-3,解得a=1,
∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3;
(2)抛物线的对称轴为直线x=1,点A与点B关于直线x=1对称,
连接BC交直线x=1于点P,连接PA,则PA=PB,
∵PA+PC=PB+PC=BC,∴此时PA+PC的值最小.
设直线BC的解析式为y=mx+n,
把B(3,0),C(0,-3)代入得,解得,
∴直线BC的解析式为y=x-3,当x=1时,y=1-3=-2,
则满足条件的点P坐标为(1,-2).
22(12分)某地有一个直径为 14 米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心 2 米处达到最高,高度为5米 ,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示,以水平方向为 x 轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式;
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高 1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内
(3)经检修评估规划,政府决定将喷水设施改造成标志性建筑,做出如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到 42 米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.
解:(1)由题意可知,水柱所在抛物线(第一象限部分)的顶点为(2,5),
∴设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=a(x-2)2+5(a≠0),
将(7,0)代入y=a(x-2)2+5,得:25a+5=0,解得:a=-,
∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为:y=-(x-2)2+5(0(2)当y=1.8时,有-(x-2)2+5=1.8,解得x1=-2(舍去),x2=6,
∴为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心6米以内.
(3)当x=0时,y=-(0-2)2+5=,
设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-x2+bx+,
∵水池的直径扩大到 42 米,∴抛物线经过(21,0),
将(21,0)代入得:-×212+21b+=0,解得b=4,∴y=-x2+4x+,
∵y=-x2+4x+=-(x-10)2+,∴当x=10时,y取得最大值,
∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米.
23
(12分)已知一个二次函数的图象经过A(1,0),B(3,0),C(0,-3)三点,顶点为D.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求经过A,D两点的直线的解析式;
(3)设P为直线AD上一点,且以A,P,C,B为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标.
解:(1)∵二次函数的图象经过A(1,0),B(3,0),C(0,-3)三点,
∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-3),将C(0,-3)代入得,-3=3a,解得a=-1,
∴二次函数的解析式为y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3.
(2)∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,∴D(2,1).
设经过A,D两点的直线的解析式为y=kx+b,将A(1,0),D(2,1)代入得解得
∴经过A,D两点的直线的解析式为y=x-1.
(3)如图,
∵AB=2,
①当AC为对角线时,PC=AB=2,PC∥AB,
∵C(0,-3),∴P(-2,-3);
②当AB为对角线时,∵CO=3,AO=1,CA=BP1,CA∥BP1,B(3,0),∴P1(4,3).
综上所述,点P的坐标为(-2,-3)或(4,3).
【附加题】(10分)
图(1)是一个九拱桥,桥拱呈抛物线形,且每个拱的形状、水平高度完全相同.在第一个拱中,当水平宽度AB=12 m时,水面与拱底水平,且水面与拱顶的最大距离为4 m.如图(2),以水平面为x轴,点A为原点建立平面直角坐标系.
(1)求第一个拱所在的抛物线的解析式;
(2)若河水上涨,水面离拱顶最大距离为1 m,求拱内水面的宽度;
(3)若相邻两个拱底的距离为2 m,第二个拱、第三个拱……沿着x轴依次向右排列,请直接写出第九个拱所在的抛物线的解析式.
解:(1)设第一个拱所在抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,根据题意得,A(0,0),B(12,0),图象顶点坐标为(6,4),∴解得∴抛物线的解析式为y=-x2+x;
(2)当y=3时,-x2+x=3,解得x1=3,x2=9,∴拱内水面的宽度为9-3=6(米);
(3)y=-x2+x=-(x-6)2+4,
∴第九个拱所在的抛物线的解析式为y=-(x-6-14×8)2+4=-(x-118)2+4.单元提优测评卷(二)(第二十二章)
（90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共30分)
1下列函数中,是二次函数的是 ( )
A.y=2x+1 B.y=x2+1 C.y=(x-1)2-x2 D.y=
2已知抛物线y=x2-bx+c与x轴交于点A(1,0),B(-3,0),则关于x的方程x2-bx+c=0的解是 ( )
A.x1=-1,x2=-3 B.x1=-1,x2=3 C.x1=1,x2=-3 D.x1=1,x2=3
3若点A(0,y1),B(1,y2),C(-2,y3)是抛物线y=x2-2x+1上的三点,则 ( )
A.y3>y2>y1 B.y1>y2>y3 C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2
4将抛物线y=x2-4x-4向左平移3个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到抛物线的解析式为 ( )
A.y=(x+1)2-13 B.y=(x-5)2-5 C.y=(x-5)2-13 D.y=(x+1)2-5
5如图,在Rt△AOB中,AB⊥OB,且AB=OB=3,设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S,则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的 ( )
6一次函数y=acx+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( )
7“直播带货”已经成为一种热门的销售方式,某主播代销某一品牌的电子产品(这里代销指厂家先免费提供货源,待货物销售后再进行结算,未售出的由厂家负责处理).经调查发现每件售价99元时,日销售量为300件,当每件电子产品每下降1元时,日销售量会增加3件.已知每售出1件电子产品,该主播需支付厂家和其他费用共50元,设每件电子产品售价为x(元),主播每天的利润为w(元),则w与x之间的函数解析式为 ( )
A.w=(99-x)[300+3(x-50)] B.w=(x-50)[300+3(x-99)]
C.w=(x-50)[300+3(99-x)] D.w=(x-50)[300-3(99-x)]
8如图是拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O,B,以点O为原点,水平直线OB为x轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01(x-20)2+4,桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面,且AC⊥x轴,若OA=5米,则桥面离水面的高度AC为 ( )
A.5米 B.4米 C.2.25米 D.1.25米
9若二次函数y=x2-2x-m与x轴无交点,则一次函数y=(m+1)x+m-1的图象不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
10已知抛物线y=(x-1)2-4的图象如图①所示,现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象其余部分不变,得到一个新图象如图②所示,当直线y=x+b与图象②恰有三个公共点时,则b的值为 ( )
A.1或 B.1 C.2 D.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11抛物线y=2x2+2(k-1)x-k(k为常数)与x轴交点的个数是 .
12抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,其与x轴的一个交点坐标为(-3,0),对称轴为x=-1,则当y<0时,x的取值范围是 .
13向空中发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y米,且时间与高度的函数表达式为y=ax2+bx+c(a≠0),若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等,则炮弹所在高度最高的时间为 秒.
14已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系:
x … 1 3 5 …
y … 1.5 1.5 -2.6 …
则a-b+c= .
15已知抛物线y=2x2-8与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,则△ABC的面积为 .
16二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,若关于x的一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则m的最大值为 .
17如图,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,则不等式ax2+mx+c>n的解集是 .
18二次函数y=x2+x的图象如图所示,点A1,A2,A3,A4,…,A2 022在二次函数y=x2+x位于第一象限的图象上.点B1,B2,B3,B4,…,B2 022在y轴的正半轴上,△OA1B1,△B1A2B2,…,△B2 021A2 022B2 022都是等腰直角三角形,则B2 021A2 022= .
三、解答题(共46分)
19(6分)已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(-1,0)和(2,0),与y轴的交点坐标为(0,-2),求这个二次函数的解析式.
20
(8分)已知抛物线y=a(x-h)2+k的图象如图所示,根据图象解答下列问题:
(1)写出抛物线的解析式;
(2)写出y随x的增大而增大的自变量x的取值范围;
(3)当自变量x取何值时,函数y有最大值 最大值为多少
21
(8分)已知,抛物线y=ax2+bx+c,过A(-1,0),B(3,0),C(0,-3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在该抛物线的对称轴上找一点P,使得PA+PC的值最小,并求出点P的坐标.
22(12分)某地有一个直径为 14 米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心 2 米处达到最高,高度为5米 ,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示,以水平方向为 x 轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式;
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高 1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内
(3)经检修评估规划,政府决定将喷水设施改造成标志性建筑,做出如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到 42 米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.
23
(12分)已知一个二次函数的图象经过A(1,0),B(3,0),C(0,-3)三点,顶点为D.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求经过A,D两点的直线的解析式;
(3)设P为直线AD上一点,且以A,P,C,B为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标.
【附加题】(10分)
图(1)是一个九拱桥,桥拱呈抛物线形,且每个拱的形状、水平高度完全相同.在第一个拱中,当水平宽度AB=12 m时,水面与拱底水平,且水面与拱顶的最大距离为4 m.如图(2),以水平面为x轴,点A为原点建立平面直角坐标系.
(1)求第一个拱所在的抛物线的解析式;
(2)若河水上涨,水面离拱顶最大距离为1 m,求拱内水面的宽度;
(3)若相邻两个拱底的距离为2 m,第二个拱、第三个拱……沿着x轴依次向右排列,请直接写出第九个拱所在的抛物线的解析式.
