第二十二章 二次函数
一、选择题
1抛物线y=x2-1的顶点坐标是 (B)
A.(0,1) B.(0,-1)
C.(1,0) D.(-1,0)
2如表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y -1 -0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是 (C)
A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3
3若抛物线y=x2+2mx+9与x轴只有一个交点,则m的值为 (D)
A.3 B.-3 C.±3 D.±3
4已知a<-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=3x2-2的图象上,则 (D)
A.y1C.y25已知二次函数y=2 020x2+2 021x+2 024的图象上有两点A(x1,2 023)和B(x2,2 023),则当x=x1+x2时,二次函数的值是 (C)
A.2 020 B.2 021 C.2 024 D.2 023
6长为20 cm,宽为10 cm的矩形,四个角上剪去边长为x cm的小正方形,然后把四边折起来,作成底面为ycm2的无盖的长方体盒子,则y与x的关系式为 (C)
A.y=(10-x)(20-x)(0B.y=10×20-4x2(0C.y=(10-2x)(20-2x)(0D.y=200+4x2(07(2024·邹平期末)在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和y=-mx2+2x+2的图象可能是 (D)
8如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=8 cm,点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边形PABQ的面积最小值为 (D)
A.16 cm2 B.19 cm2 C.12 cm2 D.15 cm2
二、填空题
9若y=(m+2)+(m-2)x+m是关于x的二次函数,则m的值为 2 .
10将抛物线y=2x2平移,使顶点移动到点P(-3,1)的位置,那么平移后所得新抛物线的解析式是 y=2(x+3)2+1 .
11从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(米)与小球运动时间t(秒)的关系式是h=30t-5t2,小球运动中的最大高度是 45 米.
12张师傅去年开了一家超市,今年2月份开始盈利,3月份盈利5 000元,5月份盈利达到7 200元,从3月到5月,设每月盈利的平均增长率都是x.则根据题意可列方程为 5 000(1+x)2=7 200 .
13如图,Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y=ax2上,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为 (,2) .
三、解答题
14已知在同一平面直角坐标系中,存在关于x的一元二次方程(1-m)x2+2x-7=0(m为常数,m≠1)有两个相等的实数根,若二次函数y=(1-m)x2+2x-7(m为常数,m≠1)与一次函数y=kx+7(k为常数,k≠0)交于x轴的正半轴.
(1)求m,k的值;
(2)求二次函数与一次函数的所有交点的坐标.
解:(1)∵一元二次方程(1-m)x2+2x-7=0有两个相等的实数根,
∴Δ=22-4(1-m)×(-7)=0,解得m=,
∴该二次函数的解析式为y=-x2+2x-7,当y=-x2+2x-7=0时,
解得x1=x2=7,
∴二次函数y=(1-m)x2+2x-7与一次函数y=kx+7的交点坐标为(7,0),把(7,0)代入y=kx+7得0=7k+7,解得k=-1;
(2)由(1)知二次函数的解析式为y=-x2+2x-7,一次函数的解析式为y=-x+7,
联立,
解得或,∴二次函数与一次函数的所有交点的坐标为(7,0),(14,-7).
15如图,已知二次函数y=ax2+2x+c图象经过点A(-1,0)和点C(0,3).
(1)求该二次函数的解析式;
(2)结合函数图象,直接写出:当-1解:(1)将点A和点C的坐标代入函数解析式,
得,解得,
所以二次函数的解析式为y=-x2+2x+3;
(2)抛物线的对称轴为x=1,
∵-1∴当x=1时,y取得最大值为4,
当x=-1时,y=0,
当x=2时,y=3,
∴函数y的取值范围为016抛物线的对称轴x=1,与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,点A,C的坐标分别是(-1,0),(0,1.5).
(1)求此抛物线的函数关系式;
(2)若点P是此抛物线上位于x轴上方的一个动点,求△ABP面积的最大值;
(3)在(2)中当△ABP的面积取最大值时,此抛物线位于x轴下方是否存在一点Q,使△ABQ与△ABP的面积相等 如果有,求出该点坐标;若没有,请说明理由.
解:(1)∵点A(-1,0)、B关于对称轴x=1对称,
∴点B(3,0),∴抛物线的函数关系式可设为y=a(x+1)(x-3),
∵点C(0,1.5)在抛物线y=a(x+1)(x-3)上,∴-3a=1.5,解得a=-,
∴抛物线的函数关系式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+x+;
(2)设点P(m,n),则n=-m2+m+.
∵点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点,
∴S△ABP=×(3+1)(-m2+m+)
=-m2+2m+3
=-(m-1)2+4,
∴当m=1时,S△ABP取到最大值为4,
∴△ABP面积的最大值为4;
(3)存在,理由如下:
∵点Q是抛物线位于x轴下方一点,
∴S△ABQ=(3+1)×(-yQ)=-2yQ.
∵S△ABQ=S△ABP=4,
∴-2yQ=4,∴yQ=-2,
∴-+xQ+=-2,
整理得-2xQ-7=0,
解得xQ=1+2或xQ=1-2,
∴点Q的坐标为(1+2,-2)或(1-2,-2).第二十二章 二次函数
一、选择题
1抛物线y=x2-1的顶点坐标是 ( )
A.(0,1) B.(0,-1)
C.(1,0) D.(-1,0)
2如表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y -1 -0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是 ( )
A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3
3若抛物线y=x2+2mx+9与x轴只有一个交点,则m的值为 ( )
A.3 B.-3 C.±3 D.±3
4已知a<-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=3x2-2的图象上,则 ( )
A.y1C.y25已知二次函数y=2 020x2+2 021x+2 024的图象上有两点A(x1,2 023)和B(x2,2 023),则当x=x1+x2时,二次函数的值是 ( )
A.2 020 B.2 021 C.2 024 D.2 023
6长为20 cm,宽为10 cm的矩形,四个角上剪去边长为x cm的小正方形,然后把四边折起来,作成底面为ycm2的无盖的长方体盒子,则y与x的关系式为 ( )
A.y=(10-x)(20-x)(0B.y=10×20-4x2(0C.y=(10-2x)(20-2x)(0D.y=200+4x2(07(2024·邹平期末)在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和y=-mx2+2x+2的图象可能是 ( )
8如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=8 cm,点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边形PABQ的面积最小值为 ( )
A.16 cm2 B.19 cm2 C.12 cm2 D.15 cm2
二、填空题
9若y=(m+2)+(m-2)x+m是关于x的二次函数,则m的值为 .
10将抛物线y=2x2平移,使顶点移动到点P(-3,1)的位置,那么平移后所得新抛物线的解析式是 .
11从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(米)与小球运动时间t(秒)的关系式是h=30t-5t2,小球运动中的最大高度是 米.
12张师傅去年开了一家超市,今年2月份开始盈利,3月份盈利5 000元,5月份盈利达到7 200元,从3月到5月,设每月盈利的平均增长率都是x.则根据题意可列方程为 .
13如图,Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y=ax2上,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为 .
三、解答题
14已知在同一平面直角坐标系中,存在关于x的一元二次方程(1-m)x2+2x-7=0(m为常数,m≠1)有两个相等的实数根,若二次函数y=(1-m)x2+2x-7(m为常数,m≠1)与一次函数y=kx+7(k为常数,k≠0)交于x轴的正半轴.
(1)求m,k的值;
(2)求二次函数与一次函数的所有交点的坐标.
15如图,已知二次函数y=ax2+2x+c图象经过点A(-1,0)和点C(0,3).
(1)求该二次函数的解析式;
(2)结合函数图象,直接写出:当-116抛物线的对称轴x=1,与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,点A,C的坐标分别是(-1,0),(0,1.5).
(1)求此抛物线的函数关系式;
(2)若点P是此抛物线上位于x轴上方的一个动点,求△ABP面积的最大值;
(3)在(2)中当△ABP的面积取最大值时,此抛物线位于x轴下方是否存在一点Q,使△ABQ与△ABP的面积相等 如果有,求出该点坐标;若没有,请说明理由.
