第二十三章 旋转
23.1 图形的旋转
第1课时 旋转的概念及性质
知识点1 旋转的相关概念
1(2024·深圳质检)下列运动:①钟表指针的转动;②钟摆的摆动;③汽车方向盘的转动;④汽车在笔直的公路上行驶,其中属于旋转的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2如图是一个正五角星,若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合,则至少应将它旋转的度数是 ( )
A.144° B.90° C.72° D.60°
知识点2 旋转的性质
3(2024·九江一模)如图,△CMD的位置经过怎样的运动和△AMB重合 ( )
A.沿BD翻折 B.平移
C.绕点M旋转90° D.绕点M旋转180°
4[教材再开发·P60探究变式]如图,△ABC绕点C旋转至△CDE,点D在BC上,∠ACE=60°,则旋转角为 ( )
A.30° B.40° C.45° D.60°
5正六边形绕着它的中心旋转一定的角度后能与自身完全重合,则其旋转的角度至少为 .
6如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3.将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形HBEF,点H落在矩形ABCD的边CD上,则CH的长是 .
7如图,在等边△ABC中,点D为△ABC内的一点,∠ADB=120°,∠ADC=90°,将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE,连接DE.
(1)求证:AD=DE;
(2)求∠DCE的度数.
练易错 忽视三点共线时的情况为最值而致错
8 (2024·武汉质检)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C,M是BC的中点,P是A'B'的中点,连接PM.若BC=2,∠BAC=30°,则线段PM的最大值是 .
9(2024·杭州质检)如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,以点B为中心,顺时针旋转△ABC得到△DBE,点E恰好在AB上.若AC=4,BC=3,则AE的长为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10(2024·福州期中)如图,在正方形网格中,△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M'P'N',则旋转中心可能是 ( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
11(2024·新乡期中)△EDC是由△ABC绕点C旋转得到的,且点D落在AC边上,
则下列判断错误的是 ( )
A.旋转中心是点C
B.AC=EC
C.∠BCA=∠DCE
D.点D是AC中点
12如图,把△ABC绕着点C顺时针旋转32°,得到△A'B'C,若∠A'DC=90°,则∠A= 度.
13如图,在△ABC中,AB=8,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1,则阴影部分面积为 .
14新趋势·几何直观、空间观念
【模型介绍】
如图1,∠BAD=90°,AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E.则△ABC≌△DAE.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型.
【模型应用】
在平面直角坐标系中,直线y=-2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B.
(1)如图2,将直线y=-2x+4绕点B逆时针旋转45°,得到直线l,求直线l的解析式.下面是小明的想法,请你帮助完成.
小明想利用“一线三等角”模型解决这个问题.过点A作AB的垂线交l于点C,再过点C作x轴的垂线,垂足为D,可求出点C的坐标为________,从而求得直线l的解析式为________.
(2)若将直线y=-2x+4绕点A顺时针旋转45°,所得直线的解析式为________. 第二十三章 旋转
23.1 图形的旋转
第1课时 旋转的概念及性质
知识点1 旋转的相关概念
1(2024·深圳质检)下列运动:①钟表指针的转动;②钟摆的摆动;③汽车方向盘的转动;④汽车在笔直的公路上行驶,其中属于旋转的有 (C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2如图是一个正五角星,若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合,则至少应将它旋转的度数是 (C)
A.144° B.90° C.72° D.60°
知识点2 旋转的性质
3(2024·九江一模)如图,△CMD的位置经过怎样的运动和△AMB重合 (D)
A.沿BD翻折 B.平移
C.绕点M旋转90° D.绕点M旋转180°
4[教材再开发·P60探究变式]如图,△ABC绕点C旋转至△CDE,点D在BC上,∠ACE=60°,则旋转角为 (A)
A.30° B.40° C.45° D.60°
5正六边形绕着它的中心旋转一定的角度后能与自身完全重合,则其旋转的角度至少为 60° .
6如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3.将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形HBEF,点H落在矩形ABCD的边CD上,则CH的长是 4 .
7如图,在等边△ABC中,点D为△ABC内的一点,∠ADB=120°,∠ADC=90°,将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE,连接DE.
(1)求证:AD=DE;
(2)求∠DCE的度数.
解:(1)∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE,
∴AD=AE,∠DAE=60°,
∴△ADE是等边三角形,
∴AD=DE;
(2)由(1)知∠AEC=120°,∠DAE=60°,
又∵∠ADC=90°,
∴∠DCE=360°-∠ADC-∠DAE-∠AEC
=360°-90°-60°-120°=90°.
练易错 忽视三点共线时的情况为最值而致错
8 (2024·武汉质检)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C,M是BC的中点,P是A'B'的中点,连接PM.若BC=2,∠BAC=30°,则线段PM的最大值是 3 .
9(2024·杭州质检)如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,以点B为中心,顺时针旋转△ABC得到△DBE,点E恰好在AB上.若AC=4,BC=3,则AE的长为 (B)
A.1 B.2 C.3 D.4
10(2024·福州期中)如图,在正方形网格中,△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M'P'N',则旋转中心可能是 (B)
A.点A B.点B C.点C D.点D
11(2024·新乡期中)△EDC是由△ABC绕点C旋转得到的,且点D落在AC边上,
则下列判断错误的是 (D)
A.旋转中心是点C
B.AC=EC
C.∠BCA=∠DCE
D.点D是AC中点
12如图,把△ABC绕着点C顺时针旋转32°,得到△A'B'C,若∠A'DC=90°,则∠A= 58 度.
13如图,在△ABC中,AB=8,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1,则阴影部分面积为 16 .
14新趋势·几何直观、空间观念
【模型介绍】
如图1,∠BAD=90°,AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E.则△ABC≌△DAE.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型.
【模型应用】
在平面直角坐标系中,直线y=-2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B.
(1)如图2,将直线y=-2x+4绕点B逆时针旋转45°,得到直线l,求直线l的解析式.下面是小明的想法,请你帮助完成.
小明想利用“一线三等角”模型解决这个问题.过点A作AB的垂线交l于点C,再过点C作x轴的垂线,垂足为D,可求出点C的坐标为________,从而求得直线l的解析式为________.
(2)若将直线y=-2x+4绕点A顺时针旋转45°,所得直线的解析式为________.
解:(1)∵直线y=-2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,当x=0时,得y=4;当y=-2x+4=0时,得x=2,
∴A(2,0),B(0,4),∴OA=2,OB=4,
∵将直线y=-2x+4绕点B逆时针旋转45°,得到直线l,AC⊥AB,
∴∠ABC=45°,∠BAC=90°,
∴∠ACB=90°-∠ABC=45°=∠ABC,
∴AB=AC,
又∵∠BOA=90°,AC⊥AB,CD⊥x轴,
∴△ABO≌△CAD,
∴OA=CD=2,OB=AD=4,∴C(6,2),
设直线l的解析式为y=kx+b,
∵过点B(0,4),C(6,2),
∴,解得:,
∴直线l的解析式为y=-x+4;
答案:(6,2) y=-x+4
(2)过点B作BC⊥AB交所得直线AC于点C,过点C作CD⊥y轴于点D,
∵将直线y=-2x+4绕点A顺时针旋转45°得到直线AC,BC⊥AB,
∴∠CAB=45°,∠ABC=90°,
∴∠ACB=90°-∠CAB=45°=∠CAB,
∴BA=BC,
又∵∠BOA=90°,BC⊥AB,CD⊥y轴,
∴△ABO≌△BCD,
∴OA=DB=2,OB=DC=4,∴C(4,6),
设直线AC的解析式为y=k1x+b1,过点A(2,0),C(4,6),
∴,解得:,
∴直线AC的解析式为y=3x-6.
答案:y=3x-6
