23.2.2 中心对称图形
知识点1 中心对称图形的概念
1(2024·淄博质检)下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
2下列图标中是中心对称图形的是 ( )
3我国汽车工业迅速发展,国产汽车技术成熟,下列汽车图标是中心对称图形的是( )
知识点2 中心对称图形的性质
4[教材再开发·P66思考变式]如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,下列说法不一定正确的是 ( )
A.平行四边形ABCD是中心对称图形
B.将△ABD绕点O旋转180°后可与△CDB重合
C.△OAD与△OCB关于点O对称
D.△AOD绕点O旋转一定角度后可与△DOC重合
5如图是一个中心对称图形,A为对称中心,若∠C=90°,∠B=30°,AC=2,则BB'的长为 .
6如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,EF过AC,BD的交点O,求图中阴影部分的面积.
知识点3 利用中心对称图形的性质作图
7(2024·中山期中)如图的方格纸中,若选择一个标有序号的小正方形涂黑,使其与图中阴影部分组成中心对称图形,则该小正方形的序号是 .
8(2024·六盘水质检)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B,C均为格点:
(1)画出△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到的图形;
(2)求网格图中所得四边形的周长.
练易错 混淆轴对称图形和中心对称图形的概念而致错
9如图所示的图形中,都是由左边变成右边的图形,分别进行了平移、旋转、轴对称和中心对称变换.其中进行了中心对称变换的是 ,进行了轴对称变换的是 .(填序号)
10[传统文化]剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一,下列剪纸图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
11在等腰三角形ABC中,∠C=90°,BC=20 cm,如果以AC的中点O为旋转中心,将这个三角形旋转180°,点B落在B'处,那么点B'与点B位置相距 cm.
12(2024·厦门质检)如图,在△ABC中,AB=6,AC=10,BC边上的中线AD=4.
(1)以点D为对称中心,作出△ABD的中心对称图形;
(2)求△ABC的面积的值.
13如图,△ABC中,D是BC上一点,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.
(1)求证:四边形AEDF是中心对称图形;
(2)若AD平分∠BAC,求证:点E,F关于直线AD对称.
14新趋势·推理能力、空间观念
如图,矩形ABCD的面积为20 cm2,对角线交于点O,以AB,AO为邻边作平行四边形AOC1B,对角线交于点O1,以AB,AO1为邻边作平行四边形AO1C2B……依此类推,则平行四边形AOnCn+1B的面积为 cm2. 23.2.2 中心对称图形
知识点1 中心对称图形的概念
1(2024·淄博质检)下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (D)
2下列图标中是中心对称图形的是 (B)
3我国汽车工业迅速发展,国产汽车技术成熟,下列汽车图标是中心对称图形的是(B)
知识点2 中心对称图形的性质
4[教材再开发·P66思考变式]如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,下列说法不一定正确的是 (D)
A.平行四边形ABCD是中心对称图形
B.将△ABD绕点O旋转180°后可与△CDB重合
C.△OAD与△OCB关于点O对称
D.△AOD绕点O旋转一定角度后可与△DOC重合
5如图是一个中心对称图形,A为对称中心,若∠C=90°,∠B=30°,AC=2,则BB'的长为 8 .
6如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,EF过AC,BD的交点O,求图中阴影部分的面积.
解:∵矩形是中心对称图形,
∴△AOE≌△COF,
则△AOE和△COF面积相等,
∴阴影部分的面积与△BOC的面积相等,
又∵矩形对角线将矩形分成面积相等的四部分,
∴阴影部分的面积为×3×4=3.
知识点3 利用中心对称图形的性质作图
7(2024·中山期中)如图的方格纸中,若选择一个标有序号的小正方形涂黑,使其与图中阴影部分组成中心对称图形,则该小正方形的序号是 ② .
8(2024·六盘水质检)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B,C均为格点:
(1)画出△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到的图形;
(2)求网格图中所得四边形的周长.
解: (1)如图所示,△ABC绕点O顺时针旋转180°得到△CB'A,点A与点C重合,点B的对应点为B',
∴△AB'C即为所求图形.
(2)AB==,BC==,
∴四边形的周长为2(AB+BC)=2+2.
练易错 混淆轴对称图形和中心对称图形的概念而致错
9如图所示的图形中,都是由左边变成右边的图形,分别进行了平移、旋转、轴对称和中心对称变换.其中进行了中心对称变换的是 ② ,进行了轴对称变换的是 ③ .(填序号)
10[传统文化]剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一,下列剪纸图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (D)
11在等腰三角形ABC中,∠C=90°,BC=20 cm,如果以AC的中点O为旋转中心,将这个三角形旋转180°,点B落在B'处,那么点B'与点B位置相距 20 cm.
12(2024·厦门质检)如图,在△ABC中,AB=6,AC=10,BC边上的中线AD=4.
(1)以点D为对称中心,作出△ABD的中心对称图形;
(2)求△ABC的面积的值.
解:(1)如图所示,△MCD即为所求;
(2)∵AD为中线,∴BD=CD,
又∵AD=MD,∠ADB=∠MDC,
∴△ADB≌△MDC(SAS),
∴CM=AB=6,∠M=∠BAD,S△ABD=S△MCD,
在△AMC中,∵CM=6,AM=AD+DM=8,AC=10,∴CM2+AM2=AC2,
∴△AMC为直角三角形,∠M=90°,
S△ABC=S△ABD+S△ACD=S△MCD+S△ACD=S△ACM=×6×8=24.
13如图,△ABC中,D是BC上一点,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.
(1)求证:四边形AEDF是中心对称图形;
(2)若AD平分∠BAC,求证:点E,F关于直线AD对称.
证明:(1)∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形,
∴四边形AEDF是中心对称图形;
(2)∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,
又∵DE∥AC,∴∠CAD=∠ADE,
∴∠BAD=∠ADE,∴AE=DE,
又∵四边形AEDF是平行四边形,
∴四边形AEDF是菱形,∴AD垂直平分EF,∴点E,F关于直线AD对称.
14新趋势·推理能力、空间观念
如图,矩形ABCD的面积为20 cm2,对角线交于点O,以AB,AO为邻边作平行四边形AOC1B,对角线交于点O1,以AB,AO1为邻边作平行四边形AO1C2B……依此类推,则平行四边形AOnCn+1B的面积为 cm2.
