23.2.3 关于原点对称的点的坐标
知识点1 关于原点对称的点的坐标
1在平面直角坐标系中,点P(3,-2)关于原点的对称点的坐标为 (A)
A.(-3,2) B.(3,2)
C.(-3,-2) D.(-2,3)
A.-4 B.4 C.-1 D.1
2(2024·西安期中)若点P(m,-4)与点Q(1,n)关于原点对称,则mn的值为 (D)
A.-4 B.4 C.-1 D.1
3若点P(-m,3-m)关于原点对称的点在第四象限,则m满足 (C)
A.m>3 B.m<0
C.03
4如图,在平面直角坐标系中,把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA,点B的坐标为(-,-1),则点D的坐标为 (C)
A.(2,1) B.(1,2) C. (,1) D. (1,)
5(2024·唐山期中)如图,线段AB的两个顶点都在方格纸的格点上,建立平面直角坐标系后,A,B的坐标分别是(-1,0),(-3,3),将线段AB绕点A顺时针旋转90°后得到AB1.则点B1关于原点的对称点的坐标是 (-2,-2) .
6在平面直角坐标系中,将点A(-1,2)向右平移3个单位长度得到点B,则点B关于原点的对称点C的坐标是 (-2,-2) .
7已知点P(x,y)的坐标满足方程(x+3)2+=0,则点P关于原点对称的点的坐标为 (3,4) .
8已知点A(2a+2,3-3b)与点B(2b-4,3a+6)关于坐标原点对称,求a与b的值.
解:∵点A(2a+2,3-3b)与点B(2b-4,3a+6)关于坐标原点对称,
∴,解得.
知识点2 关于原点对称的应用
9[教材再开发·P68例2变式]如图,在平面直角坐标系中,作出网格,△ABC的顶点均在格点上,点C的坐标为(-4,-5).
(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1,点A,B,C的对应点分别为A1,B1,C1;
(2)以点A为旋转中心,将△ABC按顺时针方向旋转90°得到△AB2C2(点B,C的对应点分别为B2,C2),请画出△AB2C2.
解:(1)如图,△A1B1C1即为所求作;
(2)如图,△AB2C2即为所求作.
10在平面直角坐标系中,点P(-3,m2+4m+5)关于原点的对称点在 (D)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
11(2024·南阳期中)如图,△ABC与△A'B'C关于点C(0,-2)成中心对称,若点A的坐标为(a,b),则点A'的坐标为 (D)
A.(-a,-b) B.(-a,-b-2)
C.(-a,-b+2) D.(-a,-b-4)
12(2024·烟台期中)将抛物线y=x2-8x绕原点旋转180°,则旋转后的抛物线解析式为 (D)
A.y=(x-4)2+16 B.y=(x+4)2+16
C.y=-(x+4)2-16 D.y=-(x+4)2+16
13若将等腰直角三角形AOB按如图所示放置,OB=2,则点A关于原点对称的点的坐标为 (-1,-1) .
14(2024·咸宁期中)如图,在平面直角坐标系中,对抛物线y=-2x2+2x在x轴上方的部分进行循环反复地轴对称或中心对称变换,若点A是该抛物线的顶点,则经过第2 023次变换后所得的点A的坐标是 .
15新趋势·空间观念、推理能力
若二次函数y1=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与y2=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则称这两个函数互为“旋转函数”.
(1)请写出两个互为“旋转函数”的函数.
(2)若函数y=x2-mx-2n+1与y=-x2-2nx+3互为“旋转函数”,求(m-2n)2 023的值.
(3)已知函数y=x2-x-2的图象与x轴交于A,B两点(A在B左侧),与y轴交于点C,点A,B,C关于原点的对称点分别为A1,B1,C1,试问:经过点A1,B1,C1的二次函数与函数y=x2-x-2互为“旋转函数”吗 请说明理由.
解:(1)答案不唯一,例如:y=x2和y=-x2.
(2)∵函数y=x2-mx-2n+1与y=-x2-2nx+3互为“旋转函数”,∴-m=-2n且-2n+1+3=0,解得m=3,n=2,
∴(m-2n)2 023=(3-2×2)2 023=-1.
(3)经过点A1,B1,C1的二次函数与函数y=x2-x-2互为“旋转函数”.
理由:∵函数y=x2-x-2的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,
∴A(-1,0),B(2,0),C(0,-2),
∵点A,B,C关于原点的对称点分别为A1,B1,C1,∴A1(1,0),B1(-2,0),C1(0,2).
设过A1,B1,C1三点的二次函数的解析式为y1=a(x-1)(x+2),把C1点的坐标代入得2=a(0-1)(0+2),解得a=-1,
即y1=-(x-1)(x+2)=-x2-x+2.
∵y=x2-x-2,∴1+(-1)=0,-1=-1,2+(-2)=0,∴经过点A1,B1,C1的二次函数与函数y=x2-x-2互为“旋转函数”.23.2.3 关于原点对称的点的坐标
知识点1 关于原点对称的点的坐标
1在平面直角坐标系中,点P(3,-2)关于原点的对称点的坐标为 ( )
A.(-3,2) B.(3,2)
C.(-3,-2) D.(-2,3)
A.-4 B.4 C.-1 D.1
2(2024·西安期中)若点P(m,-4)与点Q(1,n)关于原点对称,则mn的值为 ( )
A.-4 B.4 C.-1 D.1
3若点P(-m,3-m)关于原点对称的点在第四象限,则m满足 ( )
A.m>3 B.m<0
C.03
4如图,在平面直角坐标系中,把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA,点B的坐标为(-,-1),则点D的坐标为 ( )
A.(2,1) B.(1,2) C. (,1) D. (1,)
5(2024·唐山期中)如图,线段AB的两个顶点都在方格纸的格点上,建立平面直角坐标系后,A,B的坐标分别是(-1,0),(-3,3),将线段AB绕点A顺时针旋转90°后得到AB1.则点B1关于原点的对称点的坐标是 .
6在平面直角坐标系中,将点A(-1,2)向右平移3个单位长度得到点B,则点B关于原点的对称点C的坐标是 .
7已知点P(x,y)的坐标满足方程(x+3)2+=0,则点P关于原点对称的点的坐标为 .
8已知点A(2a+2,3-3b)与点B(2b-4,3a+6)关于坐标原点对称,求a与b的值.
知识点2 关于原点对称的应用
9[教材再开发·P68例2变式]如图,在平面直角坐标系中,作出网格,△ABC的顶点均在格点上,点C的坐标为(-4,-5).
(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1,点A,B,C的对应点分别为A1,B1,C1;
(2)以点A为旋转中心,将△ABC按顺时针方向旋转90°得到△AB2C2(点B,C的对应点分别为B2,C2),请画出△AB2C2.
10在平面直角坐标系中,点P(-3,m2+4m+5)关于原点的对称点在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
11(2024·南阳期中)如图,△ABC与△A'B'C关于点C(0,-2)成中心对称,若点A的坐标为(a,b),则点A'的坐标为 ( )
A.(-a,-b) B.(-a,-b-2)
C.(-a,-b+2) D.(-a,-b-4)
12(2024·烟台期中)将抛物线y=x2-8x绕原点旋转180°,则旋转后的抛物线解析式为 ( )
A.y=(x-4)2+16 B.y=(x+4)2+16
C.y=-(x+4)2-16 D.y=-(x+4)2+16
13若将等腰直角三角形AOB按如图所示放置,OB=2,则点A关于原点对称的点的坐标为 .
14(2024·咸宁期中)如图,在平面直角坐标系中,对抛物线y=-2x2+2x在x轴上方的部分进行循环反复地轴对称或中心对称变换,若点A是该抛物线的顶点,则经过第2 023次变换后所得的点A的坐标是 .
15新趋势·空间观念、推理能力
若二次函数y1=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与y2=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则称这两个函数互为“旋转函数”.
(1)请写出两个互为“旋转函数”的函数.
(2)若函数y=x2-mx-2n+1与y=-x2-2nx+3互为“旋转函数”,求(m-2n)2 023的值.
(3)已知函数y=x2-x-2的图象与x轴交于A,B两点(A在B左侧),与y轴交于点C,点A,B,C关于原点的对称点分别为A1,B1,C1,试问:经过点A1,B1,C1的二次函数与函数y=x2-x-2互为“旋转函数”吗 请说明理由.
