单元提优测评卷(三)(第二十三章)
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ( )
2(2024·荆州期中)如图,将紫荆花图案绕中心旋转n度后能与原来的图案互相重合,则n的最小值为 ( )
A.30 B.45 C.60 D.72
3如图,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转115°后能与△AB1C1重合,若∠C=90°,且点C,A,B1在同一条直线上,则∠BAC1等于 ( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
4如图,将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED,连接BE.若线段AB=3,则BE的长为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5如图,在平行四边形ABCD中,点O为对角线的交点,AB=7,过点O的直线分别交AB和CD于点F,E,折叠平行四边形后,点A落在点A'处,点D落在点D'处,若AF=3,则DE的长为 ( )
A.5 B.4.5 C.4 D.3.5
6(2022·丹东中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,对角线AC与BD交于点O,点E是AD的中点,连接OE,△ABD的周长为12 cm,则下列结论错误的是( )
A.OE∥AB
B.四边形ABCD是中心对称图形
C.△EOD的周长等于3 cm
D.若∠ABC=90°,则四边形ABCD是轴对称图形
7如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,O是矩形的对称中心,点E,F分别在边AD,BC上,连接OE,OF,若AE=BF=2,则OE+OF的值为 ( )
A.2 B.5 C. D.2
8如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=37°,AB=,AC=,BC=1,直线MN经过点C,交边AB于点D,分别过点A,B作AF⊥MN,BE⊥MN,垂足分别为F,E,设线段BE,AF的长度分别为d1,d2.若直线MN从与CB重合位置开始绕着点C顺时针旋转,至与CA重合时停止,在旋转过程中,d1+d2的最大值为 ( )
A. B.1 C. D.
9如图,BO是等腰三角形ABC的底边中线,AC=2,AB=4,△PQC与△BOC关于点C中心对称,连接AP,则AP的长是 ( )
A.4 B.4 C.2 D.2
10(2024·郑州三模)小星利用平面直角坐标系绘制了如图风车图形,他先将△OBA固定在坐标系中,其中A(2,4),B(2,0),接着他将△OBA绕原点O逆时针转动90°至△OB1A1,称为第一次转动,然后将△OB1A1绕原点O逆时针转动90°至△OB2A2,称为第二次转动,……那么按照这种转动方式,转动2 023次后,点A的坐标为 ( )
A.(4,-2) B.(-2,-2) C.(2,-2) D.(2,4)
二、填空题(每小题3分,共24分)
11如图,在平面直角坐标系xOy中,△A'B'C'由△ABC绕点P旋转得到,则点P的坐标为 .
12如图,△A'B'C'与△ABC关于原点O中心对称,已知AB=BC=2,∠ABC=120°,则∠B'A'C'= .
13如图,将△ABC绕点A逆时针旋转110°,得到△ADE,若点D落在线段BC的延长线上,则∠B的大小为 .
14如图.边长为1的两个正方形互相重合,按住其中一个不动,将另一个绕顶点A顺时针旋转45°,则这两个正方形重叠部分的面积是 .
15如图,菱形ABCD的对角线交于原点O,若点A的坐标为(-3,-5),点B的坐标为(10,m),点D的坐标为(n,6),则边CD= .
16在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,2),将点A绕原点O顺时针旋转60°后得到点B,则点B的坐标为 .
17如图,含30°的三角板ABC绕点B顺时针旋转150°得到△EBD,连接AE,若CB=4 cm,则△ABE的面积为 .
18如图,正方形ABCD的边长为2,直线EF经过正方形的中心O,并能绕着点O转动,分别交AB,CD于E,F点,过点B作直线EF的垂线BG,垂足为点G,连接AG,则AG长的最小值为 .
三、解答题(共46分)
19(6分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(4,6),B(5,2),C(2,1).
(1)求△ABC的面积;
(2)在图中画出△ABC绕点C逆时针旋转90°得到的△A'B'C'并写出点A的对应点A'的坐标.
(3)在图中画出△ABC关于原点O中心对称的图形△A″B″C″.
20(8分)(2024·广州期中)如图,△AGB与△CGD关于点G中心对称,若点E,F分别在GA,GC上,且AE=CF,求证:BF=DE.
21(10分)如图,点A在射线OX上,OA=a.如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°(0(1)按上述表示方法,若a=3,n=37,则点A'的位置可以表示为__________;
(2)在(1)的条件下,已知点B的位置用(3,74°)表示,连接A'A,A'B.求证:A'A=A'B.
22(10分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,将Rt△ABC绕点A旋转得Rt△ADE,使点B的对应点D落在AC上,连接CE,BD,并延长BD交CE于点F.
(1)若∠BCA=40°,求∠DEC;
(2)若∠BCA=α,求证:DF=FC.
23(12分)如图1,在正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,过点A作AH⊥EF,垂足为H.
(1)如图2,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.
①求证:△AGE≌△AFE;
②若BE=2,DF=3,求AH的长.
(2)如图3,连接BD交AE于点M,交AF与点N,请探究并猜想:线段BM,MN,ND之间有什么关系 请说明理由.
【附加题】(5分)
如图,在边长为3的正六边形ABCDEF中,将四边形ADEF绕点A顺时针旋转到四边形AD'E'F'处,此时边AD'与对角线AC重叠,则图中阴影部分的面积是 . 单元提优测评卷(三)(第二十三章)
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是 (D)
2(2024·荆州期中)如图,将紫荆花图案绕中心旋转n度后能与原来的图案互相重合,则n的最小值为 (D)
A.30 B.45 C.60 D.72
3如图,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转115°后能与△AB1C1重合,若∠C=90°,且点C,A,B1在同一条直线上,则∠BAC1等于 (C)
A.30° B.40° C.50° D.60°
4如图,将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED,连接BE.若线段AB=3,则BE的长为 (B)
A.2 B.3 C.4 D.5
5如图,在平行四边形ABCD中,点O为对角线的交点,AB=7,过点O的直线分别交AB和CD于点F,E,折叠平行四边形后,点A落在点A'处,点D落在点D'处,若AF=3,则DE的长为 (C)
A.5 B.4.5 C.4 D.3.5
6(2022·丹东中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,对角线AC与BD交于点O,点E是AD的中点,连接OE,△ABD的周长为12 cm,则下列结论错误的是(C)
A.OE∥AB
B.四边形ABCD是中心对称图形
C.△EOD的周长等于3 cm
D.若∠ABC=90°,则四边形ABCD是轴对称图形
7如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,O是矩形的对称中心,点E,F分别在边AD,BC上,连接OE,OF,若AE=BF=2,则OE+OF的值为 (D)
A.2 B.5 C. D.2
8如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=37°,AB=,AC=,BC=1,直线MN经过点C,交边AB于点D,分别过点A,B作AF⊥MN,BE⊥MN,垂足分别为F,E,设线段BE,AF的长度分别为d1,d2.若直线MN从与CB重合位置开始绕着点C顺时针旋转,至与CA重合时停止,在旋转过程中,d1+d2的最大值为 (A)
A. B.1 C. D.
9如图,BO是等腰三角形ABC的底边中线,AC=2,AB=4,△PQC与△BOC关于点C中心对称,连接AP,则AP的长是 (D)
A.4 B.4 C.2 D.2
10(2024·郑州三模)小星利用平面直角坐标系绘制了如图风车图形,他先将△OBA固定在坐标系中,其中A(2,4),B(2,0),接着他将△OBA绕原点O逆时针转动90°至△OB1A1,称为第一次转动,然后将△OB1A1绕原点O逆时针转动90°至△OB2A2,称为第二次转动,……那么按照这种转动方式,转动2 023次后,点A的坐标为 (A)
A.(4,-2) B.(-2,-2) C.(2,-2) D.(2,4)
二、填空题(每小题3分,共24分)
11如图,在平面直角坐标系xOy中,△A'B'C'由△ABC绕点P旋转得到,则点P的坐标为 (1,-1) .
12如图,△A'B'C'与△ABC关于原点O中心对称,已知AB=BC=2,∠ABC=120°,则∠B'A'C'= 30° .
13如图,将△ABC绕点A逆时针旋转110°,得到△ADE,若点D落在线段BC的延长线上,则∠B的大小为 35° .
14如图.边长为1的两个正方形互相重合,按住其中一个不动,将另一个绕顶点A顺时针旋转45°,则这两个正方形重叠部分的面积是 -1 .
15如图,菱形ABCD的对角线交于原点O,若点A的坐标为(-3,-5),点B的坐标为(10,m),点D的坐标为(n,6),则边CD= .
16在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,2),将点A绕原点O顺时针旋转60°后得到点B,则点B的坐标为 (,1) .
17如图,含30°的三角板ABC绕点B顺时针旋转150°得到△EBD,连接AE,若CB=4 cm,则△ABE的面积为 3cm2 .
18如图,正方形ABCD的边长为2,直线EF经过正方形的中心O,并能绕着点O转动,分别交AB,CD于E,F点,过点B作直线EF的垂线BG,垂足为点G,连接AG,则AG长的最小值为 -1 .
三、解答题(共46分)
19(6分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(4,6),B(5,2),C(2,1).
(1)求△ABC的面积;
(2)在图中画出△ABC绕点C逆时针旋转90°得到的△A'B'C'并写出点A的对应点A'的坐标.
(3)在图中画出△ABC关于原点O中心对称的图形△A″B″C″.
解:(1)S△ABC=3×5-×1×3-×1×4-×2×5=15-1.5-2-5=6.5;
(2)如图,△A'B'C'即为所画的三角形,根据A'的位置可得:A'(-3,3);
(3)如图,△A″B″C″即为所画的三角形.
20(8分)(2024·广州期中)如图,△AGB与△CGD关于点G中心对称,若点E,F分别在GA,GC上,且AE=CF,求证:BF=DE.
证明:∵△AGB与△CGD关于点G中心对称,
∴BG=DG,AG=CG,
∵AE=CF,∴AG-AE=CG-CF,∴EG=FG,
又∵∠DGE=∠BGF,∴△DGE≌△BGF(SAS),∴DE=BF.
21(10分)如图,点A在射线OX上,OA=a.如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°(0(1)按上述表示方法,若a=3,n=37,则点A'的位置可以表示为__________;
(2)在(1)的条件下,已知点B的位置用(3,74°)表示,连接A'A,A'B.求证:A'A=A'B.
解:(1)由题意,得A'(a,n°),∵a=3,n=37,∴A'(3,37°).
答案:(3,37°)
(2)
如图,
∵A'(3,37°),B(3,74°),
∴∠AOA'=37°,∠AOB=74°,OA=OB=3,
∴∠A'OB=∠AOB-∠AOA'=74°-37°=37°,
∵OA'=OA',∴△AOA'≌△BOA'(SAS),
∴A'A=A'B.
22(10分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,将Rt△ABC绕点A旋转得Rt△ADE,使点B的对应点D落在AC上,连接CE,BD,并延长BD交CE于点F.
(1)若∠BCA=40°,求∠DEC;
(2)若∠BCA=α,求证:DF=FC.
解:(1)在Rt△ABC中,∠BCA=40°,∴∠BAC=90°-∠BCA=50°,
由旋转知,∠AED=∠ACB=40°,∠CAE=∠BAC=50°,AC=AE,
∴∠AEC=(180°-∠CAE)=65°,∴∠DEC=∠AEC-∠AED=65°-40°=25°;
(2)在Rt△ABC中,∠BCA=α,∴∠BAC=90°-∠BCA=90°-α,由旋转知,AD=AB,
∴∠ADB=(180°-∠BAC)=[180°-(90°-α)]=45°+α,
∴∠CDF=∠ADB=45°+α,由旋转知,∠CAE=∠BAC=90°-α,AC=AE,
∴∠ACE=(180°-∠CAE)=[180°-(90°-α)]=45°+α,∴∠CDF=∠ACE,∴DF=CF.
23(12分)如图1,在正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,过点A作AH⊥EF,垂足为H.
(1)如图2,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.
①求证:△AGE≌△AFE;
②若BE=2,DF=3,求AH的长.
(2)如图3,连接BD交AE于点M,交AF与点N,请探究并猜想:线段BM,MN,ND之间有什么关系 请说明理由.
解:(1)①由旋转的性质可知:AF=AG,∠DAF=∠BAG,
∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAD=90°,
又∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°,∴∠BAG+∠BAE=45°,
∴∠GAE=∠EAF,又∵AE=AE,∴△AGE≌△AFE(SAS);
②∵△AGE≌△AFE,∴∠AEG=∠AEF,EF=GE,
又∵AB⊥GE,AH⊥EF,∴AB=AH,
设正方形的边长为x,则EC=x-2,FC=x-3,GE=GB+BE=DF+BE=5,
∴EF=5,
在Rt△EFC中,EF2=EC2+CF2,即25=(x-2)2+(x-3)2,解得x=6或x=-1(负值舍去),
即AH=AB=6.
(2)MN2=ND2+BM2,理由如下:
如图所示:将△ABM逆时针旋转90°得到△ADM',连接NM',
∵四边形ABCD为正方形,∴∠ABD=∠ADB=45°,
由旋转的性质可得:∠ABM=∠ADM'=45°,BM=DM',AM=AM',
∴∠NDM'=90°,∴NM'2=DM'2+ND2,
∵∠EAM'=∠EAD+∠DAM'=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠FAM'=∠EAF=45°,又∵AN=AN,∴△AMN≌△AM'N(SAS),∴MN=M'N,
又∵BM=DM',∴MN2=ND2+BM2.
【附加题】(5分)
如图,在边长为3的正六边形ABCDEF中,将四边形ADEF绕点A顺时针旋转到四边形AD'E'F'处,此时边AD'与对角线AC重叠,则图中阴影部分的面积是 3π .
