第二十三章 旋转
一、选择题
1如图,小明荡秋千,位置从A点运动到了A'点,若∠OAA'=50°,则秋千旋转的角度为( )
A.50° B.60° C.80° D.90°
2如图等边三角形ABC边长为6,点D在直线BC上,将△ABD绕点A逆时针旋转,使得旋转后点B的对应点为C,点D的对应点为E,设CE=x,△BCE的面积为y,则y关于x的关系式为 ( )
A.y=3x B.y=3x
C.y=3x D.y=
3如图,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP,若AP=6,BP=8,CP=10.则S△ABP+S△BPC= ( )
A.20+16 B.24+12
C.20+12 D.24+16
4如图,等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC,将BC绕点B顺时针旋转θ(0<θ<90°),得到BP,连接CP,过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H,连接AP,则∠PAH的度数为 ( )
A.30° B.45°
C.60° D.随若θ的变化而变化
5如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=2,AB=4,AC=2,点D为直线AB上一动点,将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE,连接ED,BE,点F在直线AF上且DF=BC,则BE的最小值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.
二、填空题
6直线y=x+1关于点M(1,0)成中心对称的直线的解析式为 .
7如图,将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB'C'D'的位置,此时AC'的中点恰好与D点重合.若B'C'=2,则AC'的长为 .
8如图,A点的坐标为(0,4),B点的坐标为(4,2),C点的坐标为(6,2),D点的坐标为(4,-2),小明发现:线段AB与线段CD存在一种特殊关系,即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段,则这个旋转中心的坐标是 .
9如图,将等腰Rt△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB'C'.若AC=2,则图中阴影部分的面积为 .
10(2024·深圳质检)如图,△ABC中,∠CAB=70°,在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置,使得C'C∥AB,则∠BAB'等于 .
三、解答题
11如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,-4),B(5,-4),C(4,-1).
(1)将△ABC经过平移得到△A1B1C1,若点C的对应点C1的坐标为(2,5),画出△A1B1C1,直接写出A1,B1的坐标A1( , ),B1( , );
(2)画出与△A1B1C1关于原点O成中心对称的△A2B2C2;
(3)若△ABC与△A2B2C2是中心对称图形.则对称中心的坐标为( , ).
12如图,正方形ABCD中,点E为BC边上的一点,将△ABE顺时针旋转后得到△CBF.
(1)指出旋转中心及旋转角的度数;
(2)判断AE与CF的位置关系,并说明理由;
(3)若正方形的面积为18 cm2,△BCF的面积为5 cm2,求四边形AECD的面积.
13综合与探究
在△ABC中,AB=AC,∠CAB的角度记为α.
(1)操作与证明;如图①,点D为边BC上一动点,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转角度α至AE位置,连接DE,CE.求证:BD=CE;
(2)探究与发现:如图②,若α=90°,点D变为BC延长线上一动点,连接AD将线段AD绕点A逆时针旋转角度α至AE位置,连接DE,CE.可以发现:线段BD和CE的数量关系是________;
(3)判断与思考;判断(2)中线段BD和CE的位置关系,并说明理由.第二十三章 旋转
一、选择题
1如图,小明荡秋千,位置从A点运动到了A'点,若∠OAA'=50°,则秋千旋转的角度为(C)
A.50° B.60° C.80° D.90°
2如图等边三角形ABC边长为6,点D在直线BC上,将△ABD绕点A逆时针旋转,使得旋转后点B的对应点为C,点D的对应点为E,设CE=x,△BCE的面积为y,则y关于x的关系式为 (D)
A.y=3x B.y=3x
C.y=3x D.y=
3如图,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP,若AP=6,BP=8,CP=10.则S△ABP+S△BPC= (D)
A.20+16 B.24+12
C.20+12 D.24+16
4如图,等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC,将BC绕点B顺时针旋转θ(0<θ<90°),得到BP,连接CP,过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H,连接AP,则∠PAH的度数为 (B)
A.30° B.45°
C.60° D.随若θ的变化而变化
5如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=2,AB=4,AC=2,点D为直线AB上一动点,将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE,连接ED,BE,点F在直线AF上且DF=BC,则BE的最小值为 (D)
A.1 B.2 C.3 D.
二、填空题
6直线y=x+1关于点M(1,0)成中心对称的直线的解析式为 y=x-3 .
7如图,将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB'C'D'的位置,此时AC'的中点恰好与D点重合.若B'C'=2,则AC'的长为 4 .
8如图,A点的坐标为(0,4),B点的坐标为(4,2),C点的坐标为(6,2),D点的坐标为(4,-2),小明发现:线段AB与线段CD存在一种特殊关系,即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段,则这个旋转中心的坐标是 (2,0)或(5,3) .
9如图,将等腰Rt△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB'C'.若AC=2,则图中阴影部分的面积为 .
10(2024·深圳质检)如图,△ABC中,∠CAB=70°,在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置,使得C'C∥AB,则∠BAB'等于 40° .
三、解答题
11如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,-4),B(5,-4),C(4,-1).
(1)将△ABC经过平移得到△A1B1C1,若点C的对应点C1的坐标为(2,5),画出△A1B1C1,直接写出A1,B1的坐标A1( , ),B1( , );
(2)画出与△A1B1C1关于原点O成中心对称的△A2B2C2;
(3)若△ABC与△A2B2C2是中心对称图形.则对称中心的坐标为( , ).
解:(1)如图,△A1B1C1即为所求.
点A1的坐标为(-1,2),点B1的坐标为(3,2).
答案:-1 2 3 2
(2)如图,△A2B2C2即为所求.
(3)由图可得,△ABC与△A2B2C2的对称中心为点(1,-3).
答案:1 -3
12如图,正方形ABCD中,点E为BC边上的一点,将△ABE顺时针旋转后得到△CBF.
(1)指出旋转中心及旋转角的度数;
(2)判断AE与CF的位置关系,并说明理由;
(3)若正方形的面积为18 cm2,△BCF的面积为5 cm2,求四边形AECD的面积.
解:(1)旋转中心是B,旋转角是90°;
(2)AE⊥CF.理由:延长AE交CF于点M.
由旋转可知:△ABE≌△CBF,
∴AE=CF,∠EAB=∠FCB.
又∵∠AEB=∠CEM,∠ABE=90°,
∴∠ECM+∠CEM=90°,
∴AE⊥CF.
(3)∵△ABE≌△CBF,
∴△ABE的面积是5 cm2,
∴四边形AECD的面积是18-5=13(cm2).
13综合与探究
在△ABC中,AB=AC,∠CAB的角度记为α.
(1)操作与证明;如图①,点D为边BC上一动点,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转角度α至AE位置,连接DE,CE.求证:BD=CE;
(2)探究与发现:如图②,若α=90°,点D变为BC延长线上一动点,连接AD将线段AD绕点A逆时针旋转角度α至AE位置,连接DE,CE.可以发现:线段BD和CE的数量关系是________;
(3)判断与思考;判断(2)中线段BD和CE的位置关系,并说明理由.
解:(1)∵线段AD绕点A逆时针旋转角度α至AE位置,∠CAB=α,
∴AD=AE,∠DAE=∠CAB=α,
∴∠CAB-∠CAD=∠DAE-∠CAD,
∴∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE.
(2)∵α=90°,
由旋转可知:AD=AE,∠DAE=∠CAB=90°,
∴∠CAB+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
∴∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE.
答案:BD=CE
(3)BD⊥CE,理由如下:
∵∠CAB=α=90°,AB=AC,
∴∠B=∠ACB=45°,
由(2)可得:△BAD≌△CAE,
∴∠ACE=∠B=45°,
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°,
∴BD⊥CE.
