24.1.2 垂直于弦的直径
知识点1 圆的对称性
1[教材再开发·P81探究拓展]下列说法不正确的是 ( )
A.圆是轴对称图形
B.圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴
C.圆的任一直径都是圆的对称轴
D.经过圆心的任意直线都是圆的对称轴
2圆既是轴对称图形,又是中心对称图形, 是它的对称中心.
知识点2 垂径定理
3如图,已知☉O的直径AB⊥弦CD于点E,下列结论中一定正确的是 ( )
A.AE=OE B.CE=DE
C.OE=CE D.∠AOC=60°
4在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图所示,若油面的宽AB=160 cm,则油的最大深度为 .
5[教材再开发·P83练习T1变式]如图,在☉O中,弦AB垂直平分半径OC,垂足为D,若☉O的半径为2,则弦AB的长为 .
知识点3 垂径定理的推论
6(2024·南京期中)如图,点C在☉O上,OC平分弦AB,连接OA,BC,OB,若∠A=40°,则∠C的度数是 ( )
A.50° B.60° C.65° D.70°
7如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,AC,OB交于点D.若AD=CD=8,OD=6,则BD的长为 .
8如图,已知AB是☉O的弦,C是的中点,AB=8,AC=2,求☉O半径的长.
练易错 忽略一组平行弦相对于圆心的位置有两种情况
9已知☉O的半径为10 cm,弦MN∥EF,且MN=12 cm,EF=16 cm,则弦MN和EF之间的距离为 ( )
A.14 cm或2 cm B.14 cm
C.2 cm D.6 cm
10(2024·丽水期中)如图,☉O的半径是3,点P是弦AB延长线上的一点,连接OP,若OP=4,∠APO=30°,则弦AB的长为 ( )
A. B. C.2 D.2
11如图是一个隧道的横截面,若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,路面AB=12米,净高CD=9米,则此圆的半径OA= ( )
A.6米 B.6.5米 C.7米 D.7.5米
12(2024·镇江期中)如图,在☉O中,直径AB与弦MN相交于点P,∠NPB=45°,若AP=2,BP=6,则MN= .
13(2024·广州天河区期末)如图,△ABC中,AB=4,AC=5,BC=2,以A为圆心,AC长为半径作圆A,延长CB交圆A于点D,则BD长为 .
14(2024·杭州期中)如图这是一个残缺的圆形部件,已知A,B,C是该部件圆弧上的三点.
(1)利用尺规作图作出该部件的圆心;(保留作图痕迹)
(2)若△ABC是等腰三角形,底边BC=16 cm,腰AB=10 cm,求该部件的半径.
15如图,☉O的半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交☉O于点E,连接EC.若AB=8,CD=2,求EC的长.
16 新趋势·推理能力、几何直观
如图,在☉Q中,半径为5,GH,CD是两条弦,GH=8,CD=6,GH⊥MN于点E,CD⊥MN于点F.点P在MN上运动,则PG+PC的最小值为 . 24.1.2 垂直于弦的直径
知识点1 圆的对称性
1[教材再开发·P81探究拓展]下列说法不正确的是 (C)
A.圆是轴对称图形
B.圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴
C.圆的任一直径都是圆的对称轴
D.经过圆心的任意直线都是圆的对称轴
2圆既是轴对称图形,又是中心对称图形, 圆心 是它的对称中心.
知识点2 垂径定理
3如图,已知☉O的直径AB⊥弦CD于点E,下列结论中一定正确的是 (B)
A.AE=OE B.CE=DE
C.OE=CE D.∠AOC=60°
4在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图所示,若油面的宽AB=160 cm,则油的最大深度为 40 cm .
5[教材再开发·P83练习T1变式]如图,在☉O中,弦AB垂直平分半径OC,垂足为D,若☉O的半径为2,则弦AB的长为 2 .
知识点3 垂径定理的推论
6(2024·南京期中)如图,点C在☉O上,OC平分弦AB,连接OA,BC,OB,若∠A=40°,则∠C的度数是 (C)
A.50° B.60° C.65° D.70°
7如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,AC,OB交于点D.若AD=CD=8,OD=6,则BD的长为 4 .
8如图,已知AB是☉O的弦,C是的中点,AB=8,AC=2,求☉O半径的长.
解:如图,连接OA,连接OC交AB于D.设☉O的半径为r.
∵=,∴OC⊥AB,
∴AD=DB=AB=4,
在Rt△ACD中,
CD==2,
在Rt△ADO中,∵OA2=OD2+AD2,
∴r2=(r-2)2+16,解得r=5.
∴☉O的半径为5.
练易错 忽略一组平行弦相对于圆心的位置有两种情况
9已知☉O的半径为10 cm,弦MN∥EF,且MN=12 cm,EF=16 cm,则弦MN和EF之间的距离为 (A)
A.14 cm或2 cm B.14 cm
C.2 cm D.6 cm
10(2024·丽水期中)如图,☉O的半径是3,点P是弦AB延长线上的一点,连接OP,若OP=4,∠APO=30°,则弦AB的长为 (D)
A. B. C.2 D.2
11如图是一个隧道的横截面,若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,路面AB=12米,净高CD=9米,则此圆的半径OA= (B)
A.6米 B.6.5米 C.7米 D.7.5米
12(2024·镇江期中)如图,在☉O中,直径AB与弦MN相交于点P,∠NPB=45°,若AP=2,BP=6,则MN= 2 .
13(2024·广州天河区期末)如图,△ABC中,AB=4,AC=5,BC=2,以A为圆心,AC长为半径作圆A,延长CB交圆A于点D,则BD长为 .
14(2024·杭州期中)如图这是一个残缺的圆形部件,已知A,B,C是该部件圆弧上的三点.
(1)利用尺规作图作出该部件的圆心;(保留作图痕迹)
(2)若△ABC是等腰三角形,底边BC=16 cm,腰AB=10 cm,求该部件的半径.
解:(1)如图所示:分别作弦AB和AC的垂直平分线,交点O即为所求的圆心;
(2)连接AO,OB,BC,BC交OA于D.
∵BC=16 cm,
∴BD=8 cm,
∵AB=10 cm,∴AD==6 cm,
设该部件的半径为R,
在Rt△BOD中,OD=(R-6)cm,
∴R2=82+(R-6)2,解得R= cm,
∴该部件的半径为 cm.
15如图,☉O的半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交☉O于点E,连接EC.若AB=8,CD=2,求EC的长.
解: 连接BE,如图,
∵OD⊥AB,∴AC=BC=AB=×8=4,设AO=x,则OC=OD-CD=x-2,
在Rt△ACO中,∵AO2=AC2+OC2,
∴x2=42+(x-2)2,解得x=5,
∴AE=10,OC=3,
∵AE是直径,∴∠ABE=90°,
∵OC是△ABE的中位线,
∴BE=2OC=6,在Rt△CBE中,
CE===2.
16 新趋势·推理能力、几何直观
如图,在☉Q中,半径为5,GH,CD是两条弦,GH=8,CD=6,GH⊥MN于点E,CD⊥MN于点F.点P在MN上运动,则PG+PC的最小值为 7 .
