24.1.3 弧、弦、圆心角
知识点1 圆心角的概念及计算
1[概念应用题]图中∠ACB是圆心角的是( )
2如图,在☉O中,∠A=30°,劣弧AB所对圆心角的度数是 ( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
3下列说法正确的是 ( )
A.相等的圆心角所对的弧相等
B.在同圆中,等弧所对的圆心角相等
C.在同圆中,相等的弦所对的弧相等
D.相等的弦所对的弧相等
4如图所示,在☉O中,=,∠A=30°,则∠B= ( )
A.150° B.75° C.60° D.15°
5已知☉O的直径为10,AB是☉O的弦,AB=5,那么在☉O中弦AB所对的圆心角度数为 .
知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系
6如图,在☉O中,AB是直径,==,∠AOE=60°,则∠BOC的度数为 ( )
A.35° B.40° C.45° D.60°
7如图,已知A,B,C,D是圆上的点,=,AC,BD交于点E,则下列结论正确的是 ( )
A.AB=AD B.BE=CD
C.AC=BD D.BE=AD
8如图,AB是☉O的直径,=,∠COB=40°,则∠A的度数是 .
9[教材再开发·P84例3变式]如图,在☉O中,弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD,BC.
求证:(1)=;
(2)AE=CE.
练易错 误认为弧的2倍关系与弦的2倍关系相对应而出错
10在同圆中,若AB=2CD,则与2的大小关系是 ( )
A.>2 B.<2
C.=2 D.不能确定
11如图,四边形ABCD内接☉O,AC平分∠BAD,则下列结论正确的是 ( )
A.AB=AD B.BC=CD
C.= D.∠BCA=∠DCA
12如图,AB和DE是☉O的直径,弦AC∥DE,若弦BE=3,则弦CE= .
13[数学与生活]如图,圆中扇子对应的圆心角α(α<180°)与剩余圆心角β的比值为黄金比时,扇子会显得更加美观,若黄金比取0.6,则β-α的度数是 .
14(2024·丽水期中)如图,AB,CD是☉O的两条弦,且AB=CD,E是的中点.
求证:BE=DE.
15如图,A,B是☉O上的两点,∠AOB=120°,C是的中点.
(1)求证:四边形OACB为菱形;
(2)延长OA至P,使得OA=AP,连接PC,若☉O的半径R=1,求PC的长.
16 新趋势·空间观念、推理能力
把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,则的度数是 . 24.1.3 弧、弦、圆心角
知识点1 圆心角的概念及计算
1[概念应用题]图中∠ACB是圆心角的是(B)
2如图,在☉O中,∠A=30°,劣弧AB所对圆心角的度数是 (D)
A.30° B.60° C.90° D.120°
3下列说法正确的是 (B)
A.相等的圆心角所对的弧相等
B.在同圆中,等弧所对的圆心角相等
C.在同圆中,相等的弦所对的弧相等
D.相等的弦所对的弧相等
4如图所示,在☉O中,=,∠A=30°,则∠B= (B)
A.150° B.75° C.60° D.15°
5已知☉O的直径为10,AB是☉O的弦,AB=5,那么在☉O中弦AB所对的圆心角度数为 60° .
知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系
6如图,在☉O中,AB是直径,==,∠AOE=60°,则∠BOC的度数为 (B)
A.35° B.40° C.45° D.60°
7如图,已知A,B,C,D是圆上的点,=,AC,BD交于点E,则下列结论正确的是 (C)
A.AB=AD B.BE=CD
C.AC=BD D.BE=AD
8如图,AB是☉O的直径,=,∠COB=40°,则∠A的度数是 55° .
9[教材再开发·P84例3变式]如图,在☉O中,弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD,BC.
求证:(1)=;
(2)AE=CE.
证明:(1)∵AB=CD,
∴=,即+=+,
∴=;
(2)∵=,∴AD=BC,连接BD(图略),
又AB=DC,BD=DB,
∴△ADB≌△CBD(SSS),
∴∠DAE=∠BCE,
又∠AED=∠BEC,AD=BC,
∴△ADE≌△CBE(AAS),∴AE=CE.
练易错 误认为弧的2倍关系与弦的2倍关系相对应而出错
10在同圆中,若AB=2CD,则与2的大小关系是 (A)
A.>2 B.<2
C.=2 D.不能确定
11如图,四边形ABCD内接☉O,AC平分∠BAD,则下列结论正确的是 (B)
A.AB=AD B.BC=CD
C.= D.∠BCA=∠DCA
12如图,AB和DE是☉O的直径,弦AC∥DE,若弦BE=3,则弦CE= 3 .
13[数学与生活]如图,圆中扇子对应的圆心角α(α<180°)与剩余圆心角β的比值为黄金比时,扇子会显得更加美观,若黄金比取0.6,则β-α的度数是 90° .
14(2024·丽水期中)如图,AB,CD是☉O的两条弦,且AB=CD,E是的中点.
求证:BE=DE.
证明:∵AB=CD,E是的中点.
∴=,=,
∵=+,=+,
∴=,∴BE=DE.
15如图,A,B是☉O上的两点,∠AOB=120°,C是的中点.
(1)求证:四边形OACB为菱形;
(2)延长OA至P,使得OA=AP,连接PC,若☉O的半径R=1,求PC的长.
解:(1)连接OC,
∵∠AOB=120°,C是的中点,
∴∠AOC=∠BOC=60°,
∵OA=OC,∴△ACO是等边三角形,
∴OA=AC,同理OB=BC,
∴OA=AC=BC=OB,
∴四边形AOBC是菱形;
(2)∵△OAC是等边三角形,
∴∠OCA=∠OAC=60°,OA=AC,
又∵OA=AP,☉O的半径R=1,
∴OA=AP=AC=1,∴∠ACP=∠APC,
∵∠ACP+∠APC=∠OAC,
∴∠ACP=∠APC=∠OAC=30°,
∴∠OCP=∠OCA+∠ACP=60°+30°=90°,∴△OPC是直角三角形,
∵OC=1,OP=OA+AP=2,
∴PC===.
16 新趋势·空间观念、推理能力
把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,则的度数是 30° .
