24.1.4 圆周角
第1课时 圆周角定理及其推论
知识点1 圆周角的概念
1(2024·河池期末)下列图形中的角是圆周角的是 ( )
2(2024·霸州期中)如图,在图中标出的∠1~∠5这5个角中,所对的圆周角是 ( )
A.∠5 B.∠1和∠2
C.∠3和∠4 D.∠1和∠3
知识点2 圆周角定理
3如图,OA,OB是☉O的两条半径,点C在☉O上,若∠AOB=80°,则∠C的度数为 ( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
4[教材再开发·P89习题24.1T5变式]如图,在☉O中,点A是的中点,∠ADC=24°,则∠AOB的度数是 ( )
A.24° B.26° C.48° D.66°
5如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,若∠BOC=66°,则∠A= .
6如图,△ABC的顶点A,B,C均在☉O上,若∠ABC+∠AOC=87°,则∠AOC的大小是 .
知识点3 圆周角定理的推论
7如图,在☉O中,弦AB,CD相交于点P.若∠A=48°,∠APD=80°,则∠B的大小为 ( )
A.32° B.42° C.52° D.62°
8如图,BD是☉O的直径,∠CBD=30°,则∠A的度数为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
9[教材再开发·P87例4变式]已知:如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于E,∠ACD=30°,AE=2 cm.求DB的长.
10(2024·扬州期中)如图,小明为了测量圆形鼓面的直径,将直角三角板30°角的顶点落在鼓面圆上任意一点P,三角板的两边分别交圆于点A,B,若测量得到弦AB的长为16 cm,则鼓面圆的直径为 ( )
A.16 cm B.30 cm
C.32 cm D.36 cm
11(2024·珠海香洲区期中)如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上,且CO⊥AB于点O,弦CD与AB相交于点E,若∠BEC=70°,则∠ABD的度数为 ( )
A.20° B.30° C.25° D.35°
12如图,☉C经过原点,并与两坐标轴分别交于A,D两点,已知∠OBA=30°,点A的坐标为(2,0),则点D的坐标为 .
13(2024·枣庄期中)如图,A,B,E,C四点都在☉O上,AD是△ABC的高,∠CAD=∠EAB,AE是☉O的直径吗 请说明理由.
14 新中考·2023泰州中考·几何直观、推理能力
已知:A,B为圆上两定点,点C在该圆上,∠C为所对的圆周角.
知识回顾
(1)如图①,☉O中,B,C位于直线AO异侧,∠AOB+∠C=135°.
①求∠C的度数;
②若☉O的半径为5,AC=8,求BC的长;
逆向思考
(2)如图②,若P为圆内一点,且∠APB<120°,PA=PB,∠APB=2∠C.求证:P为该圆的圆心;
拓展应用
(3)如图③,在(2)的条件下,若∠APB=90°,点C在☉P位于直线AP上方部分的圆弧上运动.点D在☉P上,求证:满足CD=CB-CA的所有点D中,必有一个点的位置始终不变.24.1.4 圆周角
第1课时 圆周角定理及其推论
知识点1 圆周角的概念
1(2024·河池期末)下列图形中的角是圆周角的是 (C)
2(2024·霸州期中)如图,在图中标出的∠1~∠5这5个角中,所对的圆周角是 (C)
A.∠5 B.∠1和∠2
C.∠3和∠4 D.∠1和∠3
知识点2 圆周角定理
3如图,OA,OB是☉O的两条半径,点C在☉O上,若∠AOB=80°,则∠C的度数为 (B)
A.30° B.40° C.50° D.60°
4[教材再开发·P89习题24.1T5变式]如图,在☉O中,点A是的中点,∠ADC=24°,则∠AOB的度数是 (C)
A.24° B.26° C.48° D.66°
5如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,若∠BOC=66°,则∠A= 33° .
6如图,△ABC的顶点A,B,C均在☉O上,若∠ABC+∠AOC=87°,则∠AOC的大小是 58° .
知识点3 圆周角定理的推论
7如图,在☉O中,弦AB,CD相交于点P.若∠A=48°,∠APD=80°,则∠B的大小为 (A)
A.32° B.42° C.52° D.62°
8如图,BD是☉O的直径,∠CBD=30°,则∠A的度数为 (C)
A.30° B.45° C.60° D.75°
9[教材再开发·P87例4变式]已知:如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于E,∠ACD=30°,AE=2 cm.求DB的长.
解:∵AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,
∴CE=DE,∠AEC=∠DEB=90°,
∵∠B=∠ACD=30°,
在Rt△ACE中,AC=2AE=4 cm,∴CE==2 cm,∴DE=2 cm,
在Rt△BDE中,∠B=30°,∴BD=2DE=4 cm.∴DB的长为4 cm.
10(2024·扬州期中)如图,小明为了测量圆形鼓面的直径,将直角三角板30°角的顶点落在鼓面圆上任意一点P,三角板的两边分别交圆于点A,B,若测量得到弦AB的长为16 cm,则鼓面圆的直径为 (C)
A.16 cm B.30 cm
C.32 cm D.36 cm
11(2024·珠海香洲区期中)如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上,且CO⊥AB于点O,弦CD与AB相交于点E,若∠BEC=70°,则∠ABD的度数为 (C)
A.20° B.30° C.25° D.35°
12如图,☉C经过原点,并与两坐标轴分别交于A,D两点,已知∠OBA=30°,点A的坐标为(2,0),则点D的坐标为 (0,2) .
13(2024·枣庄期中)如图,A,B,E,C四点都在☉O上,AD是△ABC的高,∠CAD=∠EAB,AE是☉O的直径吗 请说明理由.
解:AE是☉O的直径.理由如下:
如图,连接BE,
∵=,∴∠E=∠C,
∵AD是△ABC的高,
∴∠ADC=90°,
∴∠CAD+∠C=90°,
∵∠CAD=∠EAB,∴∠EAB+∠E=90°,
∴∠ABE=90°,∴AE是☉O的直径.
14 新中考·2023泰州中考·几何直观、推理能力
已知:A,B为圆上两定点,点C在该圆上,∠C为所对的圆周角.
知识回顾
(1)如图①,☉O中,B,C位于直线AO异侧,∠AOB+∠C=135°.
①求∠C的度数;
②若☉O的半径为5,AC=8,求BC的长;
逆向思考
(2)如图②,若P为圆内一点,且∠APB<120°,PA=PB,∠APB=2∠C.求证:P为该圆的圆心;
拓展应用
(3)如图③,在(2)的条件下,若∠APB=90°,点C在☉P位于直线AP上方部分的圆弧上运动.点D在☉P上,求证:满足CD=CB-CA的所有点D中,必有一个点的位置始终不变.
解: (1)①∵∠AOB+∠C=135°,∠AOB=2∠C,∴3∠C=135°,∴∠C=45°.
②连接AB,过A作AM⊥BC,垂足为M,
∵∠C=45°,AC=8,∴△ACM是等腰直角三角形,且AM=CM=4,
∵∠AOB=2∠C=90°,OA=OB,
∴△AOB是等腰直角三角形,
∴AB=OA=5,
在Rt△ABM中,BM==3,
∴BC=CM+BM=4+3=7.
(2)延长AP交圆于点N,连接BN,则∠C=∠N,
∵∠APB=2∠C,∴∠APB=2∠N,
∵∠APB=∠N+∠PBN,
∴∠N=∠PBN,∴PN=PB,
∵PA=PB,∴PA=PB=PN,
∴P为该圆的圆心.
(3)过B作BC的垂线交CA的延长线于点E,连接AB,延长AP交圆于点F,连接CF,FB,
∵∠APB=90°,∴∠C=45°,
∴△BCE是等腰直角三角形,
∴BE=BC,
∵BP⊥AF,PA=PF,∴BA=BF,
∵AF是直径,∴∠ABF=90°,
∴∠EBC=∠ABF=90°,
∴∠EBA=∠CBF,
∴△EBA≌△CBF(SAS),∴AE=CF,
∵CD=CB-CA=CE-CA=AE,
∴CD=CF,∴必有一个点D的位置始终不变,点F即为所求.
