第2课时 圆内接四边形
知识点 圆内接四边形的性质
1如图,四边形ABCD为圆内接四边形,∠A=85°,∠B=105°,则∠C的度数为 ( )
A.115° B.75° C.95° D.无法确定
2如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠A=60°,则∠DCE的度数是 ( )
A.60° B.120°
C.90° D.无法确定
3如图,圆周角∠ACB=130°,则圆心角∠AOB的度数为 ( )
A.50° B.70° C.100° D.110°
4如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,BC是☉O的直径,BC=2CD,则∠BAD的度数是 .
5(2024·德州期中)如图,已知四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠B=40°,AD=CD,则∠ACD= .
6如图,四边形ABCD内接于圆O,若∠BOD=130°,则∠DCE= °.
7[教材再开发·P87例4变式]
如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,且AD平分∠BAC.若∠BAC=70°,求∠C的度数.
8如图,四边形ABED是圆的内接四边形,延长AD,BE相交于点C,已知∠C=∠EDC.
(1)求证:AB=AC;
(2)若AB是四边形ABED外接圆的直径,求证:=.
9如图,在☉O中,点A,B,C在☉O上,且∠ACB=110°,则∠α= ( )
A.70° B.110° C.120° D.140°
10(2024·福州质检)如图,四边形ABCD内接于☉O,若四边形ABCO是平行四边形,则∠OAB的大小为 ( )
A.45° B.50° C.60° D.70°
11如图,在☉O的内接四边形ABCD中,AB=AD,∠C=108°,点E在上,则∠E= °.
12如图,四边形ABCD内接于☉O,AD,BC的延长线相交于点E,AB,DC的延长线相交于点F.若∠E=52°,∠F=36°,则∠A的度数为 .
13如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,点F是CD延长线上的一点,且DA平分∠BDF.
(1)求证:AB=AC;
(2)若AB=13,BC=10,求☉O半径.
14 新趋势·推理能力、几何直观、抽象能力
定义:有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形,其中这个角叫做美角.
(1)如图1,若四边形ABCD是圆美四边形.求美角∠BAD的度数;
(2)在(1)的条件下,若☉O的半径为4.
①求BD的长;
②连接CA,若CA平分∠BCD,如图2,请判断BC,CD,AC之间有怎样的数量关系,并说明理由.第2课时 圆内接四边形
知识点 圆内接四边形的性质
1如图,四边形ABCD为圆内接四边形,∠A=85°,∠B=105°,则∠C的度数为 (C)
A.115° B.75° C.95° D.无法确定
2如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠A=60°,则∠DCE的度数是 (A)
A.60° B.120°
C.90° D.无法确定
3如图,圆周角∠ACB=130°,则圆心角∠AOB的度数为 (C)
A.50° B.70° C.100° D.110°
4如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,BC是☉O的直径,BC=2CD,则∠BAD的度数是 120° .
5(2024·德州期中)如图,已知四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠B=40°,AD=CD,则∠ACD= 20° .
6如图,四边形ABCD内接于圆O,若∠BOD=130°,则∠DCE= 65 °.
7[教材再开发·P87例4变式]
如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,且AD平分∠BAC.若∠BAC=70°,求∠C的度数.
解:∵∠BAC=70°,AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠BAC=35°.
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.
∴∠B=90°-∠BAD=55°.
∵四边形ABDC是☉O的内接四边形,
∴∠B+∠C=180°.
∴∠C=180°-∠B=125°.
8如图,四边形ABED是圆的内接四边形,延长AD,BE相交于点C,已知∠C=∠EDC.
(1)求证:AB=AC;
(2)若AB是四边形ABED外接圆的直径,求证:=.
证明:(1)∵四边形ABED是圆内接四边形,
∴∠B+∠ADE=180°,
又∵∠EDC+∠ADE=180°,
∴∠EDC=∠B,
又∵∠EDC=∠C,∴∠B=∠C,
∴AB=AC;
(2)连接AE,∵AB是圆的直径,
∴∠AEB=90°,
又∵AB=AC,∴AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠EAD,∴=.
9如图,在☉O中,点A,B,C在☉O上,且∠ACB=110°,则∠α= (D)
A.70° B.110° C.120° D.140°
10(2024·福州质检)如图,四边形ABCD内接于☉O,若四边形ABCO是平行四边形,则∠OAB的大小为 (C)
A.45° B.50° C.60° D.70°
11如图,在☉O的内接四边形ABCD中,AB=AD,∠C=108°,点E在上,则∠E= 126 °.
12如图,四边形ABCD内接于☉O,AD,BC的延长线相交于点E,AB,DC的延长线相交于点F.若∠E=52°,∠F=36°,则∠A的度数为 46° .
13如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,点F是CD延长线上的一点,且DA平分∠BDF.
(1)求证:AB=AC;
(2)若AB=13,BC=10,求☉O半径.
解:(1)∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠ABC=∠ADF,∠ADB=∠ACB,
∵DA平分∠BDF,∴∠ADB=∠ADF,
∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC.
(2)如图,过点A作AG⊥BC于点G,
∵AB=13,BC=10,
∴BG=BC=5,
∴AG==12,
∵直线AG是BC的垂直平分线,∴圆心O在AG上,
∴OA=OB=R,OG=12-R,
∴R2=(12-R)2+52,解得R=.
14 新趋势·推理能力、几何直观、抽象能力
定义:有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形,其中这个角叫做美角.
(1)如图1,若四边形ABCD是圆美四边形.求美角∠BAD的度数;
(2)在(1)的条件下,若☉O的半径为4.
①求BD的长;
②连接CA,若CA平分∠BCD,如图2,请判断BC,CD,AC之间有怎样的数量关系,并说明理由.
解: (1)由题意得∠BAD=∠BCD,
∵∠BAD+∠BCD=180°,
∴∠BAD+2∠BAD=180°,
∴∠BAD=60°.
(2)①如图1,连接DO并延长交☉O于E点,连接BE,
∵☉O的半径为4,
∴∠EBD=90°,DE=8,
∵∠E=∠BAD,∠BAD=60°,
∴∠EDB=30°,∴BE=DE=4,
∴BD===4.
②AC=BC+CD.
理由如下:如图2,延长CB到E,使得BE=CD,连接AE,
∵∠BAD=60°,∴∠BCD=120°.
∵CA平分∠BCD,
∴∠ACB=∠ACD=60°,∴AB=AD.
∵∠ABC+∠ADC=∠ABC+∠ABE=180°,∴∠EBA=∠CDA,
∴△ACD≌△AEB,
∴∠E=∠ACD=60°,AC=AE,
∴△ACE为等边三角形,
∴AC=CE,
∵BC+BE=BC+CD=CE,
∴AC=BC+CD.
