24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
知识点1 点与圆的位置关系
1(2024·盐城质检)已知☉O的半径为3,点P与☉O在同一平面内,且OP=2.则点P与☉O的关系是 ( )
A.点P在☉O内 B.点P在☉O上
C.点P在☉O外 D.不能确定
2(2024·武汉质检)已知☉O的半径为6,OA=5,下列四个图形中,正确的可能是 ( )
3如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,以顶点A为圆心、r为半径作圆,若点B,C,D只有一点在圆内,则r的取值范围为 .
知识点2 确定圆的条件
4[教材再开发·P93探究变式]已知点A,B,且AB<6,画经过A,B两点且半径等于3的圆有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个
5如图所示,BD,CE是△ABC的高,求证:E,B,C,D四点在同一个圆上.
知识点3 三角形的外接圆与外心
6三角形的外心具有的性质是 ( )
A.到三边的距离相等
B.是三条角平分线的交点
C.到三个顶点的距离相等
D.外心在三角形内
7 如图,在平面直角坐标系xOy中,A(3,6),B(1,4),C(1,0),则△ABC外接圆的圆心坐标为 .
8已知a,b,c是△ABC的三边长,且a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0.
(1)求a,b,c的值;
(2)求△ABC外接圆的半径.
知识点4 反证法
9用反证法证明:△ABC的三个内角中至少有一个角不大于60°.
练易错 三角形外心的位置考虑不全而出错
10点O是△ABC的外心,若∠BOC=80°,则∠BAC的度数为 ( )
A.40° B.100°
C.40°或140° D.40°或100°
11 [数学与生活]如图所示,体育课上,小丽的铅球成绩为6.4 m,她投出的铅球落在 ( )
A.区域① B.区域②
C.区域③ D.区域④
12三角形两边的长分别是 8 和 6,第三边的长是方程 x2-12x+20=0 的一个实数根,则三角形的外接圆半径是 ( )
A.4 B.5 C.6 D.8
13(2024·北京期中)如图,A,B,C是某社区的三栋楼,若在AC中点D处建一个5G基站,其覆盖半径为200 m,则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是 ( )
A.A,B,C都不在
B.只有B
C.只有A,C
D.A,B,C
14已知平面上点P到圆周上的点的最长距离为8,最短距离为4,则此圆的半径为 .
15如图,Rt△ABC的两条直角边BC=15 cm,AC=20 cm,斜边AB上的高为CD.若以C为圆心,分别以r1=11 cm,r2=12 cm,r3=13 cm为半径作圆,试判断D点与这三个圆的位置关系.
16 新趋势·推理能力、创新意识
操作与探究
我们知道:过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆.探究过四边形四个顶点作圆的条件.
(1)分别测量图1,2,3各四边形的内角,如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆,那么其相对的两个角之间有什么关系
(2)如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆,那么其相对的两个角之间有上面的关系吗 试结合图4,5说明其中的道理.(提示:考虑∠A+∠BCD与180°之间的关系)
(3)由上面的探究,试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件.24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
知识点1 点与圆的位置关系
1(2024·盐城质检)已知☉O的半径为3,点P与☉O在同一平面内,且OP=2.则点P与☉O的关系是 (A)
A.点P在☉O内 B.点P在☉O上
C.点P在☉O外 D.不能确定
2(2024·武汉质检)已知☉O的半径为6,OA=5,下列四个图形中,正确的可能是 (B)
3如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,以顶点A为圆心、r为半径作圆,若点B,C,D只有一点在圆内,则r的取值范围为 3知识点2 确定圆的条件
4[教材再开发·P93探究变式]已知点A,B,且AB<6,画经过A,B两点且半径等于3的圆有 (C)
A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个
5如图所示,BD,CE是△ABC的高,求证:E,B,C,D四点在同一个圆上.
证明:
如图所示,取BC的中点F,连接DF,EF.
∵BD,CE是△ABC的高,
∴△BCD和△BCE都是直角三角形.∴DF,EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线,
∴DF=EF=BF=CF.
∴E,B,C,D四点在以F点为圆心,BC为半径的圆上.
知识点3 三角形的外接圆与外心
6三角形的外心具有的性质是 (C)
A.到三边的距离相等
B.是三条角平分线的交点
C.到三个顶点的距离相等
D.外心在三角形内
7 如图,在平面直角坐标系xOy中,A(3,6),B(1,4),C(1,0),则△ABC外接圆的圆心坐标为 (5,2) .
8已知a,b,c是△ABC的三边长,且a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0.
(1)求a,b,c的值;
(2)求△ABC外接圆的半径.
解: (1)∵a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0,
∴a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
即(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0,
∴a=3,b=4,c=5;
(2)∵a=3,b=4,c=5;
∴a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形,且c为斜边,
如图所示,取Rt△ABC斜边AB上的中点D,则CD即为△ABC外接圆的半径,
∴CD=AD=AB=.
即△ABC外接圆半径为.
知识点4 反证法
9用反证法证明:△ABC的三个内角中至少有一个角不大于60°.
证明:假设∠A,∠B,∠C都大于60°,
则∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形的内角和等于180°相矛盾,因此假设不成立,
∴∠A,∠B,∠C中至少有一个角不大于60°.
练易错 三角形外心的位置考虑不全而出错
10点O是△ABC的外心,若∠BOC=80°,则∠BAC的度数为 (C)
A.40° B.100°
C.40°或140° D.40°或100°
11 [数学与生活]如图所示,体育课上,小丽的铅球成绩为6.4 m,她投出的铅球落在 (D)
A.区域① B.区域②
C.区域③ D.区域④
12三角形两边的长分别是 8 和 6,第三边的长是方程 x2-12x+20=0 的一个实数根,则三角形的外接圆半径是 (B)
A.4 B.5 C.6 D.8
13(2024·北京期中)如图,A,B,C是某社区的三栋楼,若在AC中点D处建一个5G基站,其覆盖半径为200 m,则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是 (A)
A.A,B,C都不在
B.只有B
C.只有A,C
D.A,B,C
14已知平面上点P到圆周上的点的最长距离为8,最短距离为4,则此圆的半径为 2或6 .
15如图,Rt△ABC的两条直角边BC=15 cm,AC=20 cm,斜边AB上的高为CD.若以C为圆心,分别以r1=11 cm,r2=12 cm,r3=13 cm为半径作圆,试判断D点与这三个圆的位置关系.
解:∵Rt△ABC的两条直角边BC=15 cm,AC=20 cm,∴由勾股定理可得AB==25 cm,∵BC·AC=CD·AB,∴CD==12 cm,∴当以r1=
11 cm为半径作圆时,D点在这个圆的外部;
当以r2=12 cm为半径作圆时,D点在这个圆的圆上;当以r3=13 cm为半径作圆时,D点在这个圆的内部.
16 新趋势·推理能力、创新意识
操作与探究
我们知道:过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆.探究过四边形四个顶点作圆的条件.
(1)分别测量图1,2,3各四边形的内角,如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆,那么其相对的两个角之间有什么关系
(2)如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆,那么其相对的两个角之间有上面的关系吗 试结合图4,5说明其中的道理.(提示:考虑∠A+∠BCD与180°之间的关系)
(3)由上面的探究,试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件.
解:(1)对角互补(对角之和等于180°);
如题图1,矩形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,则∠A+∠C=∠B+∠D=180°,A,B,C,D四点共圆.
如题图2,在平行四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D,A,B,C,D四点不共圆.
如题图3,∠A+∠C=∠B+∠D=180°,A,B,C,D四点共圆.
综上所述,相对的两个角之间的关系是互补.
(2)如果四边形没有外接圆,那么相对的两个内角之间没有上述的关系.
图4:连接BE,∵∠A+∠E=180°,∠BCD>∠E,∴∠A+∠BCD>180°;
图5:连接DE,∵∠A+∠BED=180°,∠BED>∠C,∴∠A+∠C<180°.
(3)四边形对角互补时,过四边形的四个顶点能作一个圆.
