第2课时 切线的判定和性质
知识点1 切线的判定
1如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆的一个公共点为C,且C是AB中点,则直线AB与小圆☉O的位置关系是 ( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.不能确定
2[教材再开发·P98例1变式]如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,以点A为圆心,以3 cm为半径作☉A,当AB= cm时,BC与☉A相切.
知识点2 切线的性质
3如图,AB是☉O的直径,BC与☉O相切于点B,AC交☉O于点D,若∠ACB=50°,则∠BOD等于 ( )
A.40° B.50° C.60° D.80°
4如图,☉O的半径为4 cm,BC是直径,若AB=10 cm,AC是☉O的切线,则AC= cm.
5如图,点C是☉O的直径AB延长线上的一点,CD切☉O于点D.若CD=12,CB=8,则☉O的半径长为多少.
知识点3 切线的判定与性质
6下列说法错误的有 ( )
①圆的切线垂直于半径;
②圆的切线垂直于过切点的半径;
③过半径端点的垂线是圆的切线;
④过直径端点的垂线是圆的切线.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7如图,AB为☉O的直径,点C,D都在☉O上,BD平分∠ABC,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E.
(1)求证:DE是☉O的切线.
(2)延长ED交BA的延长线于点F.若∠F=30°,AB=8,则BE的长为多少
8如图,P是☉O的直径CD的延长线上一点,∠P=30°,则当∠ACP=________时,直线PA是☉O的切线. ( )
A.20° B.30° C.15° D.25°
9如图,∠ABC=80°,O为射线BC上一点,以点O为圆心,OB长为半径作☉O,要使射线BA与☉O相切,应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转 ( )
A.40°或80° B.50°或110°
C.50°或100° D.60°或120°
10如图,在△ABC中,AB=AC.
以AB为直径的☉O与线段BC交于点D,过点D作DE⊥AC,垂足为E,ED的延长线与AB的延长线交于点P.
(1)求证:直线PE是☉O的切线;
(2)若☉O的半径为6,∠P=30°,求CE的长.
11 新趋势·推理能力、几何直观
小高同学在一本数学课外读物上看到一个与圆相关的角——弦切角(弦切角的定义:把顶点在圆上,一边与圆相切,另一边和圆相交的角叫做弦切角),知道了弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数.
【证明】在证明时,细心的小高考虑了三种情况,圆心在弦切角∠PAB的一条边上,圆心在弦切角外,圆心在弦切角内.如图1,PA与☉O相切于点A,AB为直径,当圆心O在AB上时,容易得到∠PAB=90°,所以弦切角∠PAB=∠C=90°,请帮助小高继续解决下面的问题.
(1)如图2,PA是☉O的切线,A为切点,AC为直径,∠PAB所夹弧所对的圆周角为∠C,求证:∠PAB=∠C;
(2)如图3,PA是☉O的切线,A为切点,∠PAB所夹弧所对的圆周角为∠C.求证:∠PAB=∠C;
【解决问题】
(3)如图4,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点E,过点B作☉O的切线交AC的延长线于点D,直接写出∠CBD与∠CAB的数量关系:________________. 第2课时 切线的判定和性质
知识点1 切线的判定
1如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆的一个公共点为C,且C是AB中点,则直线AB与小圆☉O的位置关系是 (B)
A.相离 B.相切
C.相交 D.不能确定
2[教材再开发·P98例1变式]如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,以点A为圆心,以3 cm为半径作☉A,当AB= 6 cm时,BC与☉A相切.
知识点2 切线的性质
3如图,AB是☉O的直径,BC与☉O相切于点B,AC交☉O于点D,若∠ACB=50°,则∠BOD等于 (D)
A.40° B.50° C.60° D.80°
4如图,☉O的半径为4 cm,BC是直径,若AB=10 cm,AC是☉O的切线,则AC= 6 cm.
5如图,点C是☉O的直径AB延长线上的一点,CD切☉O于点D.若CD=12,CB=8,则☉O的半径长为多少.
解:如图,连接OD,
∵CD切☉O于点D,
∴∠ODC=90°,
设☉O的半径长为r,
则OD=r,OC=OB+BC=r+8,
在Rt△ODC中,OD2+CD2=OC2,
∴r2+122=(r+8)2,
解得r=5,即☉O的半径长为5.
知识点3 切线的判定与性质
6下列说法错误的有 (B)
①圆的切线垂直于半径;
②圆的切线垂直于过切点的半径;
③过半径端点的垂线是圆的切线;
④过直径端点的垂线是圆的切线.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7如图,AB为☉O的直径,点C,D都在☉O上,BD平分∠ABC,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E.
(1)求证:DE是☉O的切线.
(2)延长ED交BA的延长线于点F.若∠F=30°,AB=8,则BE的长为多少
解: (1)连接OD,如图,
∵BD平分∠ABC,∴∠OBD=∠EBD,
∵OB=OD,∴∠ODB=∠OBD,
∴∠ODB=∠EBD,∴OD∥BE,
∵DE⊥BE,∴DE⊥OD,
∴DE是☉O的切线.
(2)∵AB=8,∴OA=OB=OD=4,
∵OD⊥EF,∴∠ODF=90°,
在Rt△ODF中,
∵∠F=30°,∴OF=2OD=8,
∴BF=OF+OB=8+4=12,
∵BE⊥EF,∴∠E=90°,在Rt△EFB中,
∵∠F=30°,∴BE=BF=6.
8如图,P是☉O的直径CD的延长线上一点,∠P=30°,则当∠ACP=________时,直线PA是☉O的切线. (B)
A.20° B.30° C.15° D.25°
9如图,∠ABC=80°,O为射线BC上一点,以点O为圆心,OB长为半径作☉O,要使射线BA与☉O相切,应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转 (B)
A.40°或80° B.50°或110°
C.50°或100° D.60°或120°
10如图,在△ABC中,AB=AC.
以AB为直径的☉O与线段BC交于点D,过点D作DE⊥AC,垂足为E,ED的延长线与AB的延长线交于点P.
(1)求证:直线PE是☉O的切线;
(2)若☉O的半径为6,∠P=30°,求CE的长.
解:(1)连接OD,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵OB=OD,
∴∠ABC=∠ODB,
∴∠ACB=∠ODB,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,∴DE⊥OD,即PE⊥OD,
∵OD是☉O的半径,∴PE是☉O的切线;
(2)连接AD,∵DE⊥AC,∴∠AEP=90°,
∵∠P=30°,∴∠PAE=60°,∵AB=AC,
∴△ABC是等边三角形,∴∠C=60°,
∵☉O的半径为6,∴BC=AB=12,
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,
∴BD=CD=BC=6,在Rt△CDE中,CE=CD=3,即CE的长是3.
11 新趋势·推理能力、几何直观
小高同学在一本数学课外读物上看到一个与圆相关的角——弦切角(弦切角的定义:把顶点在圆上,一边与圆相切,另一边和圆相交的角叫做弦切角),知道了弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数.
【证明】在证明时,细心的小高考虑了三种情况,圆心在弦切角∠PAB的一条边上,圆心在弦切角外,圆心在弦切角内.如图1,PA与☉O相切于点A,AB为直径,当圆心O在AB上时,容易得到∠PAB=90°,所以弦切角∠PAB=∠C=90°,请帮助小高继续解决下面的问题.
(1)如图2,PA是☉O的切线,A为切点,AC为直径,∠PAB所夹弧所对的圆周角为∠C,求证:∠PAB=∠C;
(2)如图3,PA是☉O的切线,A为切点,∠PAB所夹弧所对的圆周角为∠C.求证:∠PAB=∠C;
【解决问题】
(3)如图4,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点E,过点B作☉O的切线交AC的延长线于点D,直接写出∠CBD与∠CAB的数量关系:________________.
解: (1)∵AC为直径,∴∠B=90°,
∵∠CAB+∠C+∠B=180°,
∴∠CAB+∠C=90°,
∵PA是☉O的切线,∴∠PAC=90°,
∴∠PAC=∠CAB+∠C,
即∠PAB+∠CAB=∠CAB+∠C,
∴∠PAB=∠C;
(2)如图,过点A作直径AD交☉O于点D,连接BD,
∵四边形ACBD是☉O的内接四边形,
∴∠D+∠C=180°,
即∠C=180°-∠D,
∵PA是☉O的切线,
∴∠PAD=90°,∴∠PAB=∠PAD+∠DAB=90°+∠DAB,
即∠DAB=∠PAB-90°,
∵AD为直径,∴∠ABD=90°,
∵∠ABD+∠DAB+∠D=180°,
∴∠ABD+∠PAB-90°+∠D=180°,
即∠PAB=180°-∠D,∴∠PAB=∠C;
(3)连接AE,
由弦切角定理知,∠DBC=∠BAE,
∵AB是直径,∴∠AEB=90°,
∵AB=AC,∴∠BAC=2∠BAE,
∴∠BAC=2∠CBD.
答案:∠CAB=2∠CBD
