第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
知识点1 切线长定理
1如图,PA,PB分别切☉O于A,B两点,如果∠PAB=60°,PA=2,那么AB的长为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2如图,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,连接OP,则下列判断错误的是( )
A.∠PAO=∠PBO=90°
B.OP平分∠APB
C.PA=PB
D.∠AOB=的度数
3如图,是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成,点A为60°角与直尺交点,点B为光盘与直尺唯一交点,若AB=3,则光盘的直径是 ( )
A.6 B.3 C.6 D.3
4如图,四边形ABCD是☉O的外切四边形,且AB=10,CD=12,则四边形ABCD的周长为 .
知识点2 三角形的内切圆及内心
5三角形的内心是 ( )
A.三条中线的交点
B.三条高的交点
C.三边的垂直平分线的交点
D.三条角平分线的交点
6(2024·绥化期末)如图,点O是△ABC内切圆的圆心,已知∠ABC=50°,∠ACB=80°,则∠BOC的度数是 ( )
A.100° B.115° C.125° D.130°
7[教材再开发·P100例2变式]已知△ABC的内切圆半径r=,D,E,F为切点,∠ABC=60°,BC=8,S△ABC=10,则AB的长为多少
练易错 混淆三角形的内心和外心而出错
8如图,点I是△ABC的内心,点O为△ABC的外心,若∠BOA=140°,则∠AIB的度数为 ( )
A.100° B.120° C.125° D.135°
9如图, PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,过C的切线分别交PA,PB于点E,D,若△PDE的周长为8,OP=5,则☉O的半径为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.不能确定
10[生活情境题]木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径,如图,用角尺的较短边紧靠圆O于点A,并使较长边与圆O相切于点C,记角尺的直角顶点为点B,量得AB=18 cm,BC=24 cm,则圆O的半径是 cm.
11如图,若等边△ABC的内切圆☉O的半径是2,则△ABC的面积是 .
12 (2024·天津质检)已知P为平面上一点,O是△ABC的内心,也是△BCP的外心,∠BAC=80°.则∠BPC的度数为多少
13如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点O在边AC上,以点O为圆心,OC为半径的圆交边AC于点D,交边AB于点E,且BC=BE.
(1)求证:AB是☉O的切线.
(2)若AE=24,BE=15,求☉O的半径.
14新趋势·推理能力、几何直观
如图,在△ABC中,AB=3,AC=2.25,点D是BC边上的一点,AD=BD=2DC,设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1,r2,那么= ( )
A.2 B.1.25 C.1.5 D.第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
知识点1 切线长定理
1如图,PA,PB分别切☉O于A,B两点,如果∠PAB=60°,PA=2,那么AB的长为 (B)
A.1 B.2 C.3 D.4
2如图,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,连接OP,则下列判断错误的是(D)
A.∠PAO=∠PBO=90°
B.OP平分∠APB
C.PA=PB
D.∠AOB=的度数
3如图,是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成,点A为60°角与直尺交点,点B为光盘与直尺唯一交点,若AB=3,则光盘的直径是 (A)
A.6 B.3 C.6 D.3
4如图,四边形ABCD是☉O的外切四边形,且AB=10,CD=12,则四边形ABCD的周长为 44 .
知识点2 三角形的内切圆及内心
5三角形的内心是 (D)
A.三条中线的交点
B.三条高的交点
C.三边的垂直平分线的交点
D.三条角平分线的交点
6(2024·绥化期末)如图,点O是△ABC内切圆的圆心,已知∠ABC=50°,∠ACB=80°,则∠BOC的度数是 (B)
A.100° B.115° C.125° D.130°
7[教材再开发·P100例2变式]已知△ABC的内切圆半径r=,D,E,F为切点,∠ABC=60°,BC=8,S△ABC=10,则AB的长为多少
解: 如图,连接OA,OB,OC,OE,OF,OD,
∵△ABC的内切圆半径r=,D,E,F为切点,∠ABC=60°,∴∠ABO=∠CBO=30°,
∴BE=BD=OE=3,
∵BC=8,∴CD=8-3=5=CF,
∵S△ABC=10,
∴(AB+BC+AC)·r=10,
∴(AE+3+8+5+AF)×=10,
∴AE=AF=2,即AB=3+2=5.
练易错 混淆三角形的内心和外心而出错
8如图,点I是△ABC的内心,点O为△ABC的外心,若∠BOA=140°,则∠AIB的度数为 (C)
A.100° B.120° C.125° D.135°
9如图, PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,过C的切线分别交PA,PB于点E,D,若△PDE的周长为8,OP=5,则☉O的半径为 (B)
A.2 B.3
C.4 D.不能确定
10[生活情境题]木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径,如图,用角尺的较短边紧靠圆O于点A,并使较长边与圆O相切于点C,记角尺的直角顶点为点B,量得AB=18 cm,BC=24 cm,则圆O的半径是 25 cm.
11如图,若等边△ABC的内切圆☉O的半径是2,则△ABC的面积是 12 .
12 (2024·天津质检)已知P为平面上一点,O是△ABC的内心,也是△BCP的外心,∠BAC=80°.则∠BPC的度数为多少
解:
连接OB,OC,
∵∠BAC=80°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°,
∵O是△ABC的内心,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=50°,∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)
=130°,∵O是△BCP的外心,
∴∠BPC=∠BOC=65°.
13如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点O在边AC上,以点O为圆心,OC为半径的圆交边AC于点D,交边AB于点E,且BC=BE.
(1)求证:AB是☉O的切线.
(2)若AE=24,BE=15,求☉O的半径.
解:(1)如图1,连接OE,BO,
在△OBE和△OBC中,,
∴△BOE≌△BOC(SSS),∴∠BEO=∠BCO,∵∠BCO=90°,∴∠BEO=90°,
∵OE是半径,∴AB是☉O的切线.
(2)如图2,连接OE,
∵∠ACB=90°,∴BC是☉O的切线,
∵AB是☉O的切线,BE=15,AE=24,
∴BC=BE=15,AB=BE+AE=15+24=39,
∴AC===36,
设☉O的半径为r,则OE=OC=r,OA=36-r,
∵∠BEO=∠AEO=90°,
∴OA2=OE2+AE2,
∴(36-r)2=r2+242,解得r=10,
∴☉O的半径为10.
14新趋势·推理能力、几何直观
如图,在△ABC中,AB=3,AC=2.25,点D是BC边上的一点,AD=BD=2DC,设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1,r2,那么= (C)
A.2 B.1.25 C.1.5 D.
