24.3 正多边形和圆
知识点1 正多边形与圆的关系
1如图,正多边形内接于半径相等的圆,其中正多边形的周长最大的是图形 ( )
A.① B.② C.③ D.无法判定
2[教材再开发·P106练习T2变式]下列说法正确的是 ( )
A.各角相等的圆内接多边形是正多边形
B.各边相等的圆内接多边形是正多边形
C.各角都相等的多边形是正多边形
D.各边都相等的多边形是正多边形
知识点2 与正多边形有关的计算
3若一个圆内接正多边形的中心角是40°,则这个正多边形的边数是 ( )
A.10 B.9 C.8 D.6
4(2024·广州期中)如图,☉O是正方形ABCD的外接圆,若正方形ABCD的边长为4,则圆的半径是 ( )
A.4 B.2 C.2 D.4
5利用圆的等分,在半径为3的圆中作出如图的图案,则相邻两等分点之间的距离为 ( )
A.3 B.3 C.4 D.6
6如图,A,B,C,D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心,若∠ADB=18°,则这个正多边形的边数为 .
7[教材再开发·P106例题变式]如图,☉O的半径等于4,正六边形ABCDEF内接于☉O.
(1)求圆心O到AF的距离;
(2)求正六边形ABCDEF的面积.
知识点3 与正多边形有关的作图
8如图,已知☉O.
用尺规作图作☉O的内接正六边形ABCDEF(不写作法、保留作图痕迹).
练易错 混淆正多边形的内切圆和外接圆
9边长为4 cm的正六边形,它的内切圆与外接圆半径的比值是 .
10(2024·邢台质检)已知一个三角形的内心与外心重合,若它的内切圆的半径为2,则它的外接圆的面积为 ( )
A.4π B.8π C.12π D.16π
11若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别记作a3,a4,a6,则a3∶a4∶a6等于 ( )
A.1∶∶ B.1∶2∶3
C.3∶2∶1 D.∶∶1
12如图,正八边形ABCDEFGH内接于☉O,点P是上的任意一点,则∠CPE的度数为 .
13我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”,现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形(如图),则阴影部分的面积是 .
14新趋势·推理能力、几何直观
李老师带领班级同学进行拓广探索,通过此次探索让同学们更深刻地了解π的意义.
(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值,称作这个正n边形的“正圆度”kn.如图,正三角形的边长为1,求得其内切圆的半径为,因此k3=________;
(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”k4,k6;
(3)[总结]随着n的增大,kn具有怎样的规律,试通过计算,结合圆周率的诞生,简要概括.24.3 正多边形和圆
知识点1 正多边形与圆的关系
1如图,正多边形内接于半径相等的圆,其中正多边形的周长最大的是图形 (C)
A.① B.② C.③ D.无法判定
2[教材再开发·P106练习T2变式]下列说法正确的是 (B)
A.各角相等的圆内接多边形是正多边形
B.各边相等的圆内接多边形是正多边形
C.各角都相等的多边形是正多边形
D.各边都相等的多边形是正多边形
知识点2 与正多边形有关的计算
3若一个圆内接正多边形的中心角是40°,则这个正多边形的边数是 (B)
A.10 B.9 C.8 D.6
4(2024·广州期中)如图,☉O是正方形ABCD的外接圆,若正方形ABCD的边长为4,则圆的半径是 (C)
A.4 B.2 C.2 D.4
5利用圆的等分,在半径为3的圆中作出如图的图案,则相邻两等分点之间的距离为 (A)
A.3 B.3 C.4 D.6
6如图,A,B,C,D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心,若∠ADB=18°,则这个正多边形的边数为 10 .
7[教材再开发·P106例题变式]如图,☉O的半径等于4,正六边形ABCDEF内接于☉O.
(1)求圆心O到AF的距离;
(2)求正六边形ABCDEF的面积.
解:(1)过O作OH⊥AF于H,连接OA,OF,
∵在正六边形ABCDEF中,∠BAF=120°,
∴∠OAF=60°,∵OA=4,∴AH=OA=2,
∴OH===2,∴圆心O到AF的距离为2;
(2)∵OA=OF,∠OAF=60°,∴△OAF是等边三角形,∴AF=OA=4,
∴S△AOF=×4×2=4,
∴S正六边形ABCDEF=6S△AOF=24.
知识点3 与正多边形有关的作图
8如图,已知☉O.
用尺规作图作☉O的内接正六边形ABCDEF(不写作法、保留作图痕迹).
解:正六边形ABCDEF如图所示:
练易错 混淆正多边形的内切圆和外接圆
9边长为4 cm的正六边形,它的内切圆与外接圆半径的比值是 .
10(2024·邢台质检)已知一个三角形的内心与外心重合,若它的内切圆的半径为2,则它的外接圆的面积为 (D)
A.4π B.8π C.12π D.16π
11若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别记作a3,a4,a6,则a3∶a4∶a6等于 (D)
A.1∶∶ B.1∶2∶3
C.3∶2∶1 D.∶∶1
12如图,正八边形ABCDEFGH内接于☉O,点P是上的任意一点,则∠CPE的度数为 45° .
13我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”,现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形(如图),则阴影部分的面积是 16-8 .
14新趋势·推理能力、几何直观
李老师带领班级同学进行拓广探索,通过此次探索让同学们更深刻地了解π的意义.
(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值,称作这个正n边形的“正圆度”kn.如图,正三角形的边长为1,求得其内切圆的半径为,因此k3=________;
(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”k4,k6;
(3)[总结]随着n的增大,kn具有怎样的规律,试通过计算,结合圆周率的诞生,简要概括.
解:(1)由题意得,k3==.
答案:
(2)假设正方形边长为1,
∴此时正方形的内切圆半径为,
∴k4==;
如图,设正六边形的边长为1,内切圆圆心为O,则∠AOB==60°,
又∵OA=OB,
∴△AOB是等边三角形,
∴OA=OB=1,AC=,
∴OC==,
∴k6==;
(3)k3≈1.65,k4≈1.27,k6≈1.10,随着n的增大,kn越来越接近于1.由张衡、祖冲之的研究,精进π的取值的方法可知:正多边形边数越多,越接近于圆,因此当边数增多时,其周长L也与对应的内切圆周长更接近,其比值更接近于1.
