24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
知识点1 弧长公式及其应用
1(2024·杭州质检)若某圆弧所在圆的半径为2,弧所对的圆心角为120°,则这条弧长为(C)
A.π B.π C.π D.2π
2[教材再开发·P113练习T2变式]如图,一条公路(公路的宽度忽略不计)的转弯处是一段圆弧(),点O是这段弧所在圆的圆心,半径OA=90 m,圆心角∠AOB=80°,则这段弯路()的长度为 (C)
A.20π m B.30π m
C.40π m D.50π m
3如图,一块边长为8 cm的正三角形木板ABC,在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转至三角形A'BC'的位置时,顶点C从开始到结束所经过的路径长为 π cm (点A,B,C'在同一直线上).
4如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,☉O的半径为4,的长为2π,则∠ABC的大小是 45° .
知识点2 扇形面积公式及其应用
5钟面上的分针的长为1,从9点到9点15分,分针在钟面上扫过的面积是 (B)
A.π B.π
C.π D.4
6[教材再开发·P116习题24.4T8变式]如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板,该展板的部分示意图如图2所示,它是以O为圆心,OA,OB长分别为半径,圆心角∠O=120°形成的扇面,若OA=3 m,OB=1.5 m,则阴影部分的面积为 (D)
A.4.25π m2 B.3.25π m2
C.3π m2 D.2.25π m2
7如图,一块六边形绿化园地,六角都建有半径为1 m的圆形喷水池,则这六个喷水池占去的绿化园地的面积(结果保留π)为 2π m2 .
练易错 忽略一条弦所对的弧有两条而致错
8在一个半径为6 cm的圆中,有一条长度为6 cm的弦,则这条弦所对的弧长为 2π或10π .
9已知一个扇形的面积是240π,弧长是20π,则这个扇形的半径为 (C)
A.22 B.22π C.24 D.24π
10[数学与生活]某款“不倒翁”(图1)的主视图是图2,PA,PB分别与所在圆相切于点A,B.若该圆半径是9 cm,∠P=40°,则的长是 (A)
A.11π cm B.π cm C.7π cm D.π cm
11如图,点C,D分别是半圆AOB上的三等分点.若阴影部分的面积是π,则半圆的半径OA的长为 4 .
12在如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1 cm,则经过A,B,C三点的弧长是 π cm(结果保留π).
13如图,已知AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,∠AOC=60°,OC=2.
(1)求OE和CD的长;
(2)求的长及图中阴影部分的面积.
解:(1)在△OCE中,
∵∠CEO=90°,∠EOC=60°,OC=2,
∴OE=OC=1,
∴CE==,
∵OA⊥CD,∴CE=DE,
∴CD=2;
(2)∵CD⊥AB,∴=,
∵∠EOC=60°,∴∠BOC=120°,
∴的长==,
∵S△ABC=AB·EC=×4×=2,
∴S阴影=π×22-2=2π-2.
14新趋势·推理能力、创新意识
如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,CB=CD,连接BD,以点B为圆心,BA长为半径作☉B,交BD于点E.
(1)试判断CD与☉B的位置关系,并说明理由;
(2)若AB=2,∠BCD=60°,求图中阴影部分的面积.
解:(1)CD与☉B相切.理由如下:过点B作BF⊥CD,垂足为F,
∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,
∵CB=CD,∴∠CBD=∠CDB,
∴∠ADB=∠CDB.
在△ABD和△FBD中,,
∴△ABD≌△FBD(AAS),
∴BF=BA,则点F在☉B上,
∴CD与☉B相切;
(2)∵∠BCD=60°,CB=CD,
∴△BCD是等边三角形,∴∠CBD=60°,
∵BF⊥CD,∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°,∴BD=2AD=2DF,∴∠ABF=60°,
∵AB=BF=2,设AD=x,则BD=2x,
∴=2,
∴x=2,∴AD=DF=2,
∴S阴影部分=S△ABD-S扇形ABE=×2×2-=2-π.24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
知识点1 弧长公式及其应用
1(2024·杭州质检)若某圆弧所在圆的半径为2,弧所对的圆心角为120°,则这条弧长为( )
A.π B.π C.π D.2π
2[教材再开发·P113练习T2变式]如图,一条公路(公路的宽度忽略不计)的转弯处是一段圆弧(),点O是这段弧所在圆的圆心,半径OA=90 m,圆心角∠AOB=80°,则这段弯路()的长度为 ( )
A.20π m B.30π m
C.40π m D.50π m
3如图,一块边长为8 cm的正三角形木板ABC,在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转至三角形A'BC'的位置时,顶点C从开始到结束所经过的路径长为 (点A,B,C'在同一直线上).
4如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,☉O的半径为4,的长为2π,则∠ABC的大小是 .
知识点2 扇形面积公式及其应用
5钟面上的分针的长为1,从9点到9点15分,分针在钟面上扫过的面积是 ( )
A.π B.π
C.π D.4
6[教材再开发·P116习题24.4T8变式]如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板,该展板的部分示意图如图2所示,它是以O为圆心,OA,OB长分别为半径,圆心角∠O=120°形成的扇面,若OA=3 m,OB=1.5 m,则阴影部分的面积为 ( )
A.4.25π m2 B.3.25π m2
C.3π m2 D.2.25π m2
7如图,一块六边形绿化园地,六角都建有半径为1 m的圆形喷水池,则这六个喷水池占去的绿化园地的面积(结果保留π)为 .
练易错 忽略一条弦所对的弧有两条而致错
8在一个半径为6 cm的圆中,有一条长度为6 cm的弦,则这条弦所对的弧长为 .
9已知一个扇形的面积是240π,弧长是20π,则这个扇形的半径为 ( )
A.22 B.22π C.24 D.24π
10[数学与生活]某款“不倒翁”(图1)的主视图是图2,PA,PB分别与所在圆相切于点A,B.若该圆半径是9 cm,∠P=40°,则的长是 ( )
A.11π cm B.π cm C.7π cm D.π cm
11如图,点C,D分别是半圆AOB上的三等分点.若阴影部分的面积是π,则半圆的半径OA的长为 .
12在如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1 cm,则经过A,B,C三点的弧长是 cm(结果保留π).
13如图,已知AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,∠AOC=60°,OC=2.
(1)求OE和CD的长;
(2)求的长及图中阴影部分的面积.
14新趋势·推理能力、创新意识
如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,CB=CD,连接BD,以点B为圆心,BA长为半径作☉B,交BD于点E.
(1)试判断CD与☉B的位置关系,并说明理由;
(2)若AB=2,∠BCD=60°,求图中阴影部分的面积.
