第二十四章 圆
一、选择题
1点P是☉O内一点,过点P的最长弦的长为20 cm,最短弦的长为12 cm,则OP的长为( )
A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
2如图,AB是☉O的弦,AC是☉O的直径,已知AC=4,∠BAC=30°,连接BC,若D是BC的中点,则OD的长为 ( )
A. B. C. D.
3如图,☉O的直径CD=20,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,OM∶OD=3∶5,则AB的长为 ( )
A.8 B.12 C.16 D.2
4小颖同学在手工制作中,把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上,若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上,则圆的半径为 ( )
A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
5如图,有圆锥形粮堆,其正视图是边长为6的正三角形ABC,粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食,此时,小猫正在B处,它要沿圆锥侧面到达P处,捕捉老鼠,则小猫所经过的最短路程是 ( )
A.3 B.3 C.3 D.4
6如图,在半径为5的☉O中,AB,CD是互相垂直的两条弦,垂足为P,且AB=CD=8,则OP的长为 ( )
A.3 B.4 C.3 D.4
二、填空题
7如图所示的是一个圆锥的轴截面,AB=AC=6,BC=4,那么这个圆锥的侧面积是
.
8如图,OA是☉O的半径,BC是☉O的弦,OA⊥BC于点D,AE是☉O的切线,AE交OC的延长线于点E.若∠AOC=45°,BC=2,则线段AE的长为 .
9如图,已知☉P的半径为3,圆心P在抛物线y=x2+x-上运动,当☉P与x轴相切时,则圆心P的坐标为 .
10如图,在半径为3的☉O中,B是劣弧AC的中点,连接AB并延长到D,使BD=AB,连接AC,BC,CD,如果AB=2,那么CD等于 .
11如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2,若以AB为直径画半圆,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,则阴影部分面积为 .(结果保留π)
三、解答题
12如图,在△ABC中.∠ACB=90°,AB=10,BC=6.
(1)用直尺和圆规作出☉O,使圆心O在AC边上,并与其他两边都相切,与边BC相切于点C;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)通过作图,试说明☉O与AB相切的理由;
(3)求☉O的半径.
13如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,连接AC,BC,BD,∠D=30°.
(1)求∠ABC的度数;
(2)若AC=4,求BC的长.
14如图1,四边形ABCD内接于☉O,AD为直径,过点C作CE⊥AB于点E,连接AC.
(1)求证:∠CAD=∠ECB;
(2)如图2,连接OC,若OC⊥CE,∠EAD=60°,AC=2,求AD,AC与围成阴影部分的面积.
15如图,以线段AB为直径作☉O,交射线AC于点C,AD平分∠CAB交☉O于点D,过点D作直线DE⊥AC于点E,交AB的延长线于点F.连接BD并延长交AC于点M.
(1)求证:直线DE是☉O的切线;
(2)求证:AB=AM;
(3)若ME=1,∠F=30°,求BF的长.第二十四章 圆
一、选择题
1点P是☉O内一点,过点P的最长弦的长为20 cm,最短弦的长为12 cm,则OP的长为(B)
A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
2如图,AB是☉O的弦,AC是☉O的直径,已知AC=4,∠BAC=30°,连接BC,若D是BC的中点,则OD的长为 (B)
A. B. C. D.
3如图,☉O的直径CD=20,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,OM∶OD=3∶5,则AB的长为 (C)
A.8 B.12 C.16 D.2
4小颖同学在手工制作中,把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上,若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上,则圆的半径为 (B)
A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
5如图,有圆锥形粮堆,其正视图是边长为6的正三角形ABC,粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食,此时,小猫正在B处,它要沿圆锥侧面到达P处,捕捉老鼠,则小猫所经过的最短路程是 (B)
A.3 B.3 C.3 D.4
6如图,在半径为5的☉O中,AB,CD是互相垂直的两条弦,垂足为P,且AB=CD=8,则OP的长为 (C)
A.3 B.4 C.3 D.4
二、填空题
7如图所示的是一个圆锥的轴截面,AB=AC=6,BC=4,那么这个圆锥的侧面积是
12π .
8如图,OA是☉O的半径,BC是☉O的弦,OA⊥BC于点D,AE是☉O的切线,AE交OC的延长线于点E.若∠AOC=45°,BC=2,则线段AE的长为 .
9如图,已知☉P的半径为3,圆心P在抛物线y=x2+x-上运动,当☉P与x轴相切时,则圆心P的坐标为 (-1,3)或(--1,3) .
10如图,在半径为3的☉O中,B是劣弧AC的中点,连接AB并延长到D,使BD=AB,连接AC,BC,CD,如果AB=2,那么CD等于 .
11如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2,若以AB为直径画半圆,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,则阴影部分面积为 π+ .(结果保留π)
三、解答题
12如图,在△ABC中.∠ACB=90°,AB=10,BC=6.
(1)用直尺和圆规作出☉O,使圆心O在AC边上,并与其他两边都相切,与边BC相切于点C;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)通过作图,试说明☉O与AB相切的理由;
(3)求☉O的半径.
解:(1)如图所示,
(2)过点O作OM⊥AB,垂足为点M.
由题可知,BO是∠ABC的平分线,
∵∠ACB=90°,∴OC⊥BC,
∵BO是∠ABC的平分线,OM⊥AB,
∴OC=OM,∴OM是☉O的半径,
∴AB与☉O相切;
(3)在△ABC中,
∵∠ACB=90°,AB=10,BC=6.
∴AC==8,∵BC,AB与☉O相切,∴BM=BC=6,∴AM=4,
设☉O半径为x,则OA=8-x,OM=x,
根据勾股定理得,x2+42=(8-x)2,解得x=3,∴☉O的半径为3.
13如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,连接AC,BC,BD,∠D=30°.
(1)求∠ABC的度数;
(2)若AC=4,求BC的长.
解:(1)∵点C在☉O上,AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠D=30°,∴∠A=30°,
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°,
∴∠ABC=180°-90°-30°=60°;
(2)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
∴BC=AB,设BC=x,则AB=2x,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,由勾股定理得:AB2=AC2+BC2,
∵BC=x,AB=2x,AC=4,
∴x2+=(2x)2,
∵解得x=4,x=-4(舍),∴BC的长为4.
14如图1,四边形ABCD内接于☉O,AD为直径,过点C作CE⊥AB于点E,连接AC.
(1)求证:∠CAD=∠ECB;
(2)如图2,连接OC,若OC⊥CE,∠EAD=60°,AC=2,求AD,AC与围成阴影部分的面积.
解:(1)∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,
∴∠CBE=∠D,
∵AD为☉O的直径,
∴∠ACD=90°,
∴∠D+∠CAD=90°,
∴∠CBE+∠CAD=90°,
∵CE⊥AB,
∴∠CBE+∠BCE=90°,
∴∠CAD=∠BCE;
(2)∵CE⊥AB,OC⊥CE,
∴AE∥OC,
∴∠COD=∠EAD=60°,
∵OA=OC,∠AOC=120°,AC=2,
∴OA=OC=AB=2,
∴AD=2OA=4,
在Rt△ACD中,∠CAD=30°,∴CD=2,
∴AD,AC与围成阴影部分的面积为:S△AOC+S扇形OCD=××2×2+
=+.
15如图,以线段AB为直径作☉O,交射线AC于点C,AD平分∠CAB交☉O于点D,过点D作直线DE⊥AC于点E,交AB的延长线于点F.连接BD并延长交AC于点M.
(1)求证:直线DE是☉O的切线;
(2)求证:AB=AM;
(3)若ME=1,∠F=30°,求BF的长.
解:(1)连接OD,则OD=OA,
∴∠ODA=∠OAD,
∵AD平分∠CAB,
∴∠OAD=∠DAC,
∴∠ODA=∠DAC,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,
∴∠ODF=∠AED=90°,
∵OD是☉O的半径,且DE⊥OD,
∴直线DE是☉O的切线.
(2)∵线段AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADM=180°-∠ADB=90°,
∴∠M+∠DAM=90°,∠ABM+∠DAB=90°,
∵∠DAM=∠DAB,
∴∠M=∠ABM,
∴AB=AM.
(3)∵∠AEF=90°,∠F=30°,
∴∠BAM=60°,
∴△ABM是等边三角形,
∴∠M=60°,
∵∠DEM=90°,ME=1,
∴∠EDM=30°,
∴MD=2ME=2,
∴BD=MD=2,
∵∠BDF=∠EDM=30°,
∴∠BDF=∠F,
∴BF=BD=2.
