第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
知识点1 一元二次方程的定义
1(2024·广州白云区期末)下列方程中是一元二次方程的是 ( )
A.x2+2x=0
B.+x=3
C.x+3=0
D.x3+2x2=1
2已知关于x的方程(a-1)x2-2x+1=0是一元二次方程,则a的取值范围是 .
知识点2 一元二次方程的一般形式
3(2024·北京海淀区期中)一元二次方程x2+3x-1=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 ( )
A.1,3,1 B.1,3,-1
C.0,-3,1 D.0,-3,-1
4将一元二次方程2(x+3)(x-4)=x2-10化成它的一般形式为 .
5将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
(1)x(x-2)=x+3.
(2)2x2=2x-3.
(3)(x+3)(x-3)=5x.
知识点3 一元二次方程的解
6[教材再开发·P4习题21.1T3变式]下列是方程3x2+x-2=0的解的是 ( )
A.x=-1 B.x=1
C.x=-2 D.x=2
7若a是方程2x2-4x-1=0的一个根,则式子2 023+2a2-4a的值为 .
练易错 忽视二次项系数不等于0而致错
8已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根为x=0,则a的值为( )
A.0 B.±1
C.1 D.-1
知识点4 根据实际问题列一元二次方程
9如图,把一块长为40 cm、宽为30 cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的正方形,然后把纸板的四边沿虚线折起,并用胶带粘好,即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600 cm2,设剪去小正方形的边长为x cm,则可列方程为 ( )
A.(30-2x)(40-x)=600
B.(30-x)(40-x)=600
C.(30-x)(40-2x)=600
D.(30-2x)(40-2x)=600
10有x支球队参加篮球比赛,每两队之间都比赛一场,共比赛了45场.根据题意可列出方程: .
11若关于x的一元二次方程(x+2)2=m(2x+1)中不含常数项,则m的值是 ( )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
12(2024·长春期中)如表是代数式ax2+bx的值的情况,根据表格中的数据,可知方程ax2+bx=2的根是 ( )
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
ax2+bx … 12 6 2 0 0 2 6 12 …
A.x1=0,x2=1 B.x1=-1,x2=2
C.x1=-2,x2=3 D.x1=-3,x2=4
13已知一个一元二次方程的一个根为5,二次项系数是1,则这个一元二次方程可以是 .(只需写出一个方程即可)
14已知m是方程x2-x-2=0的一个实数根,则代数式(m2-m) (m-)的值为 .
15已知x=0是关于x的一元二次方程(m-1)x2+mx+4m2-4=0的一个根,求直线y=mx-2经过哪些象限.
16新趋势·推理能力、创新意识
请阅读下列材料:
问题:已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
知识点1 一元二次方程的定义
1(2024·广州白云区期末)下列方程中是一元二次方程的是 (A)
A.x2+2x=0
B.+x=3
C.x+3=0
D.x3+2x2=1
2已知关于x的方程(a-1)x2-2x+1=0是一元二次方程,则a的取值范围是 a≠1 .
知识点2 一元二次方程的一般形式
3(2024·北京海淀区期中)一元二次方程x2+3x-1=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 (B)
A.1,3,1 B.1,3,-1
C.0,-3,1 D.0,-3,-1
4将一元二次方程2(x+3)(x-4)=x2-10化成它的一般形式为 x2-2x-14=0 .
5将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
(1)x(x-2)=x+3.
(2)2x2=2x-3.
(3)(x+3)(x-3)=5x.
解:(1)方程x(x-2)=x+3化成一般形式是x2-3x-3=0,它的二次项系数是1,一次项系数是-3,常数项是-3.
(2)∵2x2=2x-3,∴2x2-2x+3=0,∴二次项系数是2,一次项系数是-2,常数项是3.
(3)化为一般形式,得x2-5x-9=0,∴二次项系数是1,一次项系数是-5,常数项是-9.
知识点3 一元二次方程的解
6[教材再开发·P4习题21.1T3变式]下列是方程3x2+x-2=0的解的是 (A)
A.x=-1 B.x=1
C.x=-2 D.x=2
7若a是方程2x2-4x-1=0的一个根,则式子2 023+2a2-4a的值为 2 024 .
练易错 忽视二次项系数不等于0而致错
8已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根为x=0,则a的值为(D)
A.0 B.±1
C.1 D.-1
知识点4 根据实际问题列一元二次方程
9如图,把一块长为40 cm、宽为30 cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的正方形,然后把纸板的四边沿虚线折起,并用胶带粘好,即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600 cm2,设剪去小正方形的边长为x cm,则可列方程为 (D)
A.(30-2x)(40-x)=600
B.(30-x)(40-x)=600
C.(30-x)(40-2x)=600
D.(30-2x)(40-2x)=600
10有x支球队参加篮球比赛,每两队之间都比赛一场,共比赛了45场.根据题意可列出方程: x(x-1)=45 .
11若关于x的一元二次方程(x+2)2=m(2x+1)中不含常数项,则m的值是 (C)
A.2 B.-2 C.4 D.-4
12(2024·长春期中)如表是代数式ax2+bx的值的情况,根据表格中的数据,可知方程ax2+bx=2的根是 (B)
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
ax2+bx … 12 6 2 0 0 2 6 12 …
A.x1=0,x2=1 B.x1=-1,x2=2
C.x1=-2,x2=3 D.x1=-3,x2=4
13已知一个一元二次方程的一个根为5,二次项系数是1,则这个一元二次方程可以是 x2-5x=0(答案不唯一) .(只需写出一个方程即可)
14已知m是方程x2-x-2=0的一个实数根,则代数式(m2-m) (m-)的值为 2 .
15已知x=0是关于x的一元二次方程(m-1)x2+mx+4m2-4=0的一个根,求直线y=mx-2经过哪些象限.
解:∵x=0是关于x的一元二次方程(m-1)x2+mx+4m2-4=0的一个根,
∴4m2-4=0,解得m=±1,
根据题意,得m-1≠0,∴m≠1,∴m=-1,∴直线y=mx-2经过的象限是第二、三、四象限.
16新趋势·推理能力、创新意识
请阅读下列材料:
问题:已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为y,则y=2x,
所以把x=代入已知方程,得()2+-1=0,
化简,得y2+2y-4=0,
故所求方程为y2+2y-4=0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
请用“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式):
(1)已知方程x2+3x-2=0,求一个一元二次方程,使它的根分别为已知方程根的相反数;
(2)已知关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.
解:(1)设所求方程的根为y,则x=-y,把x=-y代入方程x2+3x-2=0得y2-3y-2=0,
即所求方程为y2-3y-2=0;
(2)设所求方程的根为y,则x=,把x=代入方程ax2-bx+c=0得a·-b·+c=0,
整理得cy2-by+a=0,即所求方程为cy2-by+a=0.
