*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
知识点1 二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系
1已知x1,x2是方程-x2+5x-2=0的两个根,则x1+x2的值为 (A)
A.5 B.-5
C.2 D.-2
2设方程x2-4x-1=0的两个根为x1与x2,则x1x2的值是 (B)
A.-4 B.-1 C.1 D.0
3(2024·广州越秀区期末)设方程x2+x-2=0的两个根为α,β,那么α+β-αβ的值等于(C)
A.-3 B.-1 C.1 D.3
4已知m,n是方程x2-3x-4=0的两个根,则m2+mn+3n= (C)
A.8 B.7 C.9 D.6
5(2024·扬州期中)若a,b是方程x2-4x-2 023=0的两个根,则a+b= 4 .
6(2024·枣庄期中)如果m,n是关于x的一元二次方程x2-3x+2=0的两个不相等的实数根,则+= .
知识点2 二次项系数不为1的一元二次方程的根与系数的关系
7(2024·无锡期中)下列一元二次方程中,两根之和为2的是 (D)
A.x2-2x+3=0 B.-x2-2x+1=0
C.x2-x-1=0 D.2x2-4x-1=0
8已知x1,x2是一元二次方程3x2=6-2x的两根,则x1-x1x2+x2的值是 (D)
A.- B. C.- D.
9已知关于x的方程2x2-4x+3m=0的一个根为1-,则另一个根为 1+ .
10设x1,x2是方程2x2+5x-7=0的两个根,则+的值为 .
11已知x1,x2是方程2x2-5x+1=0的两个实数根,求下列各式的值:
(1)x1+x2.
(2)(x1-x2)2.
解:由题得,x1+x2=,x1x2=,
(1)原式=x1x2(x1+x2)=×=.
(2)原式=(x1+x2)2-4x1x2=-4×=.
练易错 忽略根不存在的情况
12关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+2=0.
(1)若方程总有两个实数根,求m的取值范围;
(2)在(1)的条件下,若两个实数根x1,x2满足x1+x2=x1x2,求m的值.
解:(1)Δ=[-2(m+1)]2-4(m2+2)=8m-4,
∵方程总有两个实数根,∴8m-4≥0,∴m≥.
(2)由x1+x2=x1x2,
∵x1+x2=2(m+1),x1x2=m2+2,∴2(m+1)=m2+2,
整理得m2-2m=0,
解得m1=0或m2=2,
∵m≥,∴m=2.
13(2024·平顶山期中)已知方程12x2-6x-8=0,则此方程 (C)
A.无实数根 B.两根之和为-
C.两根之积为- D.有一根为-1+
14已知一元二次方程x2-3x+1=0的两根为m,n,则m2-5m-2n的值为 (A)
A.-7 B.-3 C.2 D.5
15一直角三角形的两直角边长分别为方程x2-7x+10=0的两根,则它的面积是 (A)
A.5 B.7 C.10 D.35
16(2024·凉山质检)已知实数m,n满足等式m2-2m-1=0,n2-2n-1=0,则+的值是 -6或2 .
17(2024·广州黄埔区期末)已知关于x的一元二次方程2x2-4x+k-1=0有实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若此方程的两根为x1,x2,且x1,x2为矩形的两对角线长,求k;
(3)若k为正整数,此方程的两根为x1,x2,求++.
解:(1)∵2x2-4x+k-1=0有实数根,∴Δ=(-4)2-4×2×(k-1)≥0,
解得:k≤3;
(2)∵x1,x2为矩形的两对角线长,矩形的对角线长相等,
∴方程有两个相等的实数根,∴Δ=0,∴(-4)2-4×2×(k-1)=0,
∴k=3,∴k的值为3;
(3)∵x1+x2=2,x1x2=,∴+=(x1+x2)2-2x1x2=4-k+1=5-k,
∴++=5-k+,∵k≤3,k-1≠0,k为正整数,∴k=2或3,
∴++=5-k+=5或3.
18新趋势·几何直观、模型观念
(2024·泰州期中)已知平行四边形ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程x2-mx+m-1=0的两个实数根.
(1)m为何值时,四边形ABCD是菱形 求出这时菱形的边长;
(2)如果AB的长为2,那么平行四边形ABCD的周长是多少
解:(1)∵平行四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,
∴方程x2-mx+m-1=0有两个相等的实数根,∴Δ=(-m)2-4(m-1)=0,
解得m1=m2=2, 当m=2时,方程为x2-2x+1=0,解得x1=x2=1,
即菱形的边长为1;
(2)∵AB,AD的长是方程x2-mx+m-1=0的两个实数根,AB的长为2,
∴AB+AD=m,2是方程的一个根,∴22-2m+m-1=0,∴解得m=3,
∴AB+AD=3,∴2(AB+AD)=6,∴平行四边形ABCD的周长为6.*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
知识点1 二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系
1已知x1,x2是方程-x2+5x-2=0的两个根,则x1+x2的值为 ( )
A.5 B.-5
C.2 D.-2
2设方程x2-4x-1=0的两个根为x1与x2,则x1x2的值是 ( )
A.-4 B.-1 C.1 D.0
3(2024·广州越秀区期末)设方程x2+x-2=0的两个根为α,β,那么α+β-αβ的值等于( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
4已知m,n是方程x2-3x-4=0的两个根,则m2+mn+3n= ( )
A.8 B.7 C.9 D.6
5(2024·扬州期中)若a,b是方程x2-4x-2 023=0的两个根,则a+b= .
6(2024·枣庄期中)如果m,n是关于x的一元二次方程x2-3x+2=0的两个不相等的实数根,则+= .
知识点2 二次项系数不为1的一元二次方程的根与系数的关系
7(2024·无锡期中)下列一元二次方程中,两根之和为2的是 ( )
A.x2-2x+3=0 B.-x2-2x+1=0
C.x2-x-1=0 D.2x2-4x-1=0
8已知x1,x2是一元二次方程3x2=6-2x的两根,则x1-x1x2+x2的值是 ( )
A.- B. C.- D.
9已知关于x的方程2x2-4x+3m=0的一个根为1-,则另一个根为 .
10设x1,x2是方程2x2+5x-7=0的两个根,则+的值为 .
11已知x1,x2是方程2x2-5x+1=0的两个实数根,求下列各式的值:
(1)x1+x2.
(2)(x1-x2)2.
练易错 忽略根不存在的情况
12关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+2=0.
(1)若方程总有两个实数根,求m的取值范围;
(2)在(1)的条件下,若两个实数根x1,x2满足x1+x2=x1x2,求m的值.
13(2024·平顶山期中)已知方程12x2-6x-8=0,则此方程 ( )
A.无实数根 B.两根之和为-
C.两根之积为- D.有一根为-1+
14已知一元二次方程x2-3x+1=0的两根为m,n,则m2-5m-2n的值为 ( )
A.-7 B.-3 C.2 D.5
15一直角三角形的两直角边长分别为方程x2-7x+10=0的两根,则它的面积是 ( )
A.5 B.7 C.10 D.35
16(2024·凉山质检)已知实数m,n满足等式m2-2m-1=0,n2-2n-1=0,则+的值是 .
17(2024·广州黄埔区期末)已知关于x的一元二次方程2x2-4x+k-1=0有实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若此方程的两根为x1,x2,且x1,x2为矩形的两对角线长,求k;
(3)若k为正整数,此方程的两根为x1,x2,求++.
18新趋势·几何直观、模型观念
(2024·泰州期中)已知平行四边形ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程x2-mx+m-1=0的两个实数根.
(1)m为何值时,四边形ABCD是菱形 求出这时菱形的边长;
(2)如果AB的长为2,那么平行四边形ABCD的周长是多少
