第2课时 配方法
知识点1 用配方法解系数为1的一元二次方程
1下列式子中是完全平方式的是 ( )
A.a2+2ab+b2 B.a2+2a+2
C.a2-2b+b2 D.a2+2ab+1
2(2024·佛山顺德区期末)用配方法解方程x2-6x-5=0时,配方结果正确的是 ( )
A.(x-3)2=4 B.(x-6)2=41
C.(x+3)2=14 D.(x-3)2=14
3[教材再开发·P6探究变式]若多项式x2+kx+16是一个完全平方式,则k的值应是( )
A.4或-4 B.8
C.-8 D.8或-8
4用配方法解下列方程:
(1)x2+6x=-7; (2)x2-2x-3=0.
练易错 配方时,忘记左右两边同时加上一次项系数的一半
5新课标·过程性学习小明同学解一元二次方程x2-2x-2=0的过程如下:
解:x2-2x=2,第一步;
x2-2x+1=2,第二步;
(x-1)2=2,第三步;
x-1=±,第四步;
x1=1+,x2=1-,第五步.
(1)小明解方程的方法是________,他的求解过程从第________步开始出现错误.
(2)请用小明的方法完成这个方程的正确解题过程.
知识点2 用配方法解系数不为1的一元二次方程
6下列方程中配方中有错误的是 ( )
A.x2-4x-1=0化为(x-2)2=5
B.x2+6x+8=0化为(x+3)2=1
C.2x2-7x-6=0化为(x-)2=
D.3x2-4x-2=0化为(x-)2=
7用配方法解下列方程:
(1)2x2-3x-6=0;
(2)x2+x-2=0.
8新课标·过程性学习在解方程2x2+4x+1=0时,对方程进行配方,图1是小思做的,图2是小博做的,对于两人的做法,说法正确的是 ( )
A.两人都正确
B.小思正确,小博不正确
C.小思不正确,小博正确
D.两人都不正确
9一元二次方程x2+px+q=0在用配方法配成(x+m)2=n时,下面结论正确的是 ( )
A.m是p的一半
B.m是p的一半的平方
C.m是p的2倍
D.m是p的一半的相反数
10若代数式M=10a2+b2-7a+8,N=a2+b2+5a+1,则M-N的值 ( )
A.一定是负数 B.一定是正数
C.一定不是负数 D.一定不是正数
11若三角形的三边a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断此三角形的形状,并求此三角形的面积.
12新趋势·推理能力、创新意识
求代数式x2-4x+3的最小值时,我们通常运用“a2≥0”这个公式对代数式进行配方来解决.比如x2-4x+3=x2-4x+4-1=(x-2)2-1,
∵(x-2)2≥0,∴(x-2)2-1≥-1,∴x2-4x+3的最小值是-1.试利用配方法解决下列问题:
(1)填空:x2+6x+11=(x+________)2+________;
(2)求x2+y2+2x-4y+8的最小值;
(3)如图1,将边长为2的正方形一边保持不变,另一组对边增加2a+2(a>0)得到如图2所示的新长方形,此长方形的面积为S1;将正方形的各边长增加a+1(a>0),得到如图3所示的新正方形,此正方形的面积为S2.
①用含a的代数式表示出S1,S2;
②比较S1,S2的大小.第2课时 配方法
知识点1 用配方法解系数为1的一元二次方程
1下列式子中是完全平方式的是 (A)
A.a2+2ab+b2 B.a2+2a+2
C.a2-2b+b2 D.a2+2ab+1
2(2024·佛山顺德区期末)用配方法解方程x2-6x-5=0时,配方结果正确的是 (D)
A.(x-3)2=4 B.(x-6)2=41
C.(x+3)2=14 D.(x-3)2=14
3[教材再开发·P6探究变式]若多项式x2+kx+16是一个完全平方式,则k的值应是(D)
A.4或-4 B.8
C.-8 D.8或-8
4用配方法解下列方程:
(1)x2+6x=-7; (2)x2-2x-3=0.
解:(1)∵x2+6x=-7,∴x2+6x+9=-7+9,
即(x+3)2=2,则x+3=±.∴x=-3±,
即x1=-3+,x2=-3-;
(2)配方,得x2-2x+()2-()2-3=0,即(x-)2=5.
两边开平方,得x-=±,∴x1=+,x2=-.
练易错 配方时,忘记左右两边同时加上一次项系数的一半
5新课标·过程性学习小明同学解一元二次方程x2-2x-2=0的过程如下:
解:x2-2x=2,第一步;
x2-2x+1=2,第二步;
(x-1)2=2,第三步;
x-1=±,第四步;
x1=1+,x2=1-,第五步.
(1)小明解方程的方法是________,他的求解过程从第________步开始出现错误.
(2)请用小明的方法完成这个方程的正确解题过程.
解:(1)小明解方程的方法是配方法,他的求解过程从第二步开始出现错误.
答案:配方法 二
(2)x2-2x=2,第一步;
x2-2x+1=2+1,第二步;
(x-1)2=3,第三步;
x-1=±,第四步;
x1=1+,x2=1-,第五步.
知识点2 用配方法解系数不为1的一元二次方程
6下列方程中配方中有错误的是 (C)
A.x2-4x-1=0化为(x-2)2=5
B.x2+6x+8=0化为(x+3)2=1
C.2x2-7x-6=0化为(x-)2=
D.3x2-4x-2=0化为(x-)2=
7用配方法解下列方程:
(1)2x2-3x-6=0;
(2)x2+x-2=0.
解:(1)移项,得2x2-3x=6,配方,得=,∴x1=,x2=;
(2)移项,得x2+x=2,配方,得=,∴x1=,x2=-2.
8新课标·过程性学习在解方程2x2+4x+1=0时,对方程进行配方,图1是小思做的,图2是小博做的,对于两人的做法,说法正确的是 (A)
A.两人都正确
B.小思正确,小博不正确
C.小思不正确,小博正确
D.两人都不正确
9一元二次方程x2+px+q=0在用配方法配成(x+m)2=n时,下面结论正确的是 (A)
A.m是p的一半
B.m是p的一半的平方
C.m是p的2倍
D.m是p的一半的相反数
10若代数式M=10a2+b2-7a+8,N=a2+b2+5a+1,则M-N的值 (B)
A.一定是负数 B.一定是正数
C.一定不是负数 D.一定不是正数
11若三角形的三边a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断此三角形的形状,并求此三角形的面积.
解:∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,∴a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0,
∴a-3=0,b-4=0,c-5=0,∴a=3,b=4,c=5,∴32+42=52,即a2+b2=c2,∴此三角形为直角三角形,∴面积为×3×4=6.
12新趋势·推理能力、创新意识
求代数式x2-4x+3的最小值时,我们通常运用“a2≥0”这个公式对代数式进行配方来解决.比如x2-4x+3=x2-4x+4-1=(x-2)2-1,
∵(x-2)2≥0,∴(x-2)2-1≥-1,∴x2-4x+3的最小值是-1.试利用配方法解决下列问题:
(1)填空:x2+6x+11=(x+________)2+________;
(2)求x2+y2+2x-4y+8的最小值;
(3)如图1,将边长为2的正方形一边保持不变,另一组对边增加2a+2(a>0)得到如图2所示的新长方形,此长方形的面积为S1;将正方形的各边长增加a+1(a>0),得到如图3所示的新正方形,此正方形的面积为S2.
①用含a的代数式表示出S1,S2;
②比较S1,S2的大小.
解:(1)依据题意,x2+6x+11=x2+6x+9+2=(x+3)2+2.
答案:3 2
(2)由题意,x2+y2+2x-4y+8=x2+2x+1+y2-4y+4+3=(x+1)2+(y-2)2+3.
∵(x+1)2≥0,(y-2)2≥0,
∴(x+1)2+(y-2)2+3≥3.
∴x2+y2+2x-4y+8≥3.
∴x2+y2+2x-4y+8的最小值为3.
(3)①由题意,根据图形可得,S1=2(2a+4),S2=(a+3)2.
②由①可得,S2-S1=(a+3)2-2(2a+4)=a2+6a+9-4a-8=a2+2a+1=(a+1)2.
∵(a+1)2>0(a>0),∴S2-S1>0.∴S2>S1.
