21.2.2 公式法
知识点1 一元二次方程的求根公式及推导
1用公式法解方程2x2-3x=1时,先求出a,b,c的值,则a,b,c依次是 ( )
A.2,3,1 B.0,2,-3
C.2,3,-1 D.2,-3,-1
2用公式法解一元二次方程,得y=,则该一元二次方程为 .
知识点2 一元二次方程根的判别式
3一元二次方程x2-2x=0根的判别式的值为 ( )
A.4 B.2
C.0 D.-4
4下列一元二次方程中,没有实数根的是 ( )
A.x2-2x=0 B.x2-2x+1=0
C.2x2-x-1=0 D.2x2-x+1=0
5若关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值为( )
A.4 B.-4 C.±4 D.2
6已知方程(k-3)x2+2x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是 ( )
A.k<4 B.k≤4
C.k<4且k≠3 D.k≤4且k≠3
7利用公式法求解可得一元二次方程3x2-11x-1=0的两解为x1,x2,且x1>x2,则x1的值为 .
知识点3 用公式法解一元二次方程
8[教材再开发·P11例2变式]用公式法解方程:
(1)x2+4x-1=0;
(2)(x+1)(x-1)=2x;
(3)5x2-x-6=0;
(4)(x-2)(1-3x)=2.
练易错 忽视二次项系数不为0致错
9(2022·宜宾中考)若关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 ( )
A.a≠0
B.a>-1且a≠0
C.a≥-1且a≠0
D.a>-1
10已知关于x的方程kx2-(2k-1)x+k-2=0有实数根,则实数k的取值范围为 ( )
A.k≥-且k≠0 B.k<且k≠0
C.k≥- D.k≤
11小颖解一元二次方程3x2□x-1=0时,一次项系数印刷不清楚,查看答案为x=,则□代表的数为 ( )
A.+6 B.-6 C.±3 D.-3
12已知关于x的方程(a-6)x2-8x+6=0有实数根,则下列整数不满足a的取值的是( )
A.4 B.6 C.8 D.10
13(2024·中山期中)等腰三角形三边长分别为a,b,4,且a,b是关于x的一元二次方程x2-12x+k+2=0的两根,则k的值为 ( )
A.30 B.34或30
C.36或30 D.34
14若关于x的一元二次方程x2-2x-a=0没有实数根,则直线y=(a+1)x+a-1一定不经过的象限是 .
15已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+3(m-1)=0.
(1)请判断这个方程的根的情况,并说明理由;
(2)若这个方程的一个实根大于1,另一个实根小于0,求m的取值范围.
16新趋势·模型观念、推理能力
已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+m=0.
(1)求证:该一元二次方程总有两个不相等的实数根.
(2)若该方程的两根x1,x2是某个等腰三角形的两边长,且该三角形的周长为10,试求m的值.21.2.2 公式法
知识点1 一元二次方程的求根公式及推导
1用公式法解方程2x2-3x=1时,先求出a,b,c的值,则a,b,c依次是 (D)
A.2,3,1 B.0,2,-3
C.2,3,-1 D.2,-3,-1
2用公式法解一元二次方程,得y=,则该一元二次方程为 3y2+5y-1=0 .
知识点2 一元二次方程根的判别式
3一元二次方程x2-2x=0根的判别式的值为 (A)
A.4 B.2
C.0 D.-4
4下列一元二次方程中,没有实数根的是 (D)
A.x2-2x=0 B.x2-2x+1=0
C.2x2-x-1=0 D.2x2-x+1=0
5若关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值为(A)
A.4 B.-4 C.±4 D.2
6已知方程(k-3)x2+2x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是 (D)
A.k<4 B.k≤4
C.k<4且k≠3 D.k≤4且k≠3
7利用公式法求解可得一元二次方程3x2-11x-1=0的两解为x1,x2,且x1>x2,则x1的值为 .
知识点3 用公式法解一元二次方程
8[教材再开发·P11例2变式]用公式法解方程:
(1)x2+4x-1=0;
(2)(x+1)(x-1)=2x;
(3)5x2-x-6=0;
(4)(x-2)(1-3x)=2.
解:(1)∵a=1,b=4,c=-1,b2-4ac=42-4×1×(-1)=20>0,
∴x==,∴x=-2±,即x1=-2+,x2=-2-.
(2)∵(x+1)(x-1)=2x,∴x2-2x-1=0,
则a=1,b=-2,c=-1,b2-4ac=-4×1×(-1)=12>0,
∴x==±,
∴x1=+,x2=-.
(3)∵a=5,b=-,c=-6,b2-4ac=5-4×5×(-6)=125>0,∴x==,
即x1=,x2=-.
(4)整理,得3x2-7x+4=0,
∵a=3,b=-7,c=4,b2-4ac=(-7)2-4×3×4=1>0,
∴x=,∴x1=,x2=1.
练易错 忽视二次项系数不为0致错
9(2022·宜宾中考)若关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 (B)
A.a≠0
B.a>-1且a≠0
C.a≥-1且a≠0
D.a>-1
10已知关于x的方程kx2-(2k-1)x+k-2=0有实数根,则实数k的取值范围为 (C)
A.k≥-且k≠0 B.k<且k≠0
C.k≥- D.k≤
11小颖解一元二次方程3x2□x-1=0时,一次项系数印刷不清楚,查看答案为x=,则□代表的数为 (B)
A.+6 B.-6 C.±3 D.-3
12已知关于x的方程(a-6)x2-8x+6=0有实数根,则下列整数不满足a的取值的是(D)
A.4 B.6 C.8 D.10
13(2024·中山期中)等腰三角形三边长分别为a,b,4,且a,b是关于x的一元二次方程x2-12x+k+2=0的两根,则k的值为 (D)
A.30 B.34或30
C.36或30 D.34
14若关于x的一元二次方程x2-2x-a=0没有实数根,则直线y=(a+1)x+a-1一定不经过的象限是 第一象限 .
15已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+3(m-1)=0.
(1)请判断这个方程的根的情况,并说明理由;
(2)若这个方程的一个实根大于1,另一个实根小于0,求m的取值范围.
解:(1)依题意得,
Δ=[-(m+2)]2-4×3(m-1)=m2-8m+16=(m-4)2≥0,
∴方程x2-(m+2)x+3(m-1)=0有两个实数根.
(2)依题意得,
x=
=,
即x1=m-1,x2=3.
∵方程的一个实根大于1,另一个实根小于0,
∴x1=m-1<0,∴m<1.
16新趋势·模型观念、推理能力
已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+m=0.
(1)求证:该一元二次方程总有两个不相等的实数根.
(2)若该方程的两根x1,x2是某个等腰三角形的两边长,且该三角形的周长为10,试求m的值.
解:(1)∵Δ=b2-4ac=[-(2m+1)]2-4(m2+m)=1>0,
∴该方程总有两个不相等的实数根.
(2)∵x=,∴x1=m,x2=m+1,∴x1≠x2.
①若x1为腰长,x2为底边长,得3m+1=10,2m>m+1,m=3;
②若x2为腰长,x1为底边长,得3m+2=10,m+m+1>m+1,解得m=;
综上所述,m=3或m=.
