21.2.3 因式分解法
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
1方程x2=3x的根是 ( )
A.x=3 B.x=0
C.x1=-3,x2=0 D.x1=3,x2=0
2(2024·广州白云区质检)一元二次方程x(x+2)=0的解为 ( )
A.x=0 B.x=-2
C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2=-2
3(2024·临沂期中)用因式分解法解一元二次方程x(x-2)+x-2=0,变形后正确的是( )
A.(x+1)(x+2)=0
B.(x+1)(x-2)=0
C.(x-1)(x-2)=0
D.(x-1)(x+2)=0
4写出一个一元二次方程,使得它的两个根分别是3和-4, .
5[教材再开发·P14练习T1变式]用因式分解法解下列方程:
(1)(x+2)2=3x+6;
(2)3x2+12=12x.
知识点2 选择适当的方法解一元二次方程
6下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是 ( )
A.x2=6
B.x2-4x-1=0
C.(x-1)2=3(x+1)(x-1)
D.(x+1)(2-x)=5
7(2024·绵阳期中)已知k>0,且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根,那么k= ( )
A.4 B.3 C.5 D.2
8在解一元二次方程(x+1)2-3(x+1)=0时,我们可以先因式分解,得到(x+1)(x-2)=0,从而得到x+1=0或x-2=0,这个过程体现的数学思想主要是 ( )
A.转化思想 B.数形结合思想
C.模型思想 D.都不是
9(2024·海口期中)已知三角形两边长分别是2和3,第三边的长为方程x2-4x+3=0的根,则该三角形的周长是 ( )
A.6 B.6或8 C.7或8 D.8
10[教材再开发·P25复习巩固T1变式]用适当的方法解下列方程:
(1)x2-2=6; (2)x2-6x=2;
(3)2x2-4x-3=0;(4)3x2+10=2x2+7x.
练易错 运用等式性质时忽视公因式不为0
11(2024·佛山期中)解方程2(x-3)=(x-3)2,下面是甲、乙两同学的部分运算过程.
甲同学:两边同除以(x-3),得2=x-3,则x=5;
乙同学:移项,得2(x-3)-(x-3)2=0,提取公因式,得(x-3)(2-x-3)=0,
则x-3=0或2-x-3=0,解得x1=3,x2=-1.
(1)解一元二次方程的基本思想是________.(填“降次”或“消元”)
(2)甲、乙两位同学的解答过程均有失误,请你写出正确的解答过程.
12若代数式2x2-3x与x2-7x的值相等,则x的值为 ( )
A.0 B.-4
C.0或-4 D.0或4
13若关于x的一元二次方程(k-1)x2+x+k2+2k-3=0有一个根为0,那么k的值只能是( )
A.1 B.1,-3
C.-3 D.以上都不对
14若 (a2+b2)(a2+b2-3)-4=0,则a2+b2的值为 ( )
A.-3 B.-1或4
C.4 D.无法计算
15若(a+5b)(a+5b+6)=7,则a+5b= .
16《九章算术》中提出了如下问题:今有户不知高、广,竿不知长短,横之不出四尺,从之出二尺,邪之适出,问:户高、广、邪各几何 这段话的意思是:今有门不知其高宽:有竿不知其长短,横放,竿比门宽长出4尺;竖放,竿比门高长出2尺;斜放,竿与门对角线恰好相等.问:门高、宽和对角线的长各是多少 则该问题中的竿长是 尺.
17新趋势·推理能力、运算能力
阅读材料:各类方程的解法:求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为x=a的形式;求解二元一次方程组把它转化成一元一次方程来解;求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程来解;求解分式方程,把它转化为整式方程来解.各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想——转化.用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如,一元三次方程x3+x2-2x=0,可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0,解方程x=0和x2+3x-2=0,可得方程x3+x2-2x=0的解.
(1)问题:方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2=________,x3=________;(请写出过程)
(2)拓展:用“转化”思想求方程=x的解.21.2.3 因式分解法
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
1方程x2=3x的根是 (D)
A.x=3 B.x=0
C.x1=-3,x2=0 D.x1=3,x2=0
2(2024·广州白云区质检)一元二次方程x(x+2)=0的解为 (D)
A.x=0 B.x=-2
C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2=-2
3(2024·临沂期中)用因式分解法解一元二次方程x(x-2)+x-2=0,变形后正确的是(B)
A.(x+1)(x+2)=0
B.(x+1)(x-2)=0
C.(x-1)(x-2)=0
D.(x-1)(x+2)=0
4写出一个一元二次方程,使得它的两个根分别是3和-4, x2+x-12=0 .
5[教材再开发·P14练习T1变式]用因式分解法解下列方程:
(1)(x+2)2=3x+6;
(2)3x2+12=12x.
解:(1)原方程可变形为(x+2)(x+2-3)=0,即(x+2)(x-1)=0.
所以x+2=0或x-1=0.即x1=-2,x2=1.
(2)原方程可变形为x2-4x+4=0,
即(x-2)2=0,所以x1=x2=2.
知识点2 选择适当的方法解一元二次方程
6下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是 (C)
A.x2=6
B.x2-4x-1=0
C.(x-1)2=3(x+1)(x-1)
D.(x+1)(2-x)=5
7(2024·绵阳期中)已知k>0,且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根,那么k= (B)
A.4 B.3 C.5 D.2
8在解一元二次方程(x+1)2-3(x+1)=0时,我们可以先因式分解,得到(x+1)(x-2)=0,从而得到x+1=0或x-2=0,这个过程体现的数学思想主要是 (A)
A.转化思想 B.数形结合思想
C.模型思想 D.都不是
9(2024·海口期中)已知三角形两边长分别是2和3,第三边的长为方程x2-4x+3=0的根,则该三角形的周长是 (D)
A.6 B.6或8 C.7或8 D.8
10[教材再开发·P25复习巩固T1变式]用适当的方法解下列方程:
(1)x2-2=6; (2)x2-6x=2;
(3)2x2-4x-3=0;(4)3x2+10=2x2+7x.
解:(1)原方程可化为x2=8,∴x=±2,∴x1=2,x2=-2;
(2)方程两边同时加上9,得x2-6x+9=11,即(x-3)2=11,∴x-3=±,
∴x1=3+,x2=3-;
(3)∵a=2,b=-4,c=-3,∴b2-4ac=(-4)2-4×2×(-3)=40>0,
即方程有两个不相等的实数根,∴x=,
∴x1=,x2=;
(4)3x2+10=2x2+7x,整理得x2-7x+10=0,即(x-2)(x-5)=0,
∴x-2=0或x-5=0,∴x1=2,x2=5.
练易错 运用等式性质时忽视公因式不为0
11(2024·佛山期中)解方程2(x-3)=(x-3)2,下面是甲、乙两同学的部分运算过程.
甲同学:两边同除以(x-3),得2=x-3,则x=5;
乙同学:移项,得2(x-3)-(x-3)2=0,提取公因式,得(x-3)(2-x-3)=0,
则x-3=0或2-x-3=0,解得x1=3,x2=-1.
(1)解一元二次方程的基本思想是________.(填“降次”或“消元”)
(2)甲、乙两位同学的解答过程均有失误,请你写出正确的解答过程.
解:(1)解一元二次方程的思想是降次.
答案:降次
(2)移项,得2(x-3)-(x-3)2=0,
提取公因式,得(x-3)(2-x+3)=0,则x-3=0或2-x+3=0,解得x1=3,x2=5.
12若代数式2x2-3x与x2-7x的值相等,则x的值为 (C)
A.0 B.-4
C.0或-4 D.0或4
13若关于x的一元二次方程(k-1)x2+x+k2+2k-3=0有一个根为0,那么k的值只能是(C)
A.1 B.1,-3
C.-3 D.以上都不对
14若 (a2+b2)(a2+b2-3)-4=0,则a2+b2的值为 (C)
A.-3 B.-1或4
C.4 D.无法计算
15若(a+5b)(a+5b+6)=7,则a+5b= 1或-7 .
16《九章算术》中提出了如下问题:今有户不知高、广,竿不知长短,横之不出四尺,从之出二尺,邪之适出,问:户高、广、邪各几何 这段话的意思是:今有门不知其高宽:有竿不知其长短,横放,竿比门宽长出4尺;竖放,竿比门高长出2尺;斜放,竿与门对角线恰好相等.问:门高、宽和对角线的长各是多少 则该问题中的竿长是 10 尺.
17新趋势·推理能力、运算能力
阅读材料:各类方程的解法:求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为x=a的形式;求解二元一次方程组把它转化成一元一次方程来解;求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程来解;求解分式方程,把它转化为整式方程来解.各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想——转化.用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如,一元三次方程x3+x2-2x=0,可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0,解方程x=0和x2+3x-2=0,可得方程x3+x2-2x=0的解.
(1)问题:方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2=________,x3=________;(请写出过程)
(2)拓展:用“转化”思想求方程=x的解.
解:(1)方程x3+x2-2x=0,整理得x(x2+x-2)=0,
∴x1=0,x2+x-2=0,因式分解,得(x-1)(x+2)=0,解得x2=1,x3=-2;
答案:1 -2
(2)=x,两边平方,得2x+3=x2,移项,得x2-2x-3=0,
因式分解,得(x-3)(x+1)=0,解得x1=3,x2=-1,
经检验,x2=-1为增根,应舍去.原方程的解为x=3.
