21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 传播、握手与数字等问题
知识点1 传播问题
1[教材再开发·P19探究1变式]某病毒传染性极强,如果有一人患病,经过两轮传染后有100人患病,设每轮传染中平均一个人传染了x个人,下列列式正确的是( )
A.x+x(1+x)=100
B.1+x+x2=100
C.1+x+x(1+x)=100
D.x(1+x)=100
2某种植物的主干长出若干个数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出小分支的数目是________个( )
A.7 B.8 C.9 D.10
3有3人患了流感,经过两轮传染后共有300人患流感,若每轮传染中平均每人传染的人数相同,则第一轮传染后患流感的人数为 .
4(2024·驻马店质检)某种病毒传播速度非常快,开始有4人被感染,经过两轮传播后,就有256人感染该病毒.若每轮传染的速度相同.
(1)求每轮每人传染的人数;
(2)第二轮传播后,人们加强防范,使病毒的传播力度减少到原来的50%,求第三轮传播后新增感染人数.
知识点2 握手问题
5(2024·西安期中)2023年10月8日,杭州亚运会乒乓球比赛全部结束,国乒揽获除女双项目外的6块金牌,展现了在乒乓球领域强大的统治力.乒乓球比赛采用双循环制(每两队之间都进行两场比赛),比赛总场数为380场,若设参赛队伍有x支,则可列方程为 ( )
A.x(x-1)=380 B.x(x-1)=380
C.2x(x-1)=380 D.x2=380
6某航空公司有若干个飞机场,每两个飞机场之间都开辟一条航线,一共开辟了10条航线,则这个航空公司共有 个飞机场.
7(2024·保定期中)在一次聚会中规定每两人见面必须握手,且只握手1次.
(1)若参加聚会的人数为4,共握手________次;若参加聚会的人数为n(n为正整数),共握手________次;
(2)若参加聚会的人共握手45次,求参加聚会的人数;
(3)嘉琪由握手问题想到了一个数学问题:有m个即将初中毕业的学生在一起聚会,每两个人之间互送一张照片,共送出________张照片.
知识点3 数字问题
8两个相邻奇数的积是195,求这两个奇数,设较小的奇数为x,则可列方程为 ( )
A.x(x+2)=195 B.(2x+1)(2x-1)=195
C.x(x+1)=195 D.x(x-2)=195
9读诗词解题:大江东去浪淘尽,千古风流人物;而立之年督东吴,早逝英年两位数;十位恰小个位三,个位平方与寿符;哪位同学算得快,多少年华属周瑜 则周瑜去世时的年龄是 岁.
10已知一个两位数,个位上的数字比十位上的数字少4,将这个两位数十位和个位交换位置后,新两位数与原两位数的积为1 612,求这个两位数.
练易错 忽略负数的情况而漏解
11已知:三个连续奇数,它们的平方和为251,求这三个奇数.
12在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中,采用分组单循环(每两人之间都只进行一场比赛)制,每组x人.若每组共需进行15场比赛,则根据题意可列方程为( )
A.x(x-1)=15 B.x(x+1)=15
C.x(x-1)=15 D.x(x+1)=15
13[生活情境题]某电商为宣传产品,发起了转发抽奖活动.设计了如下的传播规则:将产品信息发表在自己的微博上,再邀请n个好友转发即可,每个好友转发之后,又都邀请了n个互不相同的好友转发,以此达到宣传效果.已知经过两轮转发后,共有133个人参与了宣传活动,则n的值为 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
14两数差是4,积为45,则这两个数为 .
15多边形共有14条对角线,这个多边形的内角和是 .
16某生物实验室需培育一群有益菌.现有60个活体样本,经过两轮培植后,总和达24 000个,其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌
(2)按照这样的分裂速度,经过三轮培植后有多少个有益菌
17第十四届国际数学教育大会(ICME-14)会徽的主题图案有着丰富的数学元素,展现了我国古代数学的文化魅力,其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3 745,八进制是以8作为进位基数的数字系统,有0~7共8个基本数字,八进制数3 745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80=2 021,表示ICME-14的举办年份.
(1)八进制数3 747换算成十进制数是________;
(2)小华设计了一个n进制数234,换算成十进制数是193,求n的值.
18新趋势·推理能力
阅读材料,解决问题.
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,比如,他们研究过1,3,6,10,…,由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示,他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数.
则第n个三角数可以用1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n=(n≥1且为整数)来表示.
(1)若三角数是55,则n=________;
(2)把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2,4,6,…,2n,…,请用含n的式子表示前n行所有点数的和;
(3)在(2)中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗 如果能,求出n,如果不能,请说明理由.21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 传播、握手与数字等问题
知识点1 传播问题
1[教材再开发·P19探究1变式]某病毒传染性极强,如果有一人患病,经过两轮传染后有100人患病,设每轮传染中平均一个人传染了x个人,下列列式正确的是(C)
A.x+x(1+x)=100
B.1+x+x2=100
C.1+x+x(1+x)=100
D.x(1+x)=100
2某种植物的主干长出若干个数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出小分支的数目是________个(C)
A.7 B.8 C.9 D.10
3有3人患了流感,经过两轮传染后共有300人患流感,若每轮传染中平均每人传染的人数相同,则第一轮传染后患流感的人数为 30 .
4(2024·驻马店质检)某种病毒传播速度非常快,开始有4人被感染,经过两轮传播后,就有256人感染该病毒.若每轮传染的速度相同.
(1)求每轮每人传染的人数;
(2)第二轮传播后,人们加强防范,使病毒的传播力度减少到原来的50%,求第三轮传播后新增感染人数.
解:(1)设每轮每人传染x人,则第一轮中有4x人被感染,第二轮中有x(4+4x)人被感染,根据题意得4+4x+x(4+4x)=256,整理得(1+x)2=64,
解得x1=7,x2=-9(不符合题意,舍去).
答:每轮每人传染7人.
(2)256×7×50%=896(人).
答:第三轮传播后新增感染896人.
知识点2 握手问题
5(2024·西安期中)2023年10月8日,杭州亚运会乒乓球比赛全部结束,国乒揽获除女双项目外的6块金牌,展现了在乒乓球领域强大的统治力.乒乓球比赛采用双循环制(每两队之间都进行两场比赛),比赛总场数为380场,若设参赛队伍有x支,则可列方程为 (B)
A.x(x-1)=380 B.x(x-1)=380
C.2x(x-1)=380 D.x2=380
6某航空公司有若干个飞机场,每两个飞机场之间都开辟一条航线,一共开辟了10条航线,则这个航空公司共有 5 个飞机场.
7(2024·保定期中)在一次聚会中规定每两人见面必须握手,且只握手1次.
(1)若参加聚会的人数为4,共握手________次;若参加聚会的人数为n(n为正整数),共握手________次;
(2)若参加聚会的人共握手45次,求参加聚会的人数;
(3)嘉琪由握手问题想到了一个数学问题:有m个即将初中毕业的学生在一起聚会,每两个人之间互送一张照片,共送出________张照片.
解:(1)参加聚会的人数为4,则共握手×4×3=6(次);参加聚会的人数为n(n为正整数),则共握手n(n-1)次.
答案:6 n(n-1)
(2)设有x人参加聚会,根据题意得,x(x-1)=45,解得x1=10,x2=-9(不合题意,舍去),
答:参加聚会的有10人.
(3)根据题意得m(m-1)(张).
答:共送出m(m-1)张照片.
答案:m(m-1)
知识点3 数字问题
8两个相邻奇数的积是195,求这两个奇数,设较小的奇数为x,则可列方程为 (A)
A.x(x+2)=195 B.(2x+1)(2x-1)=195
C.x(x+1)=195 D.x(x-2)=195
9读诗词解题:大江东去浪淘尽,千古风流人物;而立之年督东吴,早逝英年两位数;十位恰小个位三,个位平方与寿符;哪位同学算得快,多少年华属周瑜 则周瑜去世时的年龄是 36 岁.
10已知一个两位数,个位上的数字比十位上的数字少4,将这个两位数十位和个位交换位置后,新两位数与原两位数的积为1 612,求这个两位数.
解:设原两位数的十位数字为x,则个位数字为x-4,根据题意,得(10x+x-4)×[10(x-4)+x]=1 612,即(11x-4)×(11x-40)=1 612,解得x=6(负值舍去),
则10x+x-4=60+6-4=62.
答:这个两位数是62.
练易错 忽略负数的情况而漏解
11已知:三个连续奇数,它们的平方和为251,求这三个奇数.
解:设这三个奇数依次为n-2,n,n+2,依题意列方程得,(n-2)2+n2+(n+2)2=251,
3n2=243,n2=81,∴n=9,或n=-9,
当n=9时,n-2=7,n+2=11;
当n=-9时,n-2=-11,n+2=-7;
答:这三个连续奇数为7,9,11或-7,-9,-11.
12在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中,采用分组单循环(每两人之间都只进行一场比赛)制,每组x人.若每组共需进行15场比赛,则根据题意可列方程为(A)
A.x(x-1)=15 B.x(x+1)=15
C.x(x-1)=15 D.x(x+1)=15
13[生活情境题]某电商为宣传产品,发起了转发抽奖活动.设计了如下的传播规则:将产品信息发表在自己的微博上,再邀请n个好友转发即可,每个好友转发之后,又都邀请了n个互不相同的好友转发,以此达到宣传效果.已知经过两轮转发后,共有133个人参与了宣传活动,则n的值为 (C)
A.9 B.10 C.11 D.12
14两数差是4,积为45,则这两个数为 -9,-5或5,9 .
15多边形共有14条对角线,这个多边形的内角和是 900° .
16某生物实验室需培育一群有益菌.现有60个活体样本,经过两轮培植后,总和达24 000个,其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌
(2)按照这样的分裂速度,经过三轮培植后有多少个有益菌
解:(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌,根据题意得60(1+x)2=24 000,解得x1=19,x2=-21(不合题意,舍去).
∴每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌.
(2)经过三轮培植后,得60(1+19)3=60×203=480 000(个).
答:经过三轮培植后共有480 000个有益菌.
17第十四届国际数学教育大会(ICME-14)会徽的主题图案有着丰富的数学元素,展现了我国古代数学的文化魅力,其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3 745,八进制是以8作为进位基数的数字系统,有0~7共8个基本数字,八进制数3 745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80=2 021,表示ICME-14的举办年份.
(1)八进制数3 747换算成十进制数是________;
(2)小华设计了一个n进制数234,换算成十进制数是193,求n的值.
解:(1)3×83+7×82+4×81+7×80=2 023.
答案:2 023
(2)由题意,得2n2+3n+4=193,
解得n1=9,n2=-(舍去).
18新趋势·推理能力
阅读材料,解决问题.
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,比如,他们研究过1,3,6,10,…,由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示,他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数.
则第n个三角数可以用1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n=(n≥1且为整数)来表示.
(1)若三角数是55,则n=________;
(2)把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2,4,6,…,2n,…,请用含n的式子表示前n行所有点数的和;
(3)在(2)中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗 如果能,求出n,如果不能,请说明理由.
解:(1)由题意得,=55,即n2+n-110=0,∴(n+11)(n-10)=0,
解得n=10(负值已舍去).
答案:10
(2)由题意得,前n行所有点数的和为2+4+6+…+2(n-2)+2(n-1)+2n
=2[1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n]=2×=n(n+1).
(3)不能,理由如下:
假设能为120,则n(n+1)=120,即n2+n-120=0,解得n=,
∵n为正整数,∴前n行的点数和不能为120.
