单元提优测评卷(一)(第二十一章)
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1一元二次方程x2-2x+3=0的二次项系数是 ( )
A.1 B.2 C.-2 D.3
2下列方程为一元二次方程的是 ( )
A.ax2+bx+c=0 B.x2-2x-3 C.2x2=0 D.xy+1=0
3方程x2=2x的解是 ( )
A.x=0 B.x=2 C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2=
4下列配方正确的是 ( )
A.x2+2x+5=(x+1)2+6 B.x2+3x=-
C.3x2+6x+1=3(x+1)2-2 D.x2-x+=+
5新课标·社会主义先进文化
为全面推进乡村振兴,某市从2022年开始大力发展乡村旅游产业.据统计,该市2022年旅游收入约为2亿元.预计2024年旅游收入约达到2.88亿元,设该市旅游收入的年平均增长率为x,下面所列方程正确的是 ( )
A.2(1+x)2=2.88 B.2x2=2.88
C.2(1+x%)2=2.88 D.2(1+x)+2(1+x)2=2.88
6若关于x的一元二次方程ax2+x-1=0有实数根,则a的取值范围是 ( )
A.a≥-,a≠0 B.a≤- C.a≥- D.a≤,a≠0
7若a,b是方程x2+2x-2 026=0的两根,则a2+3a+b= ( )
A.2 026 B.2 027 C.2 024 D.2 029
8已知关于x的一元二次方程mx2-nx=p(m≠0)的两个根为x1=3,x2=5,则方程m(2x+5)2-n(2x+5)-p=0的根为 ( )
A.x1=3,x2=5 B.x1=-1,x2=0 C.x1=-2,x2=0 D.x1=11,x2=15
9如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AE=EB=EC=a,且a是一元二次方程x2+2x-3=0的根,则平行四边形ABCD的周长为 ( )
A.4+2 B.12+6
C.2+2 D.2+2或12+6
10定义新运算:a*b=a(m-b).若方程x2-mx+4=0有两个相等正实数根,且b*b=a*a(其中a≠b),则a+b的值为 ( )
A.-4 B.4 C.-2 D.2
二、填空题(每小题4分,共24分)
11若方程mx2+3x-4=x2是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是 .
12当x= 时,代数式(3x-4)2与(4x-3)2的值相等.
13如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)的一个解是x=-1,那么代数式2 025+a-b的值是 .
14如图所示,点阵M的层数用n表示,点数总和用S表示,当S=66时,则n= .
15对于实数a,b,定义运算“◎”如下:a◎b=(a+b)2-(a-b)2.若(m+2)◎(m-3)=24,则m= .
16关于x的方程x2-2x+m=p2,无论实数p取何值,该方程总有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为 .
三、解答题(共46分)
17(8分)解下列方程:
(1)x(x-2)=1; (2)(x+2)2-3(x+2)=0.
18(8分)已知关于x的一元二次方程x2-4x-2k+8=0有两个实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若x2+x1=24,求k的值.
19(8分)有一块长32 cm,宽14 cm的矩形铁皮.
(1)如图1,如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后,将其折成底面积为280 cm2的无盖长方体盒子,求裁去的正方形的边长;
(2)由于需要,计划制作一个有盖的长方体盒子,为了合理利用材料,某学生设计了如图2所示的裁剪方案,阴影部分为裁剪下来的边角料,其中图2左侧的两个阴影部分为正方形,问:能否折出底面积为180 cm2的有盖盒子 如果能,请求出盒子的体积;如果不能,请说明理由.
20(10分)已知关于x的一元二次方程kx2-(k+8)x+8=0.
(1)求证:无论k取任何非零实数,方程总有实数根;
(2)若等腰三角形的一边长为4,另两边长恰好是这个方程的两个根,求此时的k值.
21(12分)(2022·宜昌中考)某造纸厂为节约木材,实现企业绿色低碳发展,通过技术改造升级,使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3,4月份共生产再生纸800吨,其中4月份再生纸产量比3月份的2倍少100吨.
(1)求4月份再生纸的产量;
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1 000元,5月份再生纸产量比上月增加m%.5月份每吨再生纸的利润比上月增加%,则5月份再生纸项目月利润达到66万元,求m的值;
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1 200元,4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同,6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%.求6月份每吨再生纸的利润是多少元.
【附加题】(10分)
如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=16 cm,AB=12 cm,BC=21 cm,动点P从点B出发,沿射线BC的方向以每秒2 cm的速度运动到C点返回,动点Q从点A出发,在线段AD上以每秒1 cm的速度向点D运动,点P,Q分别从点B,A同时出发,当点Q运动到点D时停止运动,点P随之停止运动,设运动的时间为t(秒).
(1)求DQ,PC的代数式;
(2)当t为何值时,四边形PQDC是平行四边形
(3)当0(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1一元二次方程x2-2x+3=0的二次项系数是 (A)
A.1 B.2 C.-2 D.3
2下列方程为一元二次方程的是 (C)
A.ax2+bx+c=0 B.x2-2x-3 C.2x2=0 D.xy+1=0
3方程x2=2x的解是 (C)
A.x=0 B.x=2 C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2=
4下列配方正确的是 (C)
A.x2+2x+5=(x+1)2+6 B.x2+3x=-
C.3x2+6x+1=3(x+1)2-2 D.x2-x+=+
5新课标·社会主义先进文化
为全面推进乡村振兴,某市从2022年开始大力发展乡村旅游产业.据统计,该市2022年旅游收入约为2亿元.预计2024年旅游收入约达到2.88亿元,设该市旅游收入的年平均增长率为x,下面所列方程正确的是 (A)
A.2(1+x)2=2.88 B.2x2=2.88
C.2(1+x%)2=2.88 D.2(1+x)+2(1+x)2=2.88
6若关于x的一元二次方程ax2+x-1=0有实数根,则a的取值范围是 (A)
A.a≥-,a≠0 B.a≤- C.a≥- D.a≤,a≠0
7若a,b是方程x2+2x-2 026=0的两根,则a2+3a+b= (C)
A.2 026 B.2 027 C.2 024 D.2 029
8已知关于x的一元二次方程mx2-nx=p(m≠0)的两个根为x1=3,x2=5,则方程m(2x+5)2-n(2x+5)-p=0的根为 (B)
A.x1=3,x2=5 B.x1=-1,x2=0 C.x1=-2,x2=0 D.x1=11,x2=15
9如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AE=EB=EC=a,且a是一元二次方程x2+2x-3=0的根,则平行四边形ABCD的周长为 (A)
A.4+2 B.12+6
C.2+2 D.2+2或12+6
10定义新运算:a*b=a(m-b).若方程x2-mx+4=0有两个相等正实数根,且b*b=a*a(其中a≠b),则a+b的值为 (B)
A.-4 B.4 C.-2 D.2
二、填空题(每小题4分,共24分)
11若方程mx2+3x-4=x2是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是 m≠1 .
12当x= -1或1 时,代数式(3x-4)2与(4x-3)2的值相等.
13如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)的一个解是x=-1,那么代数式2 025+a-b的值是 2 024 .
14如图所示,点阵M的层数用n表示,点数总和用S表示,当S=66时,则n= 11 .
15对于实数a,b,定义运算“◎”如下:a◎b=(a+b)2-(a-b)2.若(m+2)◎(m-3)=24,则m= -3或4 .
16关于x的方程x2-2x+m=p2,无论实数p取何值,该方程总有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为 m<1 .
三、解答题(共46分)
17(8分)解下列方程:
(1)x(x-2)=1; (2)(x+2)2-3(x+2)=0.
解:(1)∵x(x-2)=1,
∴x2-2x=1,
∴x2-2x+1=2,
∴(x-1)2=2,
∴x-1=±,
解得x1=1+,x2=1-;
(2)∵(x+2)2-3(x+2)=0,
∴(x+2)(x+2-3)=0,
∴(x+2)(x-1)=0,
∴x+2=0或x-1=0,
解得x1=-2,x2=1.
18(8分)已知关于x的一元二次方程x2-4x-2k+8=0有两个实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若x2+x1=24,求k的值.
解:(1)由题意,得Δ=(-4)2-4×1×(-2k+8)≥0,
整理得16+8k-32≥0,解得k≥2,
∴k的取值范围是k≥2;
(2)由根与系数的关系可知,x1+x2=4,x1x2=-2k+8,
∵x2+x1=x1x2[(x1+x2)2-2x1x2]=24,
∴(-2k+8)[42-2(-2k+8)]=24,
整理得k2-4k+3=0,
解得k1=3,k2=1.
又由(1)知k≥2,
∴k的值为3.
19(8分)有一块长32 cm,宽14 cm的矩形铁皮.
(1)如图1,如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后,将其折成底面积为280 cm2的无盖长方体盒子,求裁去的正方形的边长;
(2)由于需要,计划制作一个有盖的长方体盒子,为了合理利用材料,某学生设计了如图2所示的裁剪方案,阴影部分为裁剪下来的边角料,其中图2左侧的两个阴影部分为正方形,问:能否折出底面积为180 cm2的有盖盒子 如果能,请求出盒子的体积;如果不能,请说明理由.
解:(1)设小正方形的边长为x cm.得(32-2x)(14-2x)=280,
解得x1=21(舍去),x2=2.
答:裁去的正方形的边长为2 cm.
(2)能;
设小正方形的边长为y cm.得×(14-2y)=180,
解得y1=22(舍去),y2=1.
体积为180×1=180(cm3).
20(10分)已知关于x的一元二次方程kx2-(k+8)x+8=0.
(1)求证:无论k取任何非零实数,方程总有实数根;
(2)若等腰三角形的一边长为4,另两边长恰好是这个方程的两个根,求此时的k值.
解:(1)由题意可知,k≠0,
∴Δ=(k+8)2-32k
=k2+16k+64-32k
=k2-16k+64
=(k-8)2≥0,
∴无论k取任何非零实数,方程总有实数根.
(2)当三角形的腰长为4时,设底边为a,
∴x=4是kx2-(k+8)x+8=0的一根,∴16k-4(k+8)+8=0,
∴16k-4k-32+8=0,∴k=2,∴由根与系数的关系可知4a=,∴a=1,
此时1+4>4,能够组成三角形,满足题意;
当底边为4时,设腰长为b,
∴kx2-(k+8)x+8=0有两个相同的根,∴Δ=(k-8)2=0,∴k=8,
∴原方程为x2-2x+1=0,∴该方程的解为x1=x2=1.
∵1+1<4,不能组成三角形,∴舍去.
综上所述,k=2.
21(12分)(2022·宜昌中考)某造纸厂为节约木材,实现企业绿色低碳发展,通过技术改造升级,使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3,4月份共生产再生纸800吨,其中4月份再生纸产量比3月份的2倍少100吨.
(1)求4月份再生纸的产量;
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1 000元,5月份再生纸产量比上月增加m%.5月份每吨再生纸的利润比上月增加%,则5月份再生纸项目月利润达到66万元,求m的值;
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1 200元,4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同,6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%.求6月份每吨再生纸的利润是多少元.
解:(1)设3月份再生纸的产量为x吨,则4月份再生纸的产量为(2x-100)吨,
依题意得x+2x-100=800,解得x=300,∴2x-100=2×300-100=500.
答:4月份再生纸的产量为500吨.
(2)依题意得1 000(1+%)×500(1+m%)=660 000,
整理得m2+300m-6 400=0,解得m1=20,m2=-320(不合题意,舍去).
答:m的值为20.
(3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y,5月份再生纸的产量为a吨,
依题意得1 200(1+y)2·a(1+y)=(1+25%)×1 200(1+y)·a,∴1 200(1+y)2=1 500.
答:6月份每吨再生纸的利润是1 500元.
【附加题】(10分)
如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=16 cm,AB=12 cm,BC=21 cm,动点P从点B出发,沿射线BC的方向以每秒2 cm的速度运动到C点返回,动点Q从点A出发,在线段AD上以每秒1 cm的速度向点D运动,点P,Q分别从点B,A同时出发,当点Q运动到点D时停止运动,点P随之停止运动,设运动的时间为t(秒).
(1)求DQ,PC的代数式;
(2)当t为何值时,四边形PQDC是平行四边形
(3)当0解:(1)根据题意,DQ=16-t.
当点P未到点C时,PC=21-2t;
当点P由点C返回时,PC=2t-21.
(2)∵四边形PQDC是平行四边形,∴DQ=CP,当P从B运动到C时,
∵DQ=AD-AQ=16-t,CP=21-2t,∴16-t=21-2t,解得t=5,
当P从C运动到B时,∵DQ=AD-AQ=16-t,CP=2t-21,∴16-t=2t-21,解得t=,
∴当t=5或秒时,四边形PQDC是平行四边形.
(3)当PQ=PD时,作PH⊥AD于H,则HQ=HD,
∴QH=HD=QD=(16-t),
∵AH=BP,∴2t=(16-t)+t,∴t=;
当PQ=QD时,QH=AH-AQ=BP-AQ=2t-t=t,QD=16-t,
∵QD2=PQ2=t2+122,∴(16-t)2=122+t2,解得t=;
当QD=PD时,DH=AD-AH=AD-BP=16-2t,
∵QD2=PD2=PH2+HD2=122+(16-2t)2,
∴(16-t)2=122+(16-2t)2,即3t2-32t+144=0,
∵Δ=(-32)2-4×3×144=-704<0,∴方程无实根.
综上可知,当t=秒或秒时,△PQD是等腰三角形.
