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《分数除法》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《分数除法》单元是数与代数领域第三学段“数与运算”和“数量关系”中的重要内容。《数学课程标准》在“内容要求”中指出：“能进行简单的小数、分数四则运算和混合运算，感悟运算的一致性，发展运算能力和推理意识。能运用常见的数量关系解决实际问题，能合理解释结果的实际意义，逐步形成模型意识和几何直观，提高解决问题的能力。”在“学业要求”中指出：“能在实际情境中运用小数和分数解决问题，进一步发展符号意识和数感。能进行简单小数和分数的四则运算和混合运算(不超过三步),并说明运算过程。能在较复杂的真实情境中，选择恰当的运算方法解决问题，形成运算能力和推理意识。能解决较复杂的真实问题，形成几何直观和初步的应用意识，提高解决问题的能力。”
（二）单元教材内容分析
本单元是在学生已经掌握了分数乘法的意义、分数乘法的计算方法以及用分数乘法解决问题的基础上来学习分数除法的。本单元一共安排了3部分的内容，第一部分是分数除法，在这一部分中，教材先呈现了单元主题图，让学生初步明确本单元将要学习的知识，再安排了5道例题，例1是认识倒数，教学倒数的意义和找一个数的倒数的方法；例2是借助卫生大扫除的情境，教学分数除以整数；例3是借助解决主题图中的问题，教学整数除以分数；例4是直接教学分数除以分数；例5是直接教学分数连除或分数乘除混合运算。第二部分是问题解决，在这一部分中，教材一共安排了4道例题。例1借助运黄沙的情境，教学用分数除法解决一步计算的问题；例2借助我国的矿产资源种类数，教学分数乘法、除法解决问题的对比；例3借助存零用钱的情境，教学用分数乘法和分数除法解决问题的综合应用；例4借助长江三峡的情境，教学较复杂的分数应用问题。第三部分是探索规律，在这一部分中，教材只安排了1道例题，例题安排的是真分数的排列，安排了3次排列活动。通过本单元的学习，学生不仅顺利的完成了分数除法的学习任务，还掌握了运用分数除法解决实际问题的方法，帮助学生形成了完整的知识体系，并体会到了知识的内在联系，为后面学习比和比例、百分数等知识打下坚实的基础。
（三）学生认知情况
由于本单元的知识是在学生学习了分数乘法的意义，掌握了分数乘法计算方法，还能运用分数乘法或方程解决简单的实际问题的基础上来学习的，所以为学生学习本单元的知识提供了知识基础。六年级的学生经过小学五年的学习，已经积累了一定的数学经验，具备了一定的操作能力、分析能力和解决问题的能力，加之他们还掌握了用方程解决问题等知识，对分数具有了一定的感性认识和丰富的生活经验,所以学习这部分知识并不是很困难。在教学中，要注意体现变中有不变的思想、抽象的思想、模型的思想，并通过不同解法的交流，养成多角度地思考问题的习惯。
二、单元目标拟定
1.让学生通过观察、讨论等活动理解倒数的意义，掌握求一个数的倒数的方法，会求一个数的倒数。
2.理解分数除法的意义，掌握分数除法的计算方法，并能正确计算。
3.掌握分数连除和乘除混合运算的计算方法，能够熟练正确计算。
4.会用方程或算术方法解答“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”和“已知比一个数的几分之几多(或少)几的数是多少，求这个数”的实际问题。
5.掌握分数乘法和分数除法在计算上的区别与联系，并能熟练地计算。
6.通过探索真分数的排列规律，发现其隐含的规律。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.理解倒数的意义，掌握求一个数的倒数的方法。
2.理解分数除法的意义，掌握分数除法的计算方法，并能正确计算。
3.探索并掌握分数连除、乘除混合运算的计算方法。
4.会用方程或算术方法解答分数除法相关的实际问题。
5.通过探索真分数的排列规律，发现其隐含的规律。
（二）教学难点
1.掌握求一个数的倒数的方法。
2.理解分数除法的算理，并能正确计算；掌握分数乘法和分数除法在计算上的区别与联系。
3.用分数除法解决相关的实际问题。
4.掌握探索规律的方法。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。《数学课程标准》中指出：“体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心。”
本单元教材的具体编排结构如下：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：*com
1.以发生在学生身边的生活事例为素材，把计算教学与解决问题结合起来，并通过解决问题抽象出分数除法算式。
2.注重计算方法的指导，利用画图等方法的渗透，帮助学生理解算理。
3.内容安排分段进行，螺旋上升。
4.解决分数除法实际问题，鼓励学生采用方程解答，并通过提示引导学生采用不同的方法解答，体验方法的多样性，拓展学生的思维。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量 3
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 分数除法 倒数 1
分数除以整数 1
一个数除以分数 1
分数连除和乘除混合运算 1
已知一个数的几分之几是多少，求这个数 1
分数乘除法解决实际问题的对比 1
分数乘除混合运算应用题 1
已知比一个数的几分之几多（或少）几，求这个数 1
探索规律 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 函数 统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
3.1《倒数》 目标： 通过观察、分类、讨论等活动认识倒数，理解倒数的意义。使学生体验找一个数的倒数的方法，会求一个数的倒数。 任务一：认识倒数 → 任务二：找一个数的倒数 → 1.知道倒数的意义，理解“互为”的意义。 2.会找一个数倒数，并总结出方法。
3.2《分数除以整数》 目标： 经历探索分数除以整数计算方法的过程，理解并掌握分数除以整数计算方法，能正确计算分数除以整数的试题。 任务一：探究分数能整除的计算方法 → 任务二：探究分数不能整除的计算方法 → 任务三：课堂活动 → 1.知道分数除法与整数除法的意义相同，会计算÷2。 2.将分数除法转化成分数乘法，学会计算÷3，并总结出计算方法。 3.能完成课堂活动，巩固新知。
3.3《一个数除以分数》 目标： 通过猜想、类推、验证等活动，使学生理解一个数除以分数的算理，掌握一个数除以分数的计算方法，并能正确计算。 任务一：探究整数除以分数的计算方法 → 任务二：探究分数除以分数的计算方法 → 任务三：课堂活动 → 1.能借助线段图理解计算整数除以分数的算理，并总结方法。 2.能用转化的思想计算分数除以分数，并验算结果，进而总结出计算方法。 3.通过计算，观察，能发现除数与商的关系。
3.4《分数连除和乘除混合运算》 目标： 掌握分数连除和乘、除混合运算的计算方法，并能正确地进行计算。经历探究分数连除和乘、除混合运算的过程，培养学生的计算能力。 任务一：探究分数连除的计算方法 → 任务二：探究分数乘除混合运算的计算方法 → 任务三：课堂活动 → 1.能正确计算分数连除。 2.能正确计算分数乘除混合运算。 3.能计算分数加、减、乘、除，并说说计算方法。
3.5《已知一个数的几分之几是多少，求这个数》 目标： 引导学生分析图中的数量关系，掌握“求一个数的几分之几是多少”和“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的解题方法。 任务一：探究解决问题的方法 → 任务二：课堂活动 → 1.能用方程和算术法解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的问题。 2.能根据提供的数学信息，提出数学问题，找出等量关系并列式解答。
3.6《分数乘除法解决实际问题的对比》 目标： 通过对比练习，掌握分数乘、除法应用题的联系和区别，能够正确解答简单的分数乘、除法应用题。 任务一：分析题意，解决问题 → 任务二：对比观察 → 任务三：课堂活动 → 1.能借助已有的知识经验解决“求一个数的几分之几是多少”与“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的这两种实际问题。 2.能从条件和问题、解题方法上分析比较。 3.能利用所学的知识解决问题。
3.7《分数乘除混合运算应用题》 目标： 学会有条理分析信息，弄清数量之间的内在联系；学会列方程解决较 复杂的分数乘、除法混合的实际问题。 任务一：分析题意，解决问题 → 任务二：课堂活动 → 1.能找出本题的等量关系，并用方程或算术法解答。 2.能量出自己的膝下长度，并根据所给信息算出身高。
3.8《已知比一个数的几分之几多（或少）几，求这个数》 目标： 体验从实际生活中搜集整理数学信息的方法，会借助线段图，分析稍复杂的分数除法问题的数量关系，会用列方程的方法解决问题。 任务一：分析题意，解决问题 → 任务二：课堂活动 → 1.能画出线段图，找出本题的等量关系，并列方程解答。 2.能利用所学的知识解决问题。
3.9《探索规律》 目标： 引导学生观察、分析分数的排列规律，在小组内开展合作学习，培养学生自主探究不同规律，初步掌握探索规律的方法。 任务一：把分子相等的排成一行，排列成长方形 → 任务二：把分母相等的排成一行，排列成三角形 → 任务三：自行排列 → 任务四：课堂活动 → 1.能从横着、竖着、斜着观察排列的规律。 2.能从横着、斜着观察排列的规律。 3.能用不同的方法排列真分数。 4.能把数用另外的形式排列出来，并说明理由。
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3.9
探索规律
（西师大版）六年级
上
01
教学目标
02
新知导入
03
任务一
04
任务二
05
拓展延伸
06
课堂练习
07
课堂小结
08
作业布置
09
板书设计
01
教学目标
引导学生观察、分析分数的排列规律，在小组内开展合作学习，培养学生自主探究不同规律，初步掌握探索规律的方法。
01
02
了解不同的规律产生不同的排列方法，培养学生的发散思维、观察能力和推理能力及创新意识，发展数感。
03
激发学习数学的兴趣，增强学习数学的信心，培养合作意识，发现和欣赏数学美。
3
5
2
5
1
5
02
新知导入
1
2
1
3
2
3
1
4
2
4
3
4
？
？
？
……
猜猜问号代表的分数是多少？
4
5
它们是分母为2，3，4…所有的真分数依次排列的。
学习任务一
把分子相等的排成一行，排列成长方形
03
任务一
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
…
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
…
3
4
3
5
3
6
3
7
3
8
…
…
用另外的形式把上面的数重新排列。
把分子相等的排成一行，就成了长方形。
从横着看、竖着看、斜着看来说一说。
03
任务一
横着看
分子是1的分数排在第一行
分子是2的分数排在第二行
分子是3的分数排在第三行
分子是几就排在第几行
03
任务一
横着看
从分母看
第一行是以2开始的自然数列
第二行是以3开始的自然数列
第三行是以4开始的自然数列
第n行是以n+1开始的自然数列
03
任务一
每一行的分母都是连续的自然数，第一个分母总比行数多1。
03
任务一
竖着看
每一列的分子都是1，2，3，4…。
每一列的分母都是连续的自然数，第一个分母总比列数多1。
03
任务一
再沿斜线去观察这列数，还有什么发现？
沿斜线看，它们是分母为2，3，4…所有的真分数依次排列的。
学习任务二
把分母相等的排成一行，排列成三角形
04
任务二
1
2
1
3
2
3
1
4
2
4
3
4
1
5
2
5
3
5
4
5
…
把分母相等的排成一行，就成了三角形。
04
任务二
横着看
分母是2的真分数
分母是3的真分数
分母是4的真分数
分母是5的真分数
分母相同的排在一行。
依次排下去，分母比它所在的行数大 1。
04
任务二
斜着看
第1列的分子都是1
第2列的分子都是2
第3列的分子都是4
每一列的分子分别是1，2，3，4，…
04
任务二
斜着看
每一列的分母是连续的自然数，第一个分母比列数多1。
学习任务三
自行排列
05
任务三
小组合作：
你能把这些真分数按一定规律重新排列，设计出新的队形吗？请同学们独立思考，在练习本尝试排一排，然后说说你是怎样排的。
05
任务三
我把分子相同的分数排成一列。
1
2
1
3
2
3
1
4
2
4
1
5
2
5
…
2
6
3
4
3
5
3
6
3
7
4
5
4
6
4
7
4
8
…
…
…
…
05
任务三
把分母相同的分数排成一行，像直角三角形。
1
2
1
3
2
3
1
4
2
4
3
4
1
5
2
5
3
5
4
5
…
1
2
1
3
2
3
1
4
2
4
3
4
1
5
2
5
3
5
4
5
…
05
任务三
我把分数值相等的排成一行。
1
2
2
4
3
6
4
8
…
1
3
2
6
3
9
4
12
…
2
3
4
6
6
9
8
12
…
1
4
2
8
3
12
4
16
…
…
学习任务四
课堂活动
06
任务四
把下面的数用另外的形式排列出来，并说一说这样排的理由。
1
1
1
2
2
2
1
2
1
3
2
3
3
3
2
3
1
3
1
4
2
4
3
4
4
4
3
4
2
4
1
4
…
06
任务四
…
分母相同的排一列，就成了直角三角形。
1
2
2
2
1
2
1
3
2
3
3
3
2
3
1
3
1
4
2
4
3
4
4
4
3
4
2
4
1
1
07
课堂练习
基础题：
1.按照规律，在（ ）里填上适当的数。
1
2
2
3
3
4
4
5
（ ） （ ）
1
2
1
4
1
8
1
16
（ ） （ ）
5
6
6
7
1
32
1
64
07
课堂练习
基础题：
2.观察下面几个算式的规律，然后填空。
32-22= （3+2）×（3－2）=5
42－32=（4+3）×（4－3）=7
52－42= （5+4）×（5－4） =9
62－52= （6+5）×（6－5） =11
20232 - 20222=__________________×___________________=________
（2023+2022）
（2023－2022）
4045
07
课堂练习
提高题：
3.用另外的形式把下面的数字重新排一排。
1
2
2
1
1
3
2
2
3
1
1
4
2
3
3
2
4
1
1
5
2
4
3
3
4
2
5
1
1
2
2
1
1
3
2
2
3
1
1
4
2
3
3
2
4
1
1
5
2
4
3
3
4
2
07
课堂练习
拓展题：
4.仔细观察下列两组数：
第一组：1、4、9、16、25.....
第二组：1、8、27、64、125.....
（1）前两组中第6个数各是________________________
（2）第二组的第100个数是第一组的第100个数的______倍。
36、216
100
08
课堂小结
通过今天的学习，你有哪些收获？
我会探索真分数的排列规律了。
我还会用不同的方法排列这组真分数。
（ ） （ ）
（ ） （ ）
09
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
1.按照规律，在（ ）里填上适当的数。
（1）
1
10
1
2
5
2
（2） 3 1
1
3
25
2
125
2
1
9
1
27
09
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
2.用另外的形式把下面的数字重新排一排。
5
2
7
2
6
3
8
3
10
3
7
4
9
4
11
4
13
4
8
5
10
5
12
5
……
5
2
7
2
6
3
8
3
10
3
7
4
9
4
11
4
13
4
8
5
10
5
12
5
……
14
5
16
5
( )
09
作业设计
【知识技能类作业】
选做题：
1.按规律填出括号里面的数。
5
8
1
8
1
40
1
1000
( )
1
3
1
2
5
9
7
12
3
5
11
18
13
21
1
200
3
6
9
15
09
作业设计
【知识技能类作业】
选做题：
2. 按规律填空。
按这个规律排列，下一行应是_____、_____、_____、_____、_____……
4
5
4
6
4
7
4
8
4
9
10
作业布置
【综合实践类作业】
找找生活中有规律的现象。
11
板书设计
探索规律
分母是3，4，5，…的真分数。
1.分子相同的排一行，形成长方形。
2.分母相等的排一行，形成三角形。
1
2
1
3
2
3
1
4
2
4
3
4
1
5
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《3.9 探索规律》教学设计
课题 探索规律 单元 第三单元 学科 数学 年级 六年级
教材分析 本节课教材安排了一个例题，例1的内容是给出一组真分数，通过把这组真分数重新排列，观察发现其中所隐含的规律。教材安排的是真分数的排列，安排了2次排列活动。第一次：把分子相等的排成一行，排列成长方形，分子是1的分数排在第一排，分子是2的分数排在第二排，分子是3的分数排在第3排……由此总结出规律：分子是几就排在第几排。第二次：把分母相等的排成一行，排列成三角形，先排分母是2的真分数，再排分母是3的真分数，接着排分母是4的真分数……依次排下去。由此总结出规律：分母比它所在的行数大 1。教学时教师还可以提出“你打算怎样排？”，提示学生还有多种排法，以此来培养学生发散思维，探索规律的能力。每一次排列后都可以让学生找一找这样排列的规律。
学习目标 1.学习目标描述：引导学生观察、分析分数的排列规律，在小组内开展合作学习，培养学生自主探究不同规律，初步掌握探索规律的方法。开展小组之间交流、评价活动，了解不同的规律产生不同的排列方法，使学生经历探索规律的过程。2.学习内容分析：本节课教科书以分数为基础，结合分数的排列以及分数除法的运算来探究其中的某些规律和变化趋势，它不仅为解决实际问题提供了重要策略，而且为数学交流提供了有效的途径，它的模型化方法、函数思想以及推理的方法也为数学本身和其他学科的研究提供了基础。3.学科核心素养分析：了解不同的规律产生不同的排列方法，培养学生的发散思维、观察能力和推理能力及创新意识，发展数感。激发学习数学的兴趣，增强学习数学的信心，培养合作意识，发现和欣赏数学美。
重点 以分数为基础，结合分数的排列以及分数除法运算来探索其中的规律和变化趋势。
难点 掌握探求规律的方法，培养学生自主探究规律的能力，从不同角度去思考来探索规律。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 师：同学们，数学王国里的真分数要进行一次大型的团体操表演。现在，请参赛队员闪亮登场。课件出示： ？ ？ ？……师：大家猜猜问号代表的分数是多少？师：你是怎样找到这些分数的 师：这么多的真分数参加表演，怎样排列才好看呢？这节课我们就来探索有关真分数排列的规律。板书课题：探索规律 学生独自猜一猜：分别是、、。学生：它们是分母为2，3，4…所有的真分数依次排列的。 通过找规律填数的方式导入新课，让学生在感知规律的基础上揭示课题，既与本节课学习的内容相联系，又能激发起学生学习和探索的欲望。
讲授新课 任务一：把分子相等的排成一行，排列成长方形师：老师用另外的形式把上面的数重新排列了一下。课件出示： … … …师：这样排列，你看到了什么？师：那么大家发现这样排列的规律了吗？请大家从横着看、竖着看、斜着看来说一说。师：由此得出了一个什么结论？师：横着看，还有什么规律吗？师：如果是第n行呢？师：原来每一行的分母都是连续的自然数，第一个分母总比行数多1。那么竖着看，有什么规律呢？师：再沿斜线去观察这列数，还有什么发现？展示： 学生独自观察，然后回答：把分子相等的排成一行，就成了长方形。学生：横着看，分子是1的分数排在第一行，分子是2的分数排在第二行，分子是3的分数排在第3行……学生：分子是几就排在第几行。学生：从分母看，第一行是以2开始的自然数列，第二行是以3开始的自然数列，第三行是以4开始的自然数列……学生：第n行就是以n+1开始的自然序列。学生1：每一列的分子都是1，2，3，4…。学生2：每一列的分母都是连续的自然数，第一个分母总比列数多1。学生独自观察，然后回答：沿斜线看，它们是分母为2，3，4…所有的真分数依次排列的。 本环节完全交给学生独自完成，让学生感受数的特征的同时建立规律意识。让学生自己找到排列的方法，发现排列的规律，让学生切实体会到数学的应用价值，打开了学生的思维，培养了学生的能力。
任务二：把分母相等的排成一行，排列成三角形师：这是老师现的另一种排列方式。课件出示： 师：这样排列，有什么规律呢？师：斜着看，有什么规律呢？ 学生独自观察，然后回答：把分母相等的排成一行，就成了三角形。学生1：横着看，分母相同的排在一行，先排分母是2的真分数，再排分母是3的真分数，接着排分母是4的真分数……学生2：依次排下去，我发现：分母比它所在的行数大 1。学生1：斜着看，左边第1列的分子都是1，第2列的分子都是2……每一列的分子分别是1，2，3，4，…学生2：每一列的分母是连续的自然数，第一个分母比列数多1。 不同方式的排列，让学生不仅感受到数与数之间的规律，同时感受到了数形结合的巧妙之处。再次重新排列的数中找找规律，可以培养学生观察、比较、分析、总结与归纳的思维能力。
任务三：自行排列师：同学们，如果你是这次表演的总指挥，你能把这些真分数按一定规律重新排列，设计出新的队形吗？请同学们独立思考，在练习本尝试排一排，然后说说你是怎样排的。师巡视指导并了解情况，然后提问：你们是怎么排列的？展示：展示：展示：师：大家的表现真不错！在重新排列中发现了这么多有趣的规律！数学王国中还有许多规律需要同学们去发现、探讨，这就要求同学们要做一个有心之人，你们将会得到意想不到的收获！ 学生分组讨论，并尝试排一排。学生1：我把分子相同的分数排成一列。学生2：我们小组把分母相同的分数排成一行，像直角三角形，整个队形显得非常美观。学生3：我把分数值相等的排成一行。…… 方法的多样性，极大的调动了学生探究的兴趣与热情，同时拓展了学生的思维，使其思维更加灵活、敏捷。
任务四：课堂活动课件出示：把下面的数用另外的形式排列出来,并说一说这样排的理由。 学生独自完成，然后集体展示反馈。 练习的设计，除了激发学生的学习兴趣、有效巩固了新知外，更重要的是让学生动 手操作，增强数学的应用意识，提高操作能力。
课堂练习 基础题：1.按照规律，在（ ）里填上适当的数。 （ ） （ ） （ ） （ ）2.观察下面几个算式的规律，然后填空。32-22= （3+2）×（3－2）=542－32=（4+3）×（4－3）=752－42= （5+4）×（－-4） =962－52= （6+5）×（6－5） =1120232-20222=______×_______=________ 学生独自完成，然后再集体订正。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，语言，有效应用。
提高题：3.用另外的形式把下面的数字重新排一排。
拓展题 4.仔细观察下列两组数：第一组：1、4、9、16、25.....第二组：1、8、27、64、12.....（1）前两组中第6个数各是_______（2）第二组的第100个数是第一组的第100个数的___倍。
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 学生自由说说。 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书 探索规律 分母是2，3，4，5，…的真分数。1.分子相同的排一行，形成长方形。2.分母相等的排一行，形成三角形。 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：1.按照规律，在（ ）里填上适当的数。（1） （ ） （ ）（2）3 1 （ ） （ ）2.用另外的形式把下面的数字重新排一排。 ……选做题：1.按规律填出括号里面的数。 （ ） （ ）2.按规律填空。按这个规律排列，下一行应是_____、_____、_____、_____、_____……
【综合实践类作业】找找生活中有规律的现象。
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