2.5.1一元一次不等式与一次函数的关系课件 （44张PPT）2023-2024学年北师大版八年级数学下册

(共44张PPT)
2.5 一元一次不等式与一次函数
第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系
第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组
新课导入
1.什么是一次函数？
如果两个变量x，y间的关系式可以表示成y = kx+b（k，b是常数，且k≠0），那么 y 就叫做 x 的一次函数.
2.一次函数的图象是__________.它与 x 轴的交点坐标是 ，与 y 轴的交点坐标是 ；要作一次函数的图象，只需_______点即可.
3. 一次函数 y = 2x – 5它与 x 轴的交点坐标是 ，与 y 轴的交点 坐标是 .
复习引入
一条直线
(0，b)
两
(0，－5)
1.解不等式 2x－5＞0.
下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数之间的关系.
新课推进
一、利用一次函数的图象解一元一次不等式 kx + b > 0(或 kx + b < 0).
（1）x取何值时，2x-5=0
（2）x取哪些值时，2x-5＞0
（3）x取哪些值时，2x-5＜0
（4）x取哪些值时，2x-5＞1
你是怎样思考的 与同伴交流.
作出函数 y=2x - 5的图象，观察图象回答下列问题.
1
2
3
4
-1
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
O
x
y
y = 2x - 5
1
2
3
4
-1
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
O
x
y
y = 2x - 5
解：由图象可知（1）当x= 时，2x-5=0.
5
2
（2）当x > 时，直线y=2x-5在x轴的上方，则2x-5>0.
5
2
（3）当x < 时，直线y=2x-5在x轴的下方，则2x - 5 < 0.
5
2
1
2
3
4
-1
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
O
x
y
y = 2x - 5
（4）当直线y=2x-5上的点的纵坐标的值为1时，这点的横坐标的值为3.
（5）当x>3时，直线y = 2x-5在直线y=1的上方，则2x - 5 > 1.
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为kx + b > 0或 kx + b < 0（k，b是常数，k ≠ 0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作求当一次函数y = kx + b的值大于（或小于）0时，相应的自变量的取值范围.
合作探究
作出一次函数 y ＝ 2x－5 的图象
O
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
-1
y ＝ 2x－5
x … 0 2.5 …
y＝2x－5 … -5 0 …
一元一次不等式与一次函数
观察图象回答下列问题：
(1) x 取何值时， 2x－5 ＝ 0
∴ x＝2.5， 2x－5＝0
0
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
(2.5，0)
分析:
y ＝ 0
y ＝ 2x－5
(2) x 取哪些值时， 2x－5＞0
∴ x ＞ 2.5， 2x－5＞0
0
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
(2.5，0)
分析：
y ＞ 0
y ＝ 2x－5
(3) x 取哪些值时， 2x－5 ＜ 0
∴ x ＜ 2.5，2x－5 ＜ 0
0
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
(2.5，0)
分析:
y ＜ 0
y ＝ 2x－5
(4) x 取哪些值时， 2x－5＞3
∴ x ＞ 4， 2x－5 ＞ 3
0
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
分析:
y＝3
y ＝ 2x－5
概括总结
通过对图象的观察、分析，得：
我们既可以运用函数图象解不等式，也可以运用解不等式帮助研究函数问题，二者相互渗透，互相作用.不等式与函数是紧密联系着的一个整体.
想一想：如果 y＝-2x -5，那么当 x 取何值时，y＞0
0
-3
-2
-1
1
2
-5
-4
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
y＝-2x -5
思路二：
将函数问题转化为不等式问题.
即 解不等式 -2x -5＞0，
∴ 当 x＜ -2.5 时，y＞0.
思路一：
运用函数图象解不等式.
由图象可得
当 x＜-2.5 时，y＞0.
(-2.5，0)
作一次函数 y＝-2x -5 的图象
想一想
如果y= -2x-5，那么当x取哪些值时，y < 0？当x取哪些值时y < 1
1
-1
3
-2
-3
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
O
x
y
由图象可知，当x > -2.5时，y < 0;
当x > -3时，y < 1.
y = -2x - 5
典例精析
例1 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑 9 m，然后自已才开始跑，已知弟弟每秒跑 3 m，哥哥每秒跑 4 m.列出函数关系式，作出函数图象，观察图象回答问题：
(1) 何时弟弟跑在哥哥前面
(2) 何时哥哥跑在弟弟前面
(3) 谁先跑过 20 m 谁先跑过 100 m
(4) 你是怎样求解的 与同伴交流.
解:设哥哥起跑后所用的时间为 x (s). 哥哥跑过的距离为 y1 (m)弟弟跑过的距离为 y2 (m). 则哥哥与弟弟每人所跑的距离 y (m) 与时间 x (s) 之间的函数关系式分别是：
y1＝4x
y2＝3x＋9
(1)_______________时，
弟弟跑在哥哥前面.
(2)__________时，
哥哥跑在弟弟前面.
(3)______先跑过 20 m.
______先跑过 100 m.
思路一:图象法
0(s)＜x＜9(s)
x ＞ 9(s)
y1＝4x
y2＝3x+9
(9,36)
0
6
8
10
2
x(s)
4
12
24
12
30
18
36
6
y(m)
42
48
弟弟
哥哥
思路二:代数法
哥哥： y1 ＝ 4x
弟弟： y2 ＝ 3x+9
(1)何时弟弟跑在哥哥前面
(2)何时哥哥跑在弟弟前面
(3)谁先跑过 20 m 谁先跑过 100 m
4x ＜ 3x＋9
x ＜ 9
4x ＞ 3x＋9
x ＞ 9
4x ＝ 20
3x＋9 ＝ 20
x ＝ 5
4x ＝ 100
3x＋9 ＝ 100
x ＝ 25
∴弟弟先跑过 20 m.
∴哥哥先跑过 100 m.
例2 根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式的解集.
-2
x
y＝3x＋6
y
(1) 3x＋6 ＞ 0
(3) -x＋3 ≥ 0
x
y
3
y＝ -x＋3
(2) 3x＋6 ≤ 0
x ＞ -2
(4) -x＋3 ＜ 0
x ≤ 3
x ≤ -2
x ＞ 3
( 即 y＞0 )
( 即 y≤0 )
( 即 y＜0 )
( 即 y≥0 )
概括总结
求 ax＋b＞0 (或＜ 0) (a，
b是常数，a ≠ 0) 的解集
函数 y = ax＋b 的函数值
大于 0 (或小于 0) 时 x 的
取值范围
直线 y = ax＋b 在 x 轴
上方 (或下方) 部分图象
上自变量的取值范围
从数的角度看
从形的角度看
求 ax＋b＞0 (或＜ 0) (a，
b是常数，a≠0) 的解集
利用图象法解不等式步骤：
（1）作出不等式左、右两边所对应的两个一次函数的图象.
（2）确定两个一次函数图象的交点坐标.
（3）找出哪段函数图象在上方，哪段函数在下方，从而确定自变量的取值范围.
1. 利用 y＝ 的图象，直接写出：
y
2
5
x
y＝ x＋5
x＝2
x＜2
x＞2
x＜0
(即 y＝0 )
(即 y＜0 )
(即 y＞0 )
(即 y＞5 )
练习
已知 y1 = -x + 3，y2 = 3x - 4 ，当 x 为何值时，y1 ＜ y2 ？你是怎样做的？与同伴交流.
解：当y1 < y2 ，即-x + 3 < 3x-4时，x > ，所以当x > 时，y1 < y2 .
本题还可以画出y1 = -x + 3与y2 = 3x - 4 的图象，再利用图象进行比较说明.
3. 甲、乙两辆摩托车从相距 20 km 的 A、B 两地相向而
行，图中 l1、l2 分别表示两辆摩托车离开 A 地的距离
s (km) 与行驶时间 t (h) 之间函数关系.
(1) 哪辆摩托车的速度较快？
(2) 经过多长时间，甲车行驶到
A、B 两地中点？
解：(1)由图象可知
故摩托车乙速度快.
(2)当 s ＝10 km 时，
即经过 0.3 h 时，甲车行驶到 A、B 两地的中点.
三、一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的综合应用.
这三者之间的关系常用来解决生活中的某些决策型问题；如购物方案、最大利润方案、旅游支出方案等.
例1 某电信公司有甲、乙两种手机收费业务.甲种业务规定月租费 10 元，每通话 1 分钟收费 0.3 元；乙种业务不收月租费，但每通话 1 分钟收费 0.4 元. 你认为何时选择甲种业务对顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？
解：设顾客每月通话时长为 x 分钟，
那么甲种业务每个月的消费额为 y1，
乙种业务每个月的消费额为 y2，根据
题意可知 y1＝10＋0.3x y2＝0.4x
一元一次不等式与一次函数的综合应用
当甲乙两种业务消费额 一样时，
即 y1 ＝ y2，得 10＋0.3x ＝ 0.4x，解得 x ＝ 100；
当甲乙两种业务消费额不一样时，
①由 y1 ＞ y2，得 10＋0.3x ＞ 0.4x，解得 x ＜ 100；
此时选择乙种业务比较合算.
②由 y1 ＜ y2，得 10＋0.3x ＜ 0.4x，解得 x ＞ 100.
此时选择甲种业务比较合算.
所以当顾客每个月的通话时长等于 100 分钟时，选择甲乙两种业务一样合算；如果通话时长大于100 分钟，选择甲种业务比较合算；如果通话时长小于 100 分钟，选择乙种业务比较合算.
例2：某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参
加旅游的人数估计为 10~25 人，甲、乙两家旅行社的服
务质量相同，且报价都是每人 200 元.经过协商：甲：每
位游客七五折优惠；乙：先免去一位游客的旅游费
用，其余游客八折优惠. 该选择哪一家旅行社呢？
解：设该单位参加这次旅游的人数是 x 人，选择甲旅行社时，所需的费用为 y1 元，选择乙旅行社时，所需的费用为 y2 元，则：
y1 ＝ 200×0.75x， 即 y1 ＝ 150x
y2 ＝ 200×0.8(x -1)，即 y2 ＝ 160x -160
由 y1＝y2，得 150x＝160x－160，解得 x＝16.
由 y1＞y2，得 150x＞160x－160，解得 x＜16.
由 y1＜y2，得 150x＜160x－160，解得 x＞16.
因为参加旅游的人数为 10~25 人，所以：
当 x＝16 时，y1 ＝ y2，甲、乙两家旅行社的收费相同；
当 16＜x≤25 时，y1 ＜ y2 ，选择甲旅行社费用较少；
当 10≤x＜16 时，y1 ＞ y2，选择乙旅行社费用较少.
概括总结
方案选择问题解题思路：
(1) 根据题意分别写出方案 A、B 的函数解析式 yA、yB；
(2) 将方案 A、B 进行比较：① yA＞yB ；② yA＜yB；
③ yA＝yB，从而分别得到自变量的取值范围；
(3) 根据实际情况选择方案.
你学会了吗？
例3 某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为 6000 元，并且多买都有一定的优惠.
(1) 甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费，其余每台优惠 25%.那么商场的收费 y1 (元)与所买电脑台数 x 之间的关系式是：
(2) 乙商场的优惠条件是：每台优惠 20%. 那么乙商场的收费 (元)与所买电脑台数 x 之间的关系式是：
(1) 什么情况下到甲商场购买更优惠
(2) 什么情况下到乙商场购买更优惠
(3) 什么情况下两家商场的收费相同
令 y1 ＜ y2，得 x ＞ 5.
所以，当购买电脑台数超过 5 时，到甲商场购买更优惠.
令 y1 ＞ y2，得 x ＜ 5.
所以，当购买电脑台数小于 5 时，到乙商场购买更优惠.
令 y1 ＝ y2，得 x ＝ 5.
所以，当购买电脑台数等于 5 时，两商场收费相同.
解决实际问题步骤:
(1) 理清题目中的数量关系，把这些数量关系分解
为几个函数关系；
(2) 列出这些函数关系式；
(3) 根据题意，将列出的函数关系式转化为不等式；
(4) 解不等式；
(5) 选择符合题意的不等式的解集.
概括总结
做一做
直线 l1：y1 ＝ kx+b 与直线 l2：y2 ＝ x+a 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于
kx＋b ＞ x＋a 的不等式的解集为 ( )
A. x ＞ 3 B. x ＜ 3
C. x ＝ 3 D. 无法确定
x
y
【解析】从图象可以知道两条直线的交点的横坐标为 3，通过观察发现 x ＜ 3 时，
kx＋b ＞ x＋a. 故选 B.
B
y2 ＝ x+a
y1 ＝ kx+b
1.如图是一次函数 y ＝ kx＋b 的图象，当 y ＜ 2时，
x 的取值范围是 ( )
A．x ＜ 1 B．x ＞ 1
C．x ＜ 3 D．x ＞ 3
C
2. 某地上网有两种收费方式，用户可以任选其一：
(A) 计时制：0.05 元/分；
(B) 包月制：50 元/月 (限一人上网)．
此外，每一种上网方式都得加收通信费 0.02 元/分．
(1) 请你分别写出两种收费方式下用户每月应支付费用
y (元) 与上网时间 x (小时) 之间的函数关系式；
(2) 若某用户估计一个月内上网的时间为 20 小时，你
认为采用哪种方式较为合算？
解：(1) 依题意得，计时制：
即
包月制：
即
(2) 当 时，
计时制： (元).
包月制： (元).
所以，若某用户估计一个月上网 20 小时，采用包月制较为合算.
3. 某公司 40 名员工到一景点集体参观，该景点规定满 40 人可以购买团体票，票价打八折．这天恰逢妇女节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠. 请你帮助他们选择购票方案.
解：设该公司参观者中有女士 x 人，票价为 1，选择购买女士五折票时所需费用为 y1 元，选择购买团体票时所需费用为 y2 元，则
由 y1 ＝ y2，得 0.5x＋40－x ＝ 40×0.8，解得 x ＝ 16.
由 y1 ＞ y2，得 0.5x＋40－x ＞ 40×0.8 ，解得 x ＜ 16.
由 y1 ＜ y2，得 0.5x＋40－x ＜ 40×0.8 ，解得 x ＞ 16.
答：当女士不足 16 人时，购买团体票合算；
当女士恰好是 16 人时，两种方案所需费用相同；
当女士多于 16 人时，购买女士五折票合算.
一元一次不等式与一次函数在决策型应用题中的应用
实际问题
写出两个函数表达式
不等式
解不等式
画出图象
分析图象
解决问题
一元一次不等式
一次函数
可以研究一次函数图象走向
通过图象可直接解出不等式