14.2三角形全等的判定第1课时两边及其夹角分别相等的两个三角形课件2024-2025学年度八年级上册沪科版数学

(共22张PPT)
沪科版
14.2.1 两边及其夹角
分别相等的两个三角形
八年级上
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
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3
4
目录
1.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
2.运用“边角边 (SAS)”判定方法进行简单的证明.
学习目标
重点
难点
三角形有六个基本元素(三条边和三个角),只给定其中的一个元素或两个元素,能够确定一个三角形的形状和大小吗 通过画图,说明你的判断.
1.只给定一个元素:
(1）一条边长为4 cm;
(2)一个角为45°.
操作
一条边为4cm
一个角为45°
A
A
B
B
C
C
A'
A'
B'
B'
C'
C'
新课引入
2．只给定两个元素:
(1)两条边长分别为4 cm, 5 cm;
(2)一条边长为4 cm,一个角为45°;
(3)两个角分别为45°，60°.
A
B
C
A'
B'
C'
A
B
C
A'
B'
C'
A
B
C
A'
B'
C'
两边分别为4 cm, 5 cm
一边为4 cm,一角为45°
两角分别为45°，60°
通过上述操作,我们发现只给定三角形的一个或两个元素,不能完全确定一个三角形的形状、大小.那么还需增加什么条件才行呢
探究1
1.如图,把圆规平方在桌面上，在圆规的两脚上各取一个点A、C,自由转动其中一个脚,△ABC的形状、大小随之改变.那么还需增加什么条件才可以确定△ABC的形状、大小呢？
给定边AC
给定夹角α
如图，把两块三角尺的一条直角边放置在同一条直线l上,其中∠B, ∠C已知，并记两块三角尺斜边的交点为A，沿着直线l分别向左右移动两个三角尺，△ABC的大小也随之改变，这直观的说明一个三角形只知道两个角，这个三角形是不确定的.那么还需增加什么条件才可使△ABC确定呢？
A
B
C
l
A
B
C
探究2
由上可知,确定一个三角形的形状、大小至少需要有三个元素.确定三角形的形状、大小的条件能否作为判定三角形全等的条件呢
下面,我们利用尺规作图作出三角形,来研究两个三角形全等的条件.
已知：△ABC(如图)
求作：△A′B′C′，使A′B′=AB，∠B′=∠B，B′C′=BC.
三角形全等的判定（“边角边”）
新知学习
作法:
(1)作∠MB'N =∠B;
(2)在 B'M 上截取 B'A' = BA，在B'N 上截取B'C'=BC;
(3)连接A'C'.
A
B
C
B'
A'
M
N
C'
则△A′B′C′就是所求作的三角形.
将所作的△A'B'C'与△ABC叠一叠,看看它们能否完全重合 由此你能得到什么结论
现象：两个三角形能完全重合.
说明：这两个三角形全等.
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 简记为“边角边”或“SAS”(S表示边，A表示角 ).
判定两个三角形全等的第1种方法是如下的基本事实.
归纳
必须是两边“夹角”
用符号语言表达：
在△ABC 与 △A'B'C' 中
∵
∠A' = ∠A
A'C' = AC
A'B' = AB
∴ △ABC ≌ △A'B'C' ( SAS )
A
B
C
A'
B'
C'
探究
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？
B
A
C
D
△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB=AB ，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD不全等.
这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
例1 已知：如图，AD∥BC，AD=CB.
求证：△ADC≌△CBA.
AD=CB（已知）
∠DAC=∠BCA（已证）
AC=CA （公共边）
证明：∵AD∥BC（已知）
∴∠DAC=∠BCA（两直线平行，内错角相等）
在△DAC和△CBA中
∴△ADC≌△CBA（SAS）
例2 如图,在湖泊的岸边有A，B两点,难以直接量出A，B两点间的距离.你能设计一种量出A，B两点之间距离的方案吗 说明你这样设计的理由.
解：在岸上取可以直接到达A，B的一点C,连接AC，延长AC到点A′，使A′C=AC；连接BC,并延长BC到点B′，使B′C=BC.连接A′ B′，量出的长度，就是AB两点间距离.
A′
B′
理由：在△ABC与△A′B′C中，
∵
AC=A′C（已知）
∠ACB= ∠ A′C B′，（对顶角相等）
BC=B′C（已知）
∴△ABC≌△A′B′C.（SAS）
∴A′B′=AB.（全等三角形对应边相等）
A′
B′
1.下列图形中有没有全等三角形，并说明全等的理由.
图甲与图丙全等，依据就是“SAS”.而图乙中 30° 的角不是已知两边的夹角，所以不与另外两个三角形全等.
针对训练
1.下列能证明两个三角形全等的是( )
A
B
C
D
E
F
(1)AB=DE AC=DF ∠B=∠E
(2) AB=DE AC=DF ∠A=∠E
(3) AB=DE AC=DF ∠A=∠D
3
随堂练习
2.已知:如图, AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD. 求证:DC∥AB.
证明：
OA=OC（已知）
∠AOB =∠COD （对顶角相等）
OB=OD （已知）
∵
∴△COD≌△AOB（SAS）
∴∠C=∠A（全等三角形对应角相等）
∴ DC∥AB （内错角相等,两直线平行）
3.已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2． 求证：BC＝DE．
证明：∵∠1=∠2,∠DAC=∠DAC， ∴∠BAC=∠DAE
在△ABC与△ADE中
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴BC=DE.
AB=AD(已知)
∠BAC=∠DAE(已证)
AC=AE(公共边)
方法归纳
基本事实
用“SAS”判定
三角形全等
1.已知两边，必须找“夹角”；
2.已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边.
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等( “边角边”或“SAS”).
“SSA”不能判定两个三角形全等.
注意
课堂小结