15.3等腰三角形第3课时等腰三角形的判定课件2024-2025学年度八年级上册沪科版数学
文档属性
| 名称 | 15.3等腰三角形第3课时等腰三角形的判定课件2024-2025学年度八年级上册沪科版数学 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 350.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-09 11:48:18 | ||
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文档简介
(共22张PPT)
沪科版
15.3.3 等腰三角形的判定
八年级上
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
目录
1.领会等腰三角形、等边三角形的判定方法，培养合情推理的能力；
2.能够运用等腰三角形与等边三角形判定方法解答相关问题．
3.探索含30°角的直角三角形的性质．
学习目标
重点
难点
说出等腰三角形的性质
定理1 等腰三角形两个底角相等，简称“等边对等角”.
定理2 等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.
等腰三角形的两个底角相等，反过来的命题是否是真命题呢？请与你的同学研究讨论后作出判断.
一 等腰三角形的判定
新课引入
定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形.简称“等角对等边”.
如何证明上面的定理呢？
已知：如图所示，在△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
新知学习
证明：过点A作AD⊥BC,D点为垂足，
∴∠ADB=∠ADC=90°.（垂直定义）
在△ADB和△ADC中，
∴△ADB≌△ADC.(AAS)
∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)
这个定理叫做等腰三角形的判定定理,它是判断一个三角形是否为等腰三角形的重要依据.
通过该定理是否能得到其他推论？
注意：不能将等腰三角形的判定定理写成“如果一个三角形两个底角相等，那么它的两腰也相等”，因为在没有判断出三角形为等腰三角形前，不能使用“腰”、“底角”这类等腰三角形专用词语名称
推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形.
推论2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
你能对顶角是60°和底角是60°两种情况分类讨论吗？
二 等边三角形的判定
①顶角是60°
证：∵∠O=60°
∴∠A+∠B=120°.
∵△AOB是等腰三角形
∴∠A=∠B=∠O=60°
∴△AOB是等边三角形
②底角是60°
证：∵∠A=60°，且△AOB是等腰三角形
∴∠A=∠B=60°.
∴∠O=180°-∠A-∠B=60°
∴∠A=∠B=∠O=60°
∴△AOB是等边三角形
例1 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB=AD
B
A
D
C
证明：∵ AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD.
总结：角平分线+平行可得等腰三角形
例2 如图，一艘船从A处出发，以每时10n mile（海里）的速度向正北
航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.如果这艘船上午8:00从A处出发，10:00到达B处，从B处测得礁石C在北偏西60°的方向上.
(1)画出礁石C的位置；
(2)求从B处到礁石C的距离.
解：(1)以B为顶点，向北偏西60°作角，这角一边与AC交于点C,则点C为礁石所在地.
(2)∵∠ACB= 60°-30°=30°，（三角形的外角性质）
又∵∠BAC= 30°，∴∠BCA=∠BAC.
∴BC=BA.
∵BA=10×(10-8)=20(n mile)
∴BC=20（n mile）.
即从 B处到礁石C的距离是20n mile.
1.如图，在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD.求证：
(1)△ABD是等腰三角形.
(2)求∠BAD的度数.
(1)证明：∵AC⊥BD,
∴∠ACB=∠ACD=90°，
又AC=BC=CD,
∴△ABC≌△ADC(SAS),
∴AB=AD,即△ABD是等腰三角形.
随堂练习
(2)由(1)可知，AB=AD,
∴∠B=∠D,又AC=BC=CD,
∴∠B=∠BAC,∠D=∠DAC.
在△ABD中，∠B+∠BAC+∠DAC+∠D=180°，
∴2(∠BAC+∠DAC)=180°，
∴∠BAC+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=90°.
2.如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．
求证：△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF
∴AF=BD=CE，
又∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=FE，
∴△DEF是一个等边三角形．
3.如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由.
解题思路：
1.证明△ABD≌△CBE（AAS）
2.全等三角形性质：对应边相等
（即为BA=BC）
3.等腰三角形性质：等边对等角
（即∠BAC=∠BCA）
4.再证明∠FAC=∠ACF.
4. 已知：如图15.3－13，△ ABC，△ CDE都是等边三角形，AD，BE 相交于点O，点M，N 分别是线段AD，BE 的中点．
(1)求证：AD=BE；
(2)求∠ DOE 的度数；
(3)求证：△ MNC 是等边三角形．
(1)求证：AD=BE；
证明：∵△ ABC，△ CDE 都是等边三角形，
∴ AC=BC，CD=CE，∠ ACB= ∠ DCE=60°，
∴∠ ACB+ ∠ BCD= ∠ DCE+ ∠ BCD，
∴∠ ACD= ∠ BCE.
在△ ACD 和△ BCE 中， AC=BC，
∠ ACD= ∠ BCE，
CD=CE，
∴△ ACD ≌△ BCE(SAS)， ∴ AD=BE．
(2)求∠ DOE 的度数；
解：∵△ ACD ≌△ BCE，
∴∠ ADC= ∠ BEC.
∵△ DCE 是等边三角形，
∴∠ CED= ∠ CDE=60°，
∴∠ ADE+ ∠ BED= ∠ ADC+ ∠ CDE+ ∠ BED
= ∠ ADC+60° + ∠ BED= ∠ CED+60°
=60° +60° =120°，
∴∠ DOE ＝ 180° －(∠ ADE+ ∠ BED)=60° .
(3)求证：△ MNC 是等边三角形．
证明： 由(1) 可知∠ CAD= ∠ CBE，AD=BE，AC=BC.
又∵点M，N 分别是线段AD，BE 的中点，
∴ AM= AD，BN= BE，
∴ AM=BN.
在△ ACM 和△ BCN 中， AC=BC，
∠ CAM= ∠ CBN，
AM=BN，
∴△ ACM ≌△ BCN，
∴ CM=CN，∠ ACM= ∠ BCN.
又∵∠ ACB=60°，
∴∠ ACM+ ∠ MCB= ∠ BCN+ ∠ MCB=60° .
∴∠ MCN=60°，
∴△ MNC 是等边三角形．
(3)求证：△ MNC 是等边三角形．
又∵∠ ACB=60°，
∴∠ ACM+ ∠ MCB= ∠ BCN+ ∠ MCB=60° .
∴∠ MCN=60°，
∴△ MNC 是等边三角形．
定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形.
简称“等角对等边”.
推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形.
推论2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
等腰三角形
的判定
等腰三角
形的判定
等边三角
形的判定
课堂小结
沪科版
15.3.3 等腰三角形的判定
八年级上
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
目录
1.领会等腰三角形、等边三角形的判定方法，培养合情推理的能力；
2.能够运用等腰三角形与等边三角形判定方法解答相关问题．
3.探索含30°角的直角三角形的性质．
学习目标
重点
难点
说出等腰三角形的性质
定理1 等腰三角形两个底角相等，简称“等边对等角”.
定理2 等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.
等腰三角形的两个底角相等，反过来的命题是否是真命题呢？请与你的同学研究讨论后作出判断.
一 等腰三角形的判定
新课引入
定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形.简称“等角对等边”.
如何证明上面的定理呢？
已知：如图所示，在△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
新知学习
证明：过点A作AD⊥BC,D点为垂足，
∴∠ADB=∠ADC=90°.（垂直定义）
在△ADB和△ADC中，
∴△ADB≌△ADC.(AAS)
∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)
这个定理叫做等腰三角形的判定定理,它是判断一个三角形是否为等腰三角形的重要依据.
通过该定理是否能得到其他推论？
注意：不能将等腰三角形的判定定理写成“如果一个三角形两个底角相等，那么它的两腰也相等”，因为在没有判断出三角形为等腰三角形前，不能使用“腰”、“底角”这类等腰三角形专用词语名称
推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形.
推论2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
你能对顶角是60°和底角是60°两种情况分类讨论吗？
二 等边三角形的判定
①顶角是60°
证：∵∠O=60°
∴∠A+∠B=120°.
∵△AOB是等腰三角形
∴∠A=∠B=∠O=60°
∴△AOB是等边三角形
②底角是60°
证：∵∠A=60°，且△AOB是等腰三角形
∴∠A=∠B=60°.
∴∠O=180°-∠A-∠B=60°
∴∠A=∠B=∠O=60°
∴△AOB是等边三角形
例1 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB=AD
B
A
D
C
证明：∵ AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD.
总结：角平分线+平行可得等腰三角形
例2 如图，一艘船从A处出发，以每时10n mile（海里）的速度向正北
航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.如果这艘船上午8:00从A处出发，10:00到达B处，从B处测得礁石C在北偏西60°的方向上.
(1)画出礁石C的位置；
(2)求从B处到礁石C的距离.
解：(1)以B为顶点，向北偏西60°作角，这角一边与AC交于点C,则点C为礁石所在地.
(2)∵∠ACB= 60°-30°=30°，（三角形的外角性质）
又∵∠BAC= 30°，∴∠BCA=∠BAC.
∴BC=BA.
∵BA=10×(10-8)=20(n mile)
∴BC=20（n mile）.
即从 B处到礁石C的距离是20n mile.
1.如图，在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD.求证：
(1)△ABD是等腰三角形.
(2)求∠BAD的度数.
(1)证明：∵AC⊥BD,
∴∠ACB=∠ACD=90°，
又AC=BC=CD,
∴△ABC≌△ADC(SAS),
∴AB=AD,即△ABD是等腰三角形.
随堂练习
(2)由(1)可知，AB=AD,
∴∠B=∠D,又AC=BC=CD,
∴∠B=∠BAC,∠D=∠DAC.
在△ABD中，∠B+∠BAC+∠DAC+∠D=180°，
∴2(∠BAC+∠DAC)=180°，
∴∠BAC+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=90°.
2.如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．
求证：△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF
∴AF=BD=CE，
又∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=FE，
∴△DEF是一个等边三角形．
3.如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由.
解题思路：
1.证明△ABD≌△CBE（AAS）
2.全等三角形性质：对应边相等
（即为BA=BC）
3.等腰三角形性质：等边对等角
（即∠BAC=∠BCA）
4.再证明∠FAC=∠ACF.
4. 已知：如图15.3－13，△ ABC，△ CDE都是等边三角形，AD，BE 相交于点O，点M，N 分别是线段AD，BE 的中点．
(1)求证：AD=BE；
(2)求∠ DOE 的度数；
(3)求证：△ MNC 是等边三角形．
(1)求证：AD=BE；
证明：∵△ ABC，△ CDE 都是等边三角形，
∴ AC=BC，CD=CE，∠ ACB= ∠ DCE=60°，
∴∠ ACB+ ∠ BCD= ∠ DCE+ ∠ BCD，
∴∠ ACD= ∠ BCE.
在△ ACD 和△ BCE 中， AC=BC，
∠ ACD= ∠ BCE，
CD=CE，
∴△ ACD ≌△ BCE(SAS)， ∴ AD=BE．
(2)求∠ DOE 的度数；
解：∵△ ACD ≌△ BCE，
∴∠ ADC= ∠ BEC.
∵△ DCE 是等边三角形，
∴∠ CED= ∠ CDE=60°，
∴∠ ADE+ ∠ BED= ∠ ADC+ ∠ CDE+ ∠ BED
= ∠ ADC+60° + ∠ BED= ∠ CED+60°
=60° +60° =120°，
∴∠ DOE ＝ 180° －(∠ ADE+ ∠ BED)=60° .
(3)求证：△ MNC 是等边三角形．
证明： 由(1) 可知∠ CAD= ∠ CBE，AD=BE，AC=BC.
又∵点M，N 分别是线段AD，BE 的中点，
∴ AM= AD，BN= BE，
∴ AM=BN.
在△ ACM 和△ BCN 中， AC=BC，
∠ CAM= ∠ CBN，
AM=BN，
∴△ ACM ≌△ BCN，
∴ CM=CN，∠ ACM= ∠ BCN.
又∵∠ ACB=60°，
∴∠ ACM+ ∠ MCB= ∠ BCN+ ∠ MCB=60° .
∴∠ MCN=60°，
∴△ MNC 是等边三角形．
(3)求证：△ MNC 是等边三角形．
又∵∠ ACB=60°，
∴∠ ACM+ ∠ MCB= ∠ BCN+ ∠ MCB=60° .
∴∠ MCN=60°，
∴△ MNC 是等边三角形．
定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形.
简称“等角对等边”.
推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形.
推论2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
等腰三角形
的判定
等腰三角
形的判定
等边三角
形的判定
课堂小结