15.3等腰三角形第4课时含30°角的直角三角形的性质课件（共16张PPT）2024-2025学年度八年级上册沪科版数学
文档属性
| 名称 | 15.3等腰三角形第4课时含30°角的直角三角形的性质课件（共16张PPT）2024-2025学年度八年级上册沪科版数学 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 340.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-09 12:06:41 | ||
图片预览
文档简介
(共16张PPT)
沪科版
15.3.4 含30°角的直角三角形的性质
八年级上
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
目录
1.理解和掌握有关30°角的直角三角形的性质和应用；
2.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．
重点
难点
学习目标
新课引入
问题1 如图，将两个含30° 角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到 Rt△ABC 的直角边 BC 与斜边 AB 之间的数量关系吗？(提示：请点击拼接和分离)
分离
拼接
A
B
C
D
A'
C'
A
B
C
D
如图，△ADC 是 △ABC 的轴对称图形，
因此 AB = AD，∠BAD = 2×30° = 60°，
从而△ABD 是一个等边三角形.
再由 AC⊥BD，
可得 BC = CD = BD = AB.
性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
你还能用其他方法证明吗？
法一：在△ABC 中，∵∠ACB = 90°，∠A = 30°，∴∠B = 60°．
延长 BC 到 D，使 BD = AB，连接AD，则△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD，
A
B
C
D
∴ BC = AB．
∴ BC = BD．
已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°.
求证：BC = AB．
新知学习
E
A
B
C
法二：在 BA 上截取 BE = BC，连接 EC.
∵ ∠B = 60°，BE = BC.
∴ △BCE 是等边三角形.
∴ ∠BEC = 60°，BE = EC.
∵ ∠A = 30°，
∴ ∠ECA =∠BEC -∠A = 60° - 30° = 30°.
∴ AE = EC.
∴ AE = BE = BC，
∴ AB = AE + BE = 2BC.
∴BC = AB．
已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°.
求证：BC = AB．
归纳
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
∴ BC = AB．
应用格式：
∵ 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，
例1 判断下列说法是否正确：
1）直角三角形中 30° 角所对的直角边等于另一直角边的一半．
2）三角形中 30° 角所对的边等于最长边的一半.
3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半.
4）直角三角形的斜边是 30° 角所对直角边的 2 倍．
√
例2 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB=AD
B
A
D
C
证明：∵ AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD.
总结：角平分线+平行可得等腰三角形
例3 如图，一艘船从A处出发，以每时10n mile（海里）的速度向正北
航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.如果这艘船上午8:00从A处出发，10:00到达B处，从B处测得礁石C在北偏西60°的方向上.
(1)画出礁石C的位置；
(2)求从B处到礁石C的距离.
解：(1)以B为顶点，向北偏西60°作角，这角一边与AC交于点C,则点C为礁石所在地.
(2)∵∠ACB= 60°-30°=30°，（三角形的外角性质）
又∵∠BAC= 30°，∴∠BCA=∠BAC.
∴BC=BA.
∵BA=10×(10-8)=20(n mile)
∴BC=20（n mile）.
即从 B处到礁石C的距离是20n mile.
1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A．6米 B．9米
C．12米 D．15米
B
针对训练
随堂练习
1. 在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于 E 点，求证：BE = 3AE.
证明：∵ AB = AC，∠BAC = 120°，
∴∠B =∠C = 30°.
∵ D 是 BC 的中点，∴ AD⊥BC.
∴∠ADC = 90°，∠BAD =∠DAC = 60°.
∴ AB = 2AD. ∵ DE⊥AB，∴∠AED = 90°.
∴∠ADE = 30°，∴ AD = 2AE.
∴ AB = 4AE. ∴ BE = 3AE.
2.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴∠EAB=∠B=15°，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．
∵∠C=90°，
∴AC= AE= BE=2.5．
解：连接AE，
在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°, 那么它所对的直
角边 等于斜边的一半
含30°角的
直角三角
形的性质
课堂小结
沪科版
15.3.4 含30°角的直角三角形的性质
八年级上
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
目录
1.理解和掌握有关30°角的直角三角形的性质和应用；
2.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．
重点
难点
学习目标
新课引入
问题1 如图，将两个含30° 角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到 Rt△ABC 的直角边 BC 与斜边 AB 之间的数量关系吗？(提示：请点击拼接和分离)
分离
拼接
A
B
C
D
A'
C'
A
B
C
D
如图，△ADC 是 △ABC 的轴对称图形，
因此 AB = AD，∠BAD = 2×30° = 60°，
从而△ABD 是一个等边三角形.
再由 AC⊥BD，
可得 BC = CD = BD = AB.
性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
你还能用其他方法证明吗？
法一：在△ABC 中，∵∠ACB = 90°，∠A = 30°，∴∠B = 60°．
延长 BC 到 D，使 BD = AB，连接AD，则△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD，
A
B
C
D
∴ BC = AB．
∴ BC = BD．
已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°.
求证：BC = AB．
新知学习
E
A
B
C
法二：在 BA 上截取 BE = BC，连接 EC.
∵ ∠B = 60°，BE = BC.
∴ △BCE 是等边三角形.
∴ ∠BEC = 60°，BE = EC.
∵ ∠A = 30°，
∴ ∠ECA =∠BEC -∠A = 60° - 30° = 30°.
∴ AE = EC.
∴ AE = BE = BC，
∴ AB = AE + BE = 2BC.
∴BC = AB．
已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°.
求证：BC = AB．
归纳
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
∴ BC = AB．
应用格式：
∵ 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，
例1 判断下列说法是否正确：
1）直角三角形中 30° 角所对的直角边等于另一直角边的一半．
2）三角形中 30° 角所对的边等于最长边的一半.
3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半.
4）直角三角形的斜边是 30° 角所对直角边的 2 倍．
√
例2 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB=AD
B
A
D
C
证明：∵ AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD.
总结：角平分线+平行可得等腰三角形
例3 如图，一艘船从A处出发，以每时10n mile（海里）的速度向正北
航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.如果这艘船上午8:00从A处出发，10:00到达B处，从B处测得礁石C在北偏西60°的方向上.
(1)画出礁石C的位置；
(2)求从B处到礁石C的距离.
解：(1)以B为顶点，向北偏西60°作角，这角一边与AC交于点C,则点C为礁石所在地.
(2)∵∠ACB= 60°-30°=30°，（三角形的外角性质）
又∵∠BAC= 30°，∴∠BCA=∠BAC.
∴BC=BA.
∵BA=10×(10-8)=20(n mile)
∴BC=20（n mile）.
即从 B处到礁石C的距离是20n mile.
1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A．6米 B．9米
C．12米 D．15米
B
针对训练
随堂练习
1. 在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于 E 点，求证：BE = 3AE.
证明：∵ AB = AC，∠BAC = 120°，
∴∠B =∠C = 30°.
∵ D 是 BC 的中点，∴ AD⊥BC.
∴∠ADC = 90°，∠BAD =∠DAC = 60°.
∴ AB = 2AD. ∵ DE⊥AB，∴∠AED = 90°.
∴∠ADE = 30°，∴ AD = 2AE.
∴ AB = 4AE. ∴ BE = 3AE.
2.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴∠EAB=∠B=15°，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．
∵∠C=90°，
∴AC= AE= BE=2.5．
解：连接AE，
在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°, 那么它所对的直
角边 等于斜边的一半
含30°角的
直角三角
形的性质
课堂小结