2024-2025学年河南省南阳市方城第一高级中学高一（上）开学数学试卷（含解析）

2024-2025学年河南省南阳市方城第一高级中学高一（上）开学
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知正数，，满足，则有( )
A. 最小值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最大值
2.下列命题是全称量词命题的是( )
A. 存在一个实数的平方是负数 B. 每个四边形的内角和都是
C. 至少有一个整数，使得是质数 D. ，
3.下列对象能构成集合的是( )
A. 我国近代著名的数学家 B. 的所有近似值
C. 所有的欧盟成员国 D. 年全国高考数学试题中所有难题
4.设全集，，，则图中阴影表示的集合为( )
A. B. C. D.
5.由实数，，，，所组成的集合，最多含元素个数为( )
A. B. C. D.
6.下列说法正确的是( )
A. 是的充分条件
B. 是的必要条件
C. 四边形对角线互相垂直是四边形为菱形的充要条件
D. ““是“”的充分不必要条件
7.已知集合，集合，若，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.对于集合，，“”不成立的含义是( )
A. 是的子集 B. 中的元素都不是的元素
C. 中至少有一个元素不属于 D. 中至少有一个元素不属于
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的有( )
A. 空集是任何集合的真子集
B. 若，，则
C. 任何一个集合必有两个或两个以上的真子集
D. 如果不属于的元素一定不属于，则
10.下列不等式中成立的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知全集，集合，，则 ， ．
13.含有个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 ______．
14.“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，求证：．
16.本小题分
已知全集为，集合，．
当时，求；
若，求实数的范围．
17.本小题分
已知集合．
若，求集合用列举法表示；
若中至多有一个元素，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知集合，．
当时，求，；
求能使成立的实数的取值范围．
19.本小题分
甲、乙两人同时从地出发沿同一路线走到地，所用时间分别为，甲有一半的时间以的速度行走，另一半的时间以的速度行走；乙有一半的路程以的速度行走，另一半的路程以的速度行走，且．
请用含，的代数式表示甲、乙两人所用的时间和；
比较与的大小，并判断甲、乙两人谁先到达地．
答案解析
1.
【解析】解：正数，满足，
，化为，当且仅当时取等号．
的最大值是．
故选：．
2.
【解析】解：选项A，，中，分别有“存在”，“至少”，“”这样的特称量词，
所以选项A，，都为特称命题，
选项B：因为有“每个”这样的全称量词，所以命题为全称命题，
故选：．
根据全称命题与特称命题中的量词即可判断求解．
本题考查了全称命题与特称命题的定义，属于基础题．
3.
【解析】解：、、：由于描述中标准不明确，无法确定集合；
：所有欧盟成员国是确定的，可以构成集合．
故选：．
根据集合的性质的判断即可．
本题主要考查了集合元素的确定性的应用，属于基础题．
4.
【解析】解：题图中阴影部分表示为，
因为，集合，
所以．
故选A
先根据图表达集合的关系，然后分别求出集合和集合，最后根据集合交集的定义求出即可．
本题主要考查了图表达集合的关系，以及集合交集的运算，属于基础题．
5.
【解析】解：由题意可知，且，
所以以实数，，，，为元素所组成的集合，最多含有，两个元素．
故选：．
6.
【解析】解：对于，若，当时，与不一定相等，故A错误，
对于，若，则或，故B错误，
对于，四边形对角线互相垂直不一定是菱形，但菱形的对角线一定互相垂直，故C错，
对于，““所表示的集合是“”所表示的集合的真子集，故““是“”的充分不必要条件，故D正确．
故选：．
根据充分条件、必要条件的定义可解．
本题考查充分条件，必要条件的定义，属于基础题．
7.
【解析】解：，，且，
，
的取值范围为：．
故选：．
可求出集合，然后根据集合及即可求出的取值范围．
本题考查了指数函数的单调性，集合的描述法和区间的定义，考查了计算能力，属于基础题．
8.
【解析】解：“”成立的含义是集合中的任何一个元素都是的元素，
不成立的含义是中至少有一个元素不属于，
故选：．
“”不成立，是对命题的否定，任何的反面是至少，即可得到结论．
本题考查集合的包含关系，考查命题的否定，属于基础题．
9.
【解析】解：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故选项A错；
子集具有传递性，故选项B正确；
若一个集合是空集，则没有真子集，故选项C错；
由韦恩图易知选项D正确．
故选：．
根据空集的定义和性质可判断，C正确与否，根据真子集的性质可判断B正确与否，根据韦恩图可判断D正确与否．
本题考查了空集的定义，真子集的性质以及韦恩图，属于基础题．
10.
【解析】解：对于，当时，，故A错误；
对于，因为，则，，
所以，即，故B正确；
对于，取，，满足，但，故C错误；
对于，因为，所以，，
所以，即，故D正确．
故选：．
利用不等式的性质，结合作差法即可得解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
11.
【解析】解：依题意可知中存在小于的元素且不存在大于或等于的元素，
则集合和均符合题意．
故选：．
依题意可知中存在小于的元素且不存在大于或等于的元素，即可判断．
本题考查命题真假的判定，注意存在量词命题真假的判断方法，属于基础题．
12.
【解析】解：全集，集合，或，
，
，．
故答案为：，．
化简集合，并求出的补集，根据交集，并集的定义求出结论即可．
本题考查了集合的化简与交集，并集、补集的运算问题，是基础题目．
13.
【解析】解：，
显然，，
，
此时，
，且，
，
．
故答案为：．
根据集合相等的定义求解．
本题主要考查了集合相等的定义，属于基础题．
14.不唯一
【解析】解：一元二次方程的两个根为，，
有一个正实数根和一个负实数根，
，，
，
一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的一个充分条件但不是必要条件的是不唯一．
故答案为：不唯一．
先求出一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的充要条件，再求解即可．
本题考查了充要条件的运用，属于基础题．
15.证明：知，，由柯西不等式可得，
当且仅当时取等号，
，
，，
．
【解析】直接根据柯西不等式即可证明．
本题考查了柯西不等式的应用，属于中档题．
16.解：时，，且，
；
，，
，
，
，解得，
的取值范围为．
【解析】时，可得出集合，然后进行并集的运算即可；
可得出，根据可得出，从而得出，解出的范围即可．
本题考查了交集、并集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
17.解：，
，解得，
或，
，
当时，方程为，
集合；
当时，若关于的方程有两个相等的实数根，
则也只有一个元素，此时；
若关于的方程没有实数根，
则没有元素，此时，
综合知此时所求的范围是，或．
【解析】通过，求出，进而求解结论；
通过讨论当时，当时的情况，结合二次函数的性质求出实数的取值范围．
本题考查实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意分类讨论思想的合理运用．
18.解：当时，集合，
所以，；
由，可知，
则，解得，
故实数的取值范围为．
【解析】当时，求出集合，进而可以求解；
由题可知，然后根据子集的定义建立不等式关系，即可求解．
本题考查了集合的包含关系，涉及到不等式的求解以及交集和并集的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
19.解：甲有一半时间以的速度行走，另一半时间以行走，
，
，
乙有一半的路程以的速度行走，另一半的路程以的速度行走，
；
，
，
，
，，，
，
，
所以甲先到达地．
【解析】分别根据两人的运动情况表示出两人走完全程所用的时间；
对两人所用的时间用作差法比较大小即可得出结论．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
第1页，共1页