湖南省益阳市2025届高三9月数学试题（PDF版，含答案）

益阳市 2025 届高三 9 月教学质量检测
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．D 2．B 3．D 4．D 5．A 6．B 7．C 8．C
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分。
9．AC 10．ACD 11．BCD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 7． 13．0.33 14．（1）2，（2）1275（答对一个记 3分）
9
温馨提示：14．(2)由题可知 a1≥1,所以 B1=Φ，所以 b1=0.
若 a1=m≥2，则 B2=Φ,Bm+1={1},所以 b2=0，bm+1=1,与{bn}是等差数列矛盾.所以 a1=1.
设 dn=an+1-an(n∈N*),因为{an}是各项均为正整数的递增数列，所以 dn∈N*.假设存在 k∈N*
使得 dk≥2.设 ak=t，由 ak+1-ak≥2得 ak+1≥t+2.由 ak=t为等差数列矛盾.所以对任意 n∈N*都有 dn=1.所以数列{an}是等差数列，an=1+(n-1)=n.
S 50 51所以， 100 1275 .2
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分 13分）
解：（1）由正弦定理得 a 2Rsin A, c 2RsinC，又 3asinC ccos A c 0，
∴ 3sin AsinC sinC cos A sinC 0．
∵C (0, )

，∴ sinC 0．∴ 3sin A cos A 1 0．∴ 2sin(A ) 1．6
∵ A (0, )

，∴ A ．···································································· 6分
3
2 ABC 2 3 2 3 1（ ）∵△ 面积为 ，∴ bcsin A 1 bcsin 3 bc，∴bc=8．
2 2 3 4
∵ a
1
4, A ，由 a 2 b2 c 2 2bc cos A得16 b 2 c 2 2bc ．
3 2
即 (b c)2 16 3bc 40．∴ b c 2 10 ．············································ 13分
16．（本小题满分 15分）
解：（1）因为调查的男游客人数为： 2 100 40，
2 3
所以，调查的女游客人数为100 40 60，于是可完成 2 2列联表如下：
高三数学参考答案 第 1页（共 5页）
{#{QQABJYCQggCAAIAAABgCAwm6CAGQkBGACYgOQBAIIAAAwQNABAA=}#}
满意 不满意 合计
男游客 35 5 40
女游客 45 15 60
合计 80 20 100
………………………3分
零假设为 H0：游客对公园新措施满意与否与性别无关．根据列联表中的数据，可得：
2 100 35 15 45 5
2
75 3 3.841=x
80 20 40 60 32 0.05
，
根据小概率值 0.05的 2独立性检验，没有充分证据推断 H0不成立，因此可以认为 H0
成立，即游客对公园新措施满意与否与性别无关．·········································· 6分
（2）由（1）可知男游客抽 2人，女游客抽 3人，
依题意可知 X的可能取值为 0，1，2，并且 X服从超几何分布，
C0C3 1 2 2 1
即 P X 0 1 2 33 ,P
C C C C
X 6 1 2 33 ， P X 2
3
2 33 ．C5 10 C5 10 C5 10
所以 X的分布列为： X 0 1 2
P 1 6 3 ………………12分
10 10 10
E X 0 1 1 6 3 6 2 ．·································································· 15分
10 10 10 5
（备注： p(X i) i 1，2，3，求出一个记 2分）
17．（本小题满分 15分）
解：（1）因为 FB⊥平面 ABCD，又 AD 平面ABCD ，所以 FB⊥AD．又 FM⊥AD，且
FB FM F ，所以，AD⊥平面 BFM．因为 BC∥AD，所以，BC⊥平面 BFM．·· 5分
（2）作 EN⊥AD，垂足为 N．则 FM∥EN．又 EF∥AD，所以，四边形 FMNE是平行四边
形，又 EN⊥AD，所以四边形 FMNE是矩形．又四边形 ADEF为等腰梯形，且 AD=4，
EF=2，所以，AM=1．由（1）知 AD⊥平面 BFM，所以 BM⊥AD．又 AB= 2 ，所以
BM=1．在 Rt△AFM中， FM AF 2 AM 2 10 ．在 Rt△FMB中，
∴ FB FM 2 BM 2 3．由上可知，能以 BM，BC，BF所在的直线分别
为 x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系．·······z·································· 7分
则 A( E-1，-1，0)，B(0，0，0)， F
F(0，0，3)，D(-1，3，0)，E(0，2，3)，

所以， AB (1,1,0)， BF ＝(0，0，3)， A M N D

BD＝(-1，3，0)， BE ＝(0，2，3)，

设平面 ABF的法向量为m ＝(x1，y1，z1)， B C yx
高三数学参考答案 第 2页（共 5页）
{#{QQABJYCQggCAAIAAABgCAwm6CAGQkBGACYgOQBAIIAAAwQNABAA=}#}

m BA 0 x1 y 1
0，
由 ，得 可取m ＝(1，-1，0)．·······································10分
m BF 0 y1 0，

设平面 BDE的法向量为 n＝(x2，y2，z 2
)，
m BD 0 x 3y 0，
由
2 2
，得 可取 n＝(9，3，2)．···································12分
m BE 0 2y2 3z2 0，
m n 9 3 3 47
因此，cos＝ ＝ ＝ ．
|m | | n | 1 1 81 9 4 47
3 47
依题意可知，平面 ABF与平面 DBE的夹角的余弦值为 ．························· 15分
47
18．（本小题满分 17分）
1
解：（1）设动点 P(x,y),因为直线 PA，PB的斜率满足 kPA kPB ，4
y y 1 2
(x 2), x化简整理得 y2 1(x 2).
x 2 x 2 4 4
2
所以轨迹 C x的方程为 y2 1(x 2). ························································ 4分
4
（2）由已知可设过点（1，0）的直线 l的方程为：x ty 1(t R)，点M (x1 , y1 ),点N (x2 , y2 )，
x ty 1
2 ,得(t 2 4)y2 2t 3由 x 2ty 3 0.显然 0. y1 y2 2 ， y y ．
y
2 1 t 4 1 2 t 2 4
4
1 3 (2t)2 4 ( 3) (t 2 4) 2S 6 t 3 AMN 2 1 y y2 1 2
.
2 t 2 4 t 2 4 ·························7分
令u t 2 3,则u 3,t 2 u 2 3, 6u所以S AMN u2
.
1
2
设 s(u) 6u ，则s 6 6u2 (u) 2 2 ，所以， s(u)在[ 3, )单调递减，所以 s(u)的最大值为u 1 (u 1)
s( 3 3 3
3 3
） 即 u 3, t 0时，△AMN的面积取最大值 . ···························· 10分
2 2
y
（3）由已知可设直线 AM的方程为 y 1 (x 2),即y
y
1 (x 2),
x1 2 ty1 3
y y
直线 BN y 2的方程为 (x 2),即y 2 (x 2),x2 2 ty2 1
y1(x 2) y消去 y，得 2
(x 2) , y y 0, x 2 x 2显然 1 2 3 1 ，（*）ty1 3 ty2 1 t t
y1 y2
由（2 2t 3 1 1 2t 1 t 1），得 y1 y 2 t2
, y
4 1
y 2 t2
, , t ,
4 y1 y2 3 y2 3 y1
x 2 x 2
， x 2 3(x 2),即x 4.
所以（*）式可化为 t 3 1 (t 3 )
y1 3 y1
所以点 Q的轨迹方程为 x 4(y 0). ····························································· 17分
备注：（1）中没有 x 2，（3）中没有 y 0，每项扣 1 分。
高三数学参考答案 第 3页（共 5页）
{#{QQABJYCQggCAAIAAABgCAwm6CAGQkBGACYgOQBAIIAAAwQNABAA=}#}
19．（本小题满分 17分）
1 1 ax2
解：（1）由题意得 f (x) ax (x 0),
x x
设所求切线的切点为（x0，y0）,则直线 l的方程为 y y0 f (x0（) x x0 ),
1 4x20 4 2 2
即 y y0 （x x0 )，又 y ln x x ln xx 0 0 2 0 0
2x0 ，
0
2
2 2 1 4x0
∴ 2e (ln x0 2x0 ) （0 xx 0
) .即 ln x0 2x
2
0 2e
2 1 0，
0
令 t(x) ln x 2x2 2e2 1，可知 y t(x)在（0，+∞）上单调递增.
又 t(e) 0，所以方程 ln x 20 2x0 2e
2 1 0有唯一解 x0=e.
l y 1 4e
2
所以，直线 的方程是 x 2e2 （或 (1 4e2 )x ey 2e3 0）.···············5分
e
（2）证明: f (x1)
a a
f (x2 )（ 0 x
2 2
1 x2）， ln x1 x1 ln x2 x2 ,2 2
ln x
即 1
ln x2 a(x 1 x2 ) , f ( x1 x2 ) 0
x1 x 2
要证 ，
2 2
2 a(x1 x2 ) 2 ln x1 ln x2
由（1）知只要证 0, 0,x1 x 2
即证
2 x1 x2 x1 x2
2(x x )
又因为 0 x x 1 21 2，即证 ln
x1 ,
x x x （*）1 2 2
x
令 1 t, 2(t 1)则0 t 1，
x 欲证（*）式成立，等价于证明
ln t，
2 t 1
h(t) ln t 2(t 1) h (t)
1 4 (t 1)2
设函数 (0 t 1),则 0,
t 1 t (t 1)2 t(t 1)2
所以函数 h(t)是（0，1）上的增函数，所以 h(t) h(1) 0, 2(t 1)即 ln t成立，
t 1
x x
所以 f ( 1 2 ) 0 .··················································································· 11分
2
（3）解法一：由题意得G(x) ln x
a
x2 x a ln (x 0,a 0)．
2 2
2
则G (x) 1 ax 1 1 ax x , G (x) 0, x 1 1 4a x 1- 1 4a令 得 或 (舍去），
x x 2a 2a
1 1 4a
在（0， )上，G (x) 0, 1 1 4a 在（ , )上，G (x) 0,
2a 2a
G(x) 0 1 1 4a ) 1 1 4a在（ ， 上单调递增,在（ , )上单调递减，当且仅当
2a 2a
x 1 1 4a 时，G(x) 1 1 4a取得最大值G( ) G(x) 1 1 4a
2a 2a max
G( ).
2a
已知G(x) f (x) x ln
a
0 1 1 4a恒成立 G(x)
2 max
G( ) 0.
2a
G(2) 0 1 1 4a 1 1 4a 2又 ,所以
a G( ) 0
，所以 ，解得 a 2.
2a 2a a
高三数学参考答案 第 4页（共 5页）
{#{QQABJYCQggCAAIAAABgCAwm6CAGQkBGACYgOQBAIIAAAwQNABAA=}#}
所以 a的取值的集合为 2 . ········································································· 17分
a 2 a
解法二：由题意得G(x) ln x x x ln (x 0,a 0) 0恒成立，令
2 2
2
G (x) 1 1 ax x ax 1 0, 得1 ax2 x 0,
x x
a 0, 1 4a 0, 方程1 ax2 x 0有两个不相等的实数根 x1，x2，
则x1x
1
2 0,不妨设x1 0 x2， G(x)在(0,x2)上单调递增，在(x2 , )上单调递减,a
G(x) amax G(x2 ) ln x
2
2 x2 x2 ln
a a
x 2 x ln ax2 0.
2 2 2 2 2 2
2 ax 1 x2由1 ax (**),2 x2 0,得 2 x2
G(x ) ln1 x2 x2 1 2 02x 2 恒成立.2
令 g(x) ln
1 x x 1
，则 g(x) ln(1
x 1
x) ln(2x) ，
2x 2 2
g (x) 1 1 1 (x 2)(x 1)则 0 x 1时，g (x) 0 x 1时，g (x) 0x 1 x 2 2x(x 1) ，当 ,当 ,所以，
g(x)在（0,1）上单调递减，g(x)在（1, ）上单调递增，所以， g(x) g(1)=0，即G(x2 ) 0 ,
当且仅当 x2 1时取等号，又G(x2 ) 0恒成立，所以G(x2 ) 0,且 x2 1，将 x2 1代入（**）
式得 a=2. a的取值的集合为 2 . ································································· 17分
高三数学参考答案 第 5页（共 5页）
{#{QQABJYCQggCAAIAAABgCAwm6CAGQkBGACYgOQBAIIAAAwQNABAA=}#}