浙江省名校协作体2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（PDF版，含答案）

2024 学年第一学期浙江省名校协作体联考参考答案
高二年级数学学科
首命题：学军中学 次命题兼审校：温岭中学 审核：春晖中学
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C A D B D B
二、多选题
题号 9 10 11
答案 BC ACD ABD
三、填空题
题号 12 13 14
答案 2 81 11: 7
四、解答题
15．（Ⅰ）∵a 0， a (x + a)(x+2) 0
所以 (x + a)(x + 2) 0，解得 2 x a
所以 A = x 2 x a .............5 分
（Ⅱ） B = x 1 x 2
①当 a 0时，因为B A，所以 a 2，得 a 2 ；............ 7 分
②当 a = 0 时 A = 不合；.............9 分
③当0 a 2时， A = x x 2或x a 成立，所以 B A成立；.............11 分
④当 a 2时时， A = x x a或x 2 成立，所以 B A成立；
综合得a 2或a 0 ...............................13 分
16．解析：（Ⅰ）由已知，志愿者服务时间不低于 18小时的概率为1 (0.02+0.06) 4 = 0.68 .
------4 分
（Ⅱ）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为 20，故众数是 20；--------7 分
由 (0.02+0.06+0.075+a+0.025) 4 =1，解得a = 0.07，
∵ (0.02+0.06) 4 = 0.32，且 (0.02+0.06+0.075) 4 = 0.62，
平均数为 (0.02 12+0.06 16+0.075 20+0.07 24+0.025 28) 4 = 20.32；--------11 分
（Ⅲ）又∵ (0.02+0.06+0.075) 4 = 0.62， (0.02+0.06+0.075+0.07) 4 = 0.9，
∴第 75%位数位于22 ~ 26之间，设第 75%位数为 y ，
y 22 0.75 0.62 13
则 = ，解得 y = 22+ 23.86．----------------15 分
26 22 0.9 0.62 7
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17．（Ⅰ）解析： f (x) = 2sin(x + ) ，----------------------------3 分
6
3 4
令x + 2k + ,2k + 得 2k + x 2k + ， 6 2 2 3 3
4
f (x) 的单调减区间为[ + 2k , + 2k ],k Z -----------------6 分
3 3
6
（Ⅱ）解析：由题意得 g(x) = 2sin(2x ) ，则 g( ) = 2sin(2 ) = --------8 分
6 6 5
3 5 2
sin(2 ) = ，又因为 ( , ) ，则2 ( , )
6 5 6 12 6 2 3
4
所以cos(2 ) = ------------------------------------------------11 分
6 5

cos 2 = cos(2 + )
6 6
----------------------15 分
3+ 4 3
= cos(2 )cos sin(2 )sin =
6 6 6 6 10
18．（Ⅰ）解析：由题意，在三角形 PAB 与三角形 PAD 中用余弦定理可得：
AB = AD = 2 7 ，-------------------------------------2 分
取 BD中点M ，连 AM ,PM ，由 AB = AD， PB = PD，可得 BD ⊥ AM ， BD ⊥ PM ，
故 BD ⊥平面 APM ，因为 AP 平面APM ，所以 BD ⊥ PA-----------4 分
（Ⅱ）因为 BD ⊥平面 APM ，所以平面 PAM ⊥ 平面 ABCD ，故点 P 在平面 ABCD 上的投影在两平
面的交线 AM 上，所以 PAM 为所求线面角，-----------5 分
在Rt PBD 中，有 BM = DM = PM = 2 2 ；在Rt ADM 中，可得 AM = 2 5 ，---------7 分
PA2 + AM 2 PM 2 2 5 5
故在三角形 PAM 中： cos PAM = = ，所以 sin PAM = ，
2PA AM 5 5
5
即所求线面角的正弦值为 .------------------------------------------------8 分
5
（Ⅲ）解析：因为平面 PAM ⊥平面 ABCD ，故点 P, A,M ,C 四点共面，
所以点 A,M ,C 三点共线，-------------------------------------------------10 分
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2 5
所以在 PAC 中， cos PAC = ，所以 PC2 = PA2 + AC2 2PA AC cos PAC = 9 ，
5
2 24 9 5即36 + AC AC = 9，解得 AC = 或 AC = 3 5 ，---------------------12 分
5 5
9 5
若 AC = ，则四边形 ABCD 为凹四边形，矛盾. 所以 AC = 3 5 ---------------13 分
5
1
因为，所以 S = AC BD = 6 10 ，-----------------------------15 分
四边形ABCD
2
1
所以V = S PA sin PAM = 12 2 .-------------------17 分
四棱锥P ABCD 四边形ABCD
3
19．(Ⅰ)解析：是.理由如下：------------------------------------1 分
16
x 0, 0,
x
16 16 -----------------------3 分
ln ln
16 16 ln x ln x
f ( ) = log2 log
x x
8 x = = = f (x)
x x ln 2 ln8 ln 2 ln8
16
故 f (x) = log2 x log8 是“反比例对称函数”.--------------- -------4 分
x
(Ⅱ)解析：设h(x) = f (x) g(x), x (0,+ ) ,
16 16
由(Ⅰ)知 f ( ) = f (x)，验证知 g( ) = g(x)
x x
16
故 h(x) = h( ) .--------------------------------------------------------6 分
x
由题意函数 f (x)与 g ( x)的图像恰有一个交点，即h(x) 恰有一个零点，
故由对称性零点只能为 4.-----------------------------------------------7 分
20
由 h(4) = 0，得m = .----------------------------------------8 分
3
下检验此时h(x) 恰有一个零点.
由对勾函数性质知， g(x)在 (0, 4 上单调递减， 4,+ )上单调递增.
ln x(ln16 ln x) u(ln16 u)
f (x) = ,设u = ln x， f (x) = ，
ln 2ln8 ln 2ln8
f (x)关于 u在 (0, ln 4 上单调递增， ln 4,+ )上单调递减，
因此 f (x)在 (0, 4 上单调递增， 4,+ )上单调递减.
故h(x) 在 (0, 4 上单调递增， 4,+ )上单调递减.
故此时h(x) 恰有一个零点 4.----------------------------10 分
注:充分必要性步骤交换亦可。充分性也可通过不等式的方法
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2
ln16
ln x(ln16 ln x) 2 4 4 结合取等条件得到 f (x) = = , g (x)
ln 2 ln8 ln 2ln 8 3 3
16
法二 : g (x) = x + m在(0,4 为减函数,在 4,+ )为增函数
x
1
f (x) = log2 x (4 log2 x)在(0,4 为增函数, 4,+ )为减函数
3
记h(x) = f (x) g (x)则h(x)在(0,4 为增函数, 4,+ )为减函数
x → 0时h(x)→ , x →+ 时h(x)→
h(x)只有一个零点
4 20
所以 h(4) = (8 m) = m = 0
3 3
20
所以m =
3
4 4
(Ⅲ)解析： f (x)在 4,+ )上单调递减， g ( x)在 ,+ 上单调递增， a 1, 4，
a a
故 h (x)在 4,+ )上单调递减.------------------------------------------11 分
h(x) 在[4,+ )上至多有一个零点.
不妨设 x1 x2，下分情况讨论：
①0 x1 x2 4， x1x2 16结论成立；-------------------------------12 分
②0 x 4 x ，则h(x1) = h (x2 ) = 01 2
16
设H (x) = h (x) h ，
x
16 16 1 16
此时H (x) = h (x) h = g( ) g(x) = (a )( x) ，-------------------14 分
x x a x
16
0 x H(x ) 01 4得到 1 ，也即h (x1 ) h ，
x1
16
h (x1 ) = h (x2 ) = 0， h (x2 ) h ，----------------------------15 分
x1
16
x2 4, 4 ，
x1
16
由 h (x)在 (4,+ )上单调递减，得到 x2 ， x1x2 16,得证.----------------------17 分 x1
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