2024-2025学年安徽省蚌埠二中高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省蚌埠二中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.是边长为的正三角形，那么的斜二测平面直观图的面积为( )
A. B. C. D.
3.已知，表示不同的直线，，表示不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，且，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
4.已知函数是奇函数，则( )
A. B. C. D.
5.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )
A. ，，，有两解
B. ，，，有一解
C. ，，，有一解
D. ，，，无解
6.已知圆锥的顶点为，侧面面积为，母线长为为底面圆心，，为底面圆上的两点，且，则直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数为( )
A. B. C. D.
8.已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于函数，下列结论正确的是( )
A. 是的一个对称中心
B. 函数在上单调递增
C. 函数图像可由函数的图像向右平移个单位得到
D. 若方程在区间上有两个不相等的实根，则
10.已知，满足：对任意，恒有，则( )
A. B.
C. D.
11.如图，若正方体的棱长为，线段上有两个动点则下列结论正确的是( )
A. 直线与平面的夹角的余弦值为
B. 当与重合时，异面直线与所成角为
C. 平面平面
D. 平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ______．
13.已知三棱台的体积为，记上底面、下底面的面积分别为，，若：：，则三棱锥的体积为______
14.中，，延长线段至，使得，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，且．
若，求的值；
求与夹角的余弦值．
16.本小题分
已知函数的部分图像如图所示．
求函数的解析式及对称中心；
求函数在上的值域．
先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间．
17.本小题分
如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，．
证明：平面平面；
设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积．
18.本小题分
如图，的内角，，的对边分别为，，，已知，为线段上一点，且．
求角；
若，求面积的最大值；
若，求．
19.本小题分
已知三棱锥的棱、、两两互相垂直，且．
若点、分别在线段、上，且，，求二面角的余弦值；
若以顶点为球心，为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交，试求交线长是多少？
参考答案
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15.解：若，则，即，可得，解得；
由，可得舍负．
因为，
所以与的夹角满足．
16.解：根据函数的部分图像，
可得，故．
再根据五点法作图，，
由于，
所以；
故有．
令，解得．
故函数对称中心为．
另解：根据图像可得：是的图像的一个对称中心，
故函数的对称中心为．
，
，
当时，；
当时，．
因此函数的值琙为．
先将的图像纵坐标缩短到原来的，再向左平移个单位，得到的图像，
即．
令，
可得的减区间为．
结合，
可得在上的单调递减区间为．
17.解：连接，，，是底面的内接正三角形，
所以．
是圆锥底面的圆心，所以：，
所以，
所以≌≌，
由于．
所以
所以，，，平面，
由于，
所以平面，
由于平面，
所以：平面平面．
设圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为，
所以．
由于圆锥的侧面积为，
所以，整理得，
解得．
所以．
由于，解得
则：．
18.解：，
由正弦定理可得，
即，
，
，
，，，，
又，，．
，
，
，即
，即，
，当且仅当，即，时等号成立．
，当且仅当即，时等号成立．
面积的最大值为．
设，，，，，
在中，根据正弦定理有：，即，
在中，根据正弦定理有：，即，
，
即，
，
又，则，
即，，
．
19.解：因为、、两两垂直，，
，平面，，所以平面，
，
过点作于，连接，则，
又平面，所以，又，平面，，
所以平面，又平面，所以 ，
即为的平面角，
在中，，
所以二面角的余弦值．
，，
所以以为球心，为半径的球与三棱锥交于四段弧，
平面与球面相交所成的弧是以为圆心，
为半径的圆弧；
平面与球面相交，得到的弧是以为圆心，为半径的弧，
，，又为锐角，
所以，所对圆心角，所以；
由对称性可知，平面与球面相交所得到弧长与情况相同，长度也为；
，
所以为等边三角形，，
点到的距离等于，
所以平面与球面相交得到弧长，
所以交线长．
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