北京市八一学校2025届高三年级数学摸底考试试卷（PDF版，含答案）

北京市八一学校 2025 届高三年级数学摸底考试试卷
学校:___________姓名：___________班级：______考号：___________
注意：本试卷共 4 页，考试时长 120 分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题（(本大题共 10 小题，共 40 分）
1. 设集合 A ={x x≥3}， B ={x 1 x 4}，则B A=R （ ）
A. 1,3) B. ( ,4] C. [3, 4] D. [1,+ )
2+ i
2. 复数 z = (i是虚数单位 ) 在复平面上所对应的点位于 ( )
1 i
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知向量 a = (1,2)， b = (2,1) ，则 cos a,b 等于（ ）
1 1 4 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
4. 下列函数中，是奇函数且在 (0,+ )上为增函数的是（ ）
1 3
A. f (x) = B. f (x) = x C. f (x) =| x | D. f (x) = x +1
x
5. 已知抛物线 2 = 2 上一点 ( , 1)到其焦点的距离为 3，则 = ( )
A. 2 B. 2 C. 4 D. ±4
6. 已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且a1 = 10,an+1 = an + 3(n
*
N )，则 Sn 取最
小值时，n 的值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
y = kx +1 2 27. 直线 被圆 x + y = 2截得的弦长为2，则 k 的值为（ ）
2 1
A. B. C. 1 D. 0
2 2
8. 设 a,b是两个向量，则“ a + b a b ”是“ a b 0 ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
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( ), ≥ 0
9. 设函数 ( ) = { ，若函数 ( ) = ( ) 恰有两个零点，则
2 2 4, < 0
实数 a 的取值范围为( )
A. (0,2] B. (0,2) C. (2, +∞) D. [2, +∞)
10. 如图，在棱长为 4 的正方体 ABCD A B C D

中，E，F 分别是 AD， A D 的中点，长为 2 的
线段 MN 的一个端点 M在线段 EF 上运动，另一
个端点 N 在底面 A B C D 上运动，则线段 MN
的中点 P 的轨迹 ( 曲面 与正方体 ( 各个面 所
围成的几何体的体积为
4 2
A. B. C. D.
3 3 6 3
第二部分（非选择题共 110 分）
二、填空题（本大题共 5 小题，共 25 分）
11. (2 1)6的展开式中 2的系数为______(用具体数字作答)．
1
1
12. 设 a = ( )2 ，b = ln π， c = log9 3，则 a,b,c 的从小到大的顺序为 ．
2
13. 设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为 0.15，第二车间的
次品率为 0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第 1,2 车间生产的成
品比例为 2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率为
________。
x2 y2 π
14. 已知双曲线C : = 1的一条渐近线 l 的倾斜角为 ，则C 的离心率为
a2 b2 3
______;若C 的一个焦点到 l 的距离为2 ,则C 的方程为________.
1
15. 已知数列{a 2a = a + (n N )n}满足 a1 = t 0， n+1 n ，则下列关于{an}的命题an
中，判断正确的命题的序号是______________________.
① t 0， n 2 ， an 1
② t 0 ， n N ， an a n+1
③ t ( 1,0) ， n N * ， an an 1
④ t 0， m N * ， an+m = an
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三、解答题（本大题共 6 小题，共 85 分）
16. （本小题共 13 分）
设函数 f (x)=m n，其中向量m=(2cos x,1)， n=(cos x, 3 sin 2x).
（Ⅰ）求函数 f (x) 的最小正周期与单调递减区间；
（Ⅱ）在 ABC中，a、b、c分别是角 A、B、C 的对边，已知 f (A)=2，b=1，
3
ABC 的面积为 ，判断 ABC 的形状，并说明理由.
2
17. （本小题共 14 分） P
在四棱锥 P ABCD中， PA ⊥平面 ABCD，
底面 ABCD是正方形，且 PA = AD = 2，
F
E , F 分别是棱 AD , PC 的中点．
A E
（Ⅰ）求证： EF∥平面 PAB ； D
（Ⅱ）求二面角 E PC D的大小． B C
18. （本小题共 13 分）
2020 年 1 月 10 日，引发新冠肺炎疫情的COVID 9病毒基因序列公布后，科学
家们便开始了病毒疫苗的研究过程．但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流
程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验．已知一个科研团队用
小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体．试验设计是：每天接种一
1
次，3 天为一个接种周期．已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为 ，假设每
2
次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关．
（Ⅰ）求一个接种周期内出现抗体次数 k的分布列；
（Ⅱ）已知每天接种一次花费 100 元，现有以下两种试验方案：
①若在一个接种周期内连续 2 次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周
期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为 X 元；
②若在一个接种周期内出现 2 次或 3 次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验
至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为 Y 元．
本着节约成本的原则，选择哪种实验方案．
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19. （本小题共 15 分）
已知函数 f (x) = (x2 ax a)ex + 2a， a R ．
（Ⅰ）若 f (x) 在 x = 0 处取得极值，求 f (x) 的单调区间；
（Ⅱ）若关于 x 的不等式 f (x) 0 在 (0,+ )上恒成立，求 a的取值范围.
20. （本小题共 15 分）
x2 y2 3
已知椭圆C : + =1(a b 0) 的离心率为 ，长轴的一个顶点为 A，短轴的
a2 b2 2
一个顶点为 B ，O为坐标原点，且 S OAB = 5 .
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）直线 l : y = x + m 与椭圆C 交于 P ，Q两点，且直线 l 不经过点M (4,1) .记直
线MP，MQ 的斜率分别为 k ， k ，问： k + k 是否为定值，并说明理由． 1 2 1 2
21. （本小题共 15 分）
给定无穷数列{ }，若无穷数列{ }满足：对任意 ∈
，都有| | ≤ 1，则
称{ }与{ }“接近”．
1
（Ⅰ）设{ }是首项为 1，公比为 的等比数列， = +1 + 1， ∈ ，判断数列2
{ }是否与{ }接近，并说明理由；
（Ⅱ）设数列{ }的前四项为： 1 = 1， 2 = 2， 3 = 4， 4 = 8，{ }是一个与
{ }接近的数列，记集合 = { | = , = 1,2，3，4}，求 M中元素的个数 m；
（III）已知{ }是公差为 d的等差数列，若存在数列{ }满足：{ }与{ }接近，
且在 2 1， 3 2，…， 201 200中至少有 100 个为正数，求 d 的取值范围．
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北京市八一学校 2025 届高三年级数学摸底考试试卷答案
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题（(本大题共 10 小题，共 40 分)）
1、A 2、A 3、C 4、A 5、C 6、B 7、D 8、C 9、B 10、D
第二部分（非选择题共 110 分）
二、填空题（本大题共 5 小题，共 25 分）
3x2 y2
11、60; 12、cab; 13、 0.868 14、2， =1 15、②④
4 4
三、解答题（本大题共 6 小题，共 85 分）
16. （共 13 分）
解： (1) 由题意得 f (x) = 2cos
2x + 3 sin 2x …………1分
= cos2x+ 3sin2x+1 …………2分

= 2sin(2x + ) +1， …………3分
6
所以，函数 f (x) 的最小正周期为T = ， …………4分
3
由 + 2k 2x + + 2k ,k Z 得 …………5分
2 6 2
2
函数 f (x) 的单调递减区间是[ + k , + k ],k Z; …………6分
6 3
(2) f (A) = 2 ，

2sin(2A+ ) +1= 2 ，解得 A = ，（A为内角） …………8分
6 3
3
又 ABC的面积为 ,b =1，
2
1 3
得 bcsin A = c = 2. …………10分
2 2
再由余弦定理 a2 =b2 + c2 2bccos A，解得 a = 3， …………12分
c2 = a2 +b2 ，即 ABC 为直角三角形。 …………13分
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17.（共 14 分）
解：（Ⅰ） 取 PB中点G ，连接 AG ， FG ．
1
又因为 F 是棱 PC 的中点，所以 FG∥BC 且 FG = BC ． ……1 分
2
因为 ABCD是正方形，且 E 是棱 AD 的中点，
1
所以 AE∥BC 且 AE = BC ．所以 AE∥FG且 AE = FG．
2
所以 AEFG 为平行四边形．所以 EF∥ AG ． …………2 分
又因为 EF 平面 PAB ， AG 平面 PAB ，…………4 分
所以 EF∥平面 PAB ． …………5 分
（Ⅱ）因为 PA ⊥平面 ABCD， AB, AD 平面 ABCD， ABCD是正方形
所以 PA ⊥ AB， PA ⊥ AD ， AB ⊥ AD ．
以 A为原点，以 AB, AD, AP 为 x轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系…2 分
z
则 A(0,0,0) ， B(2,0,0) ，C(2,2,0) ，
P
D(0,2,0)， P(0,0,2) ， E(0,1,0)， F (1,1,1)．
所以CD = ( 2,0,0) ， PD = (0,2, 2) ，
O (A)
E D
y
CE = ( 2, 1,0) ， PC = (2,2, 2) ．
B
C
x
设平面 PCD的法向量为 n = (x ，y ，z)，
CD n = 0， 2x = 0,
则 即
PD n = 0， 2y 2z = 0.
令 y =1，则 x = 0 ， z =1．所以 n = (0 ，1 ，1)． …………2 分
设平面 PCE 的法向量为m = (x1 ，y1 ，z1) ，
CE m = 0， 2x1 y1 = 0,
则 即
PC m = 0， 2x1 + 2y1 2z1 = 0.
令 x1 =1，则 y1 = 2， z = 1
所以m = (1, 2, 1)． …………3 分
n m 3 3
cos n,m = = = ．…………7 分
| n | | m | 2 6 2
由题意知二面角 E PC D为锐角，
所以二面角 E PC D的大小为 π．…………9 分
6
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18. （共 13 分）
1
解： (1)由题意可知，随机变量 k服从二项分布B 3, ，
2
k 3 k
k 1 1 故 P(k) =C3 (k = 0,1,2,3). …………4 分
2 2
则 k的分布列为
k 0 1 2 3
1 3 3 1
P
8 8 8 8
…………5 分
(2)①设一个接种周期的接种费用为 元，则 可能的取值为 200，300，
1 3
因为P( = 200) = ， P( = 300) = ，
4 4
1 3
所以E( ) = 200 +300 = 275.
4 4
所以三个接种周期的平均花费为E(X ) =3E( ) =3 275=825.
…………9 分
②随机变量 Y可能的取值为 300，600，900，
3 1 1
设事件 A 为“在一个接种周期内出现 2 次或 3 次抗体”，由 (1)知，P(A) = + = .
8 8 2
1
所以P(Y = 300) = P(A) = ，
2
1
P(Y = 600) = [1 P(A)] P(A) = ，
4
1
P(Y = 900) = [1 P(A)] [1 P(A)] 1= ，
4
1 1 1
所以E(Y ) = 300 +600 +900 = 525. …………13 分
2 4 4
E(X ) E(Y)，所以选择方案二.
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19. （共 15 分）
解：（Ⅰ） 因为 f (x) = (2x a)ex + (x2 ax a)ex = [x2 + (2 a)x 2a]ex ，
且 f (x) 在 x = 0 处取得极值，
所以 f (0)=0 ，…………1 分
即 2a = 0．
所以 a = 0．…………2 分
经检验 a = 0符合题意．…………3 分
所以 f (x) = (x2 + 2x)ex ．…………4 分
故 f (x) 的减区间为 ( 2,0) ，增区间为 ( ， 2)， (0，+ )． ………7 分
（Ⅱ） f (x) = [x2 + (2 a)x 2a]ex =(x+2)(x a)ex ，…………1 分
令 f (x) = 0，由于 x 0，所以 x = a．…………2 分
①当 a = 0时，由第一问的结论可知，适合题意．…………3 分
②当 a 0 时， 因为 f (0) = a 0，
f (1) = (1 2a)e + 2a 1 2a + 2a =1 0 ，
所以存在 x0 (0,1)，使 f (x0) = 0，
所以 a 0 不符合题意．…………5 分
③当 a 0时， f (x) 与 f (x)在区间 (0，+ )上的情况如下：
x (0，a) a (a，+ )
f (x) 0 +
f (x) 减区间 极小值 增区间
所以 f (x) 在 (0,a)上单调递减，在 (a，+ ) 上单调递增．
所以当 x (0，+ ) 时， f (x) = f (a) = aeamin + 2a = a(2 e
a )．
a 0,
由题意得
a(2 e
a ) 0.
解得 0 a ln 2．…………7 分
综上所述， a的取值范围是[0, ln 2) ．…………8 分
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20. （共 15 分）
c 3 1
解：（Ⅰ） 由题意得 = ， ab = 5，又 a2 = b2 + c2 ，…………2 分
a 2 2
解得 a = 2 5,b = 5 ． …………4 分
x2 y2
所以椭圆C 的标准方程为 + =1．…………5 分
20 5
（Ⅱ）因为直线 l 不经过点M (4,1) ，所以m 3．
y = x + m,

由 2x2 y2 得5x + 8mx + 4m2 20 = 0 ．…………2 分
+ =1
20 5
所以 =64m2 80(m2 5) 0 ，即 5 m 5．
设 P(x1, y1) ，Q(x2 , y2 ) ，
8m 4m2 20
所以 x1 + x2 = ， x1x2 = ． …………5 分
5 5
y1 1 y2 1 x1 + m 1 x2 + m 1
因为 k1+k2 = + = +
x1 4 x2 4 x1 4 x2 4
(x1 + m 1)(x2 4) + (x2 + m 1)(x1 4)
=
(x1 4)(x2 4)
x1x2 4x1 + (m 1)x2 4(m 1) + x1x2 4x2 + (m 1)x1 4(m 1)
=
(x1 4)(x2 4)
2x1x2 + (m 5)(x1 + x2 ) 8(m 1)
=
(x1 4)(x2 4)
8m2 40 8m2 40m 40m 40

= 5 5 5 = 0
(x1 4)(x2 4) ．…………9 分
因为 5 m 5，且m 3，
所以 (x1 4)(x2 4) 0，
所以 k1 + k2 = 0是定值．…………10 分
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21（共 15 分）
解：（Ⅰ）数列{bn}与{an}接近．
理由：{an}是首项为 1，公比为 的等比数列，
可得 an= ，bn=an+1+1= +1，
则|bn-an|=| +1- |=1- ＜1，n∈N*，
可得数列{bn}与{an}接近；…………4 分
（II）{bn}是一个与{an}接近的数列，
可得 an-1≤bn≤an+1，
数列{an}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，
可得 b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，
可能有① ，② ,③
，
M 中元素的个数 m=3 或 4；…………5 分
（III）{an}是公差为 d 的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，
可得 an=a1+（n-1）d，
①若 d＞0，取 bn=an，可得 bn+1-bn=an+1-an=d＞0，
则 b2-b1，b3-b2，…，b201-b200 中有 200 个正数，符合题意；
②若 d=0，取 bn=a1- ，则|bn-an|=|a1- -a1|= ＜1，n∈N*，
可得 bn+1-bn= - ＞0，
则 b2-b1，b3-b2，…，b201-b200 中有 200 个正数，符合题意；
③若-2＜d＜0，可令 b2n-1=a2n-1-1，b2n=a2n+1，
则 b2n-b2n-1=a2n+1-（a2n-1-1）=2+d＞0，
则 b2-b1，b3-b2，…，b201-b200 中恰有 100 个正数，符合题意；
④若 d≤-2，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，
即为 an-1≤bn≤an+1，an+1-1≤bn+1≤an+1+1，
可得 bn+1-bn≤an+1+1-（an-1）=2+d≤0，
b2-b1，b3-b2，…，b201-b200中无正数，不符合题意．
综上可得，d 的范围是（-2，+∞）．…………6 分
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