北京市八一学校2025届高三年级数学摸底考试试卷(PDF版,含答案)

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名称 北京市八一学校2025届高三年级数学摸底考试试卷(PDF版,含答案)
格式 pdf
文件大小 972.8KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2024-09-07 15:26:45

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文档简介

北京市八一学校 2025 届高三年级数学摸底考试试卷
学校:___________姓名:___________班级:______考号:___________
注意:本试卷共 4 页,考试时长 120 分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上
作答无效。
第一部分(选择题共 40 分)
一、选择题((本大题共 10 小题,共 40 分)
1. 设集合 A ={x x≥3}, B ={x 1 x 4},则B A=R ( )
A. 1,3) B. ( ,4] C. [3, 4] D. [1,+ )
2+ i
2. 复数 z = (i是虚数单位 ) 在复平面上所对应的点位于 ( )
1 i
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知向量 a = (1,2), b = (2,1) ,则 cos a,b 等于( )
1 1 4 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
4. 下列函数中,是奇函数且在 (0,+ )上为增函数的是( )
1 3
A. f (x) = B. f (x) = x C. f (x) =| x | D. f (x) = x +1
x
5. 已知抛物线 2 = 2 上一点 ( , 1)到其焦点的距离为 3,则 = ( )
A. 2 B. 2 C. 4 D. ±4
6. 已知数列 an 的前 n项和为 Sn ,且a1 = 10,an+1 = an + 3(n
*
N ),则 Sn 取最
小值时,n 的值是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
y = kx +1 2 27. 直线 被圆 x + y = 2截得的弦长为2,则 k 的值为( )
2 1
A. B. C. 1 D. 0
2 2
8. 设 a,b是两个向量,则“ a + b a b ”是“ a b 0 ”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
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( ), ≥ 0
9. 设函数 ( ) = { ,若函数 ( ) = ( ) 恰有两个零点,则
2 2 4, < 0
实数 a 的取值范围为( )
A. (0,2] B. (0,2) C. (2, +∞) D. [2, +∞)
10. 如图,在棱长为 4 的正方体 ABCD A B C D

中,E,F 分别是 AD, A D 的中点,长为 2 的
线段 MN 的一个端点 M在线段 EF 上运动,另一
个端点 N 在底面 A B C D 上运动,则线段 MN
的中点 P 的轨迹 ( 曲面 与正方体 ( 各个面 所
围成的几何体的体积为
4 2
A. B. C. D.
3 3 6 3
第二部分(非选择题共 110 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,共 25 分)
11. (2 1)6的展开式中 2的系数为______(用具体数字作答).
1
1
12. 设 a = ( )2 ,b = ln π, c = log9 3,则 a,b,c 的从小到大的顺序为 .
2
13. 设某工厂有两个车间生产同型号家用电器,第一车间的次品率为 0.15,第二车间的
次品率为 0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库,假设第 1,2 车间生产的成
品比例为 2:3,今有一客户从成品仓库中随机提一台产品,求该产品合格的概率为
________。
x2 y2 π
14. 已知双曲线C : = 1的一条渐近线 l 的倾斜角为 ,则C 的离心率为
a2 b2 3
______;若C 的一个焦点到 l 的距离为2 ,则C 的方程为________.
1
15. 已知数列{a 2a = a + (n N )n}满足 a1 = t 0, n+1 n ,则下列关于{an}的命题an
中,判断正确的命题的序号是______________________.
① t 0, n 2 , an 1
② t 0 , n N , an a n+1
③ t ( 1,0) , n N * , an an 1
④ t 0, m N * , an+m = an
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三、解答题(本大题共 6 小题,共 85 分)
16. (本小题共 13 分)
设函数 f (x)=m n,其中向量m=(2cos x,1), n=(cos x, 3 sin 2x).
(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期与单调递减区间;
(Ⅱ)在 ABC中,a、b、c分别是角 A、B、C 的对边,已知 f (A)=2,b=1,
3
ABC 的面积为 ,判断 ABC 的形状,并说明理由.
2
17. (本小题共 14 分) P
在四棱锥 P ABCD中, PA ⊥平面 ABCD,
底面 ABCD是正方形,且 PA = AD = 2,
F
E , F 分别是棱 AD , PC 的中点.
A E
(Ⅰ)求证: EF∥平面 PAB ; D
(Ⅱ)求二面角 E PC D的大小. B C
18. (本小题共 13 分)
2020 年 1 月 10 日,引发新冠肺炎疫情的COVID 9病毒基因序列公布后,科学
家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流
程,不是一朝一夕能完成的,其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用
小白鼠做接种试验,检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是:每天接种一
1
次,3 天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为 ,假设每
2
次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关.
(Ⅰ)求一个接种周期内出现抗体次数 k的分布列;
(Ⅱ)已知每天接种一次花费 100 元,现有以下两种试验方案:
①若在一个接种周期内连续 2 次出现抗体即终止本周期试验,进行下一接种周
期,试验持续三个接种周期,设此种试验方式的花费为 X 元;
②若在一个接种周期内出现 2 次或 3 次抗体,该周期结束后终止试验,已知试验
至多持续三个接种周期,设此种试验方式的花费为 Y 元.
本着节约成本的原则,选择哪种实验方案.
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19. (本小题共 15 分)
已知函数 f (x) = (x2 ax a)ex + 2a, a R .
(Ⅰ)若 f (x) 在 x = 0 处取得极值,求 f (x) 的单调区间;
(Ⅱ)若关于 x 的不等式 f (x) 0 在 (0,+ )上恒成立,求 a的取值范围.
20. (本小题共 15 分)
x2 y2 3
已知椭圆C : + =1(a b 0) 的离心率为 ,长轴的一个顶点为 A,短轴的
a2 b2 2
一个顶点为 B ,O为坐标原点,且 S OAB = 5 .
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;
(Ⅱ)直线 l : y = x + m 与椭圆C 交于 P ,Q两点,且直线 l 不经过点M (4,1) .记直
线MP,MQ 的斜率分别为 k , k ,问: k + k 是否为定值,并说明理由. 1 2 1 2
21. (本小题共 15 分)
给定无穷数列{ },若无穷数列{ }满足:对任意 ∈
,都有| | ≤ 1,则
称{ }与{ }“接近”.
1
(Ⅰ)设{ }是首项为 1,公比为 的等比数列, = +1 + 1, ∈ ,判断数列2
{ }是否与{ }接近,并说明理由;
(Ⅱ)设数列{ }的前四项为: 1 = 1, 2 = 2, 3 = 4, 4 = 8,{ }是一个与
{ }接近的数列,记集合 = { | = , = 1,2,3,4},求 M中元素的个数 m;
(III)已知{ }是公差为 d的等差数列,若存在数列{ }满足:{ }与{ }接近,
且在 2 1, 3 2,…, 201 200中至少有 100 个为正数,求 d 的取值范围.
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北京市八一学校 2025 届高三年级数学摸底考试试卷答案
第一部分(选择题共 40 分)
一、选择题((本大题共 10 小题,共 40 分))
1、A 2、A 3、C 4、A 5、C 6、B 7、D 8、C 9、B 10、D
第二部分(非选择题共 110 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,共 25 分)
3x2 y2
11、60; 12、cab; 13、 0.868 14、2, =1 15、②④
4 4
三、解答题(本大题共 6 小题,共 85 分)
16. (共 13 分)
解: (1) 由题意得 f (x) = 2cos
2x + 3 sin 2x …………1分
= cos2x+ 3sin2x+1 …………2分

= 2sin(2x + ) +1, …………3分
6
所以,函数 f (x) 的最小正周期为T = , …………4分
3
由 + 2k 2x + + 2k ,k Z 得 …………5分
2 6 2
2
函数 f (x) 的单调递减区间是[ + k , + k ],k Z; …………6分
6 3
(2) f (A) = 2 ,

2sin(2A+ ) +1= 2 ,解得 A = ,(A为内角) …………8分
6 3
3
又 ABC的面积为 ,b =1,
2
1 3
得 bcsin A = c = 2. …………10分
2 2
再由余弦定理 a2 =b2 + c2 2bccos A,解得 a = 3, …………12分
c2 = a2 +b2 ,即 ABC 为直角三角形。 …………13分
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17.(共 14 分)
解:(Ⅰ) 取 PB中点G ,连接 AG , FG .
1
又因为 F 是棱 PC 的中点,所以 FG∥BC 且 FG = BC . ……1 分
2
因为 ABCD是正方形,且 E 是棱 AD 的中点,
1
所以 AE∥BC 且 AE = BC .所以 AE∥FG且 AE = FG.
2
所以 AEFG 为平行四边形.所以 EF∥ AG . …………2 分
又因为 EF 平面 PAB , AG 平面 PAB ,…………4 分
所以 EF∥平面 PAB . …………5 分
(Ⅱ)因为 PA ⊥平面 ABCD, AB, AD 平面 ABCD, ABCD是正方形
所以 PA ⊥ AB, PA ⊥ AD , AB ⊥ AD .
以 A为原点,以 AB, AD, AP 为 x轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系…2 分
z
则 A(0,0,0) , B(2,0,0) ,C(2,2,0) ,
P
D(0,2,0), P(0,0,2) , E(0,1,0), F (1,1,1).
所以CD = ( 2,0,0) , PD = (0,2, 2) ,
O (A)
E D
y
CE = ( 2, 1,0) , PC = (2,2, 2) .
B
C
x
设平面 PCD的法向量为 n = (x ,y ,z),
CD n = 0, 2x = 0,
则 即
PD n = 0, 2y 2z = 0.
令 y =1,则 x = 0 , z =1.所以 n = (0 ,1 ,1). …………2 分
设平面 PCE 的法向量为m = (x1 ,y1 ,z1) ,
CE m = 0, 2x1 y1 = 0,
则 即
PC m = 0, 2x1 + 2y1 2z1 = 0.
令 x1 =1,则 y1 = 2, z = 1
所以m = (1, 2, 1). …………3 分
n m 3 3
cos n,m = = = .…………7 分
| n | | m | 2 6 2
由题意知二面角 E PC D为锐角,
所以二面角 E PC D的大小为 π.…………9 分
6
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18. (共 13 分)
1
解: (1)由题意可知,随机变量 k服从二项分布B 3, ,
2
k 3 k
k 1 1 故 P(k) =C3 (k = 0,1,2,3). …………4 分
2 2
则 k的分布列为
k 0 1 2 3
1 3 3 1
P
8 8 8 8
…………5 分
(2)①设一个接种周期的接种费用为 元,则 可能的取值为 200,300,
1 3
因为P( = 200) = , P( = 300) = ,
4 4
1 3
所以E( ) = 200 +300 = 275.
4 4
所以三个接种周期的平均花费为E(X ) =3E( ) =3 275=825.
…………9 分
②随机变量 Y可能的取值为 300,600,900,
3 1 1
设事件 A 为“在一个接种周期内出现 2 次或 3 次抗体”,由 (1)知,P(A) = + = .
8 8 2
1
所以P(Y = 300) = P(A) = ,
2
1
P(Y = 600) = [1 P(A)] P(A) = ,
4
1
P(Y = 900) = [1 P(A)] [1 P(A)] 1= ,
4
1 1 1
所以E(Y ) = 300 +600 +900 = 525. …………13 分
2 4 4
E(X ) E(Y),所以选择方案二.
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19. (共 15 分)
解:(Ⅰ) 因为 f (x) = (2x a)ex + (x2 ax a)ex = [x2 + (2 a)x 2a]ex ,
且 f (x) 在 x = 0 处取得极值,
所以 f (0)=0 ,…………1 分
即 2a = 0.
所以 a = 0.…………2 分
经检验 a = 0符合题意.…………3 分
所以 f (x) = (x2 + 2x)ex .…………4 分
故 f (x) 的减区间为 ( 2,0) ,增区间为 ( , 2), (0,+ ). ………7 分
(Ⅱ) f (x) = [x2 + (2 a)x 2a]ex =(x+2)(x a)ex ,…………1 分
令 f (x) = 0,由于 x 0,所以 x = a.…………2 分
①当 a = 0时,由第一问的结论可知,适合题意.…………3 分
②当 a 0 时, 因为 f (0) = a 0,
f (1) = (1 2a)e + 2a 1 2a + 2a =1 0 ,
所以存在 x0 (0,1),使 f (x0) = 0,
所以 a 0 不符合题意.…………5 分
③当 a 0时, f (x) 与 f (x)在区间 (0,+ )上的情况如下:
x (0,a) a (a,+ )
f (x) 0 +
f (x) 减区间 极小值 增区间
所以 f (x) 在 (0,a)上单调递减,在 (a,+ ) 上单调递增.
所以当 x (0,+ ) 时, f (x) = f (a) = aeamin + 2a = a(2 e
a ).
a 0,
由题意得
a(2 e
a ) 0.
解得 0 a ln 2.…………7 分
综上所述, a的取值范围是[0, ln 2) .…………8 分
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20. (共 15 分)
c 3 1
解:(Ⅰ) 由题意得 = , ab = 5,又 a2 = b2 + c2 ,…………2 分
a 2 2
解得 a = 2 5,b = 5 . …………4 分
x2 y2
所以椭圆C 的标准方程为 + =1.…………5 分
20 5
(Ⅱ)因为直线 l 不经过点M (4,1) ,所以m 3.
y = x + m,

由 2x2 y2 得5x + 8mx + 4m2 20 = 0 .…………2 分
+ =1
20 5
所以 =64m2 80(m2 5) 0 ,即 5 m 5.
设 P(x1, y1) ,Q(x2 , y2 ) ,
8m 4m2 20
所以 x1 + x2 = , x1x2 = . …………5 分
5 5
y1 1 y2 1 x1 + m 1 x2 + m 1
因为 k1+k2 = + = +
x1 4 x2 4 x1 4 x2 4
(x1 + m 1)(x2 4) + (x2 + m 1)(x1 4)
=
(x1 4)(x2 4)
x1x2 4x1 + (m 1)x2 4(m 1) + x1x2 4x2 + (m 1)x1 4(m 1)
=
(x1 4)(x2 4)
2x1x2 + (m 5)(x1 + x2 ) 8(m 1)
=
(x1 4)(x2 4)
8m2 40 8m2 40m 40m 40

= 5 5 5 = 0
(x1 4)(x2 4) .…………9 分
因为 5 m 5,且m 3,
所以 (x1 4)(x2 4) 0,
所以 k1 + k2 = 0是定值.…………10 分
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21(共 15 分)
解:(Ⅰ)数列{bn}与{an}接近.
理由:{an}是首项为 1,公比为 的等比数列,
可得 an= ,bn=an+1+1= +1,
则|bn-an|=| +1- |=1- <1,n∈N*,
可得数列{bn}与{an}接近;…………4 分
(II){bn}是一个与{an}接近的数列,
可得 an-1≤bn≤an+1,
数列{an}的前四项为:a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,
可得 b1∈[0,2],b2∈[1,3],b3∈[3,5],b4∈[7,9],
可能有① ,② ,③

M 中元素的个数 m=3 或 4;…………5 分
(III){an}是公差为 d 的等差数列,若存在数列{bn}满足:{bn}与{an}接近,
可得 an=a1+(n-1)d,
①若 d>0,取 bn=an,可得 bn+1-bn=an+1-an=d>0,
则 b2-b1,b3-b2,…,b201-b200 中有 200 个正数,符合题意;
②若 d=0,取 bn=a1- ,则|bn-an|=|a1- -a1|= <1,n∈N*,
可得 bn+1-bn= - >0,
则 b2-b1,b3-b2,…,b201-b200 中有 200 个正数,符合题意;
③若-2<d<0,可令 b2n-1=a2n-1-1,b2n=a2n+1,
则 b2n-b2n-1=a2n+1-(a2n-1-1)=2+d>0,
则 b2-b1,b3-b2,…,b201-b200 中恰有 100 个正数,符合题意;
④若 d≤-2,若存在数列{bn}满足:{bn}与{an}接近,
即为 an-1≤bn≤an+1,an+1-1≤bn+1≤an+1+1,
可得 bn+1-bn≤an+1+1-(an-1)=2+d≤0,
b2-b1,b3-b2,…,b201-b200中无正数,不符合题意.
综上可得,d 的范围是(-2,+∞).…………6 分
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