2024-2025学年黑龙江省龙东十校高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省龙东十校高二（上）开学
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量，且，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.若向量，且，则( )
A. B. C. D.
4.某校为了了解学生的体能情况，于月中旬在全校进行体能测试，统计得到所有学生的体能测试成绩均在内现将所有学生的体能测试成绩按，，分成三组，绘制成如图所示的频率分布直方图若根据体能测试成绩采用按比例分层随机抽样的方法抽取名学生作为某项活动的志愿者，则体能测试成绩在内的被抽取的学生人数为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知，是两个不同的平面，，是内两条不同的直线，则“，且”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知圆台的上底面半径为，下底面半径为，侧面积为，则该圆台的体积( )
A. B. C. D.
7.图，在九面体中，平面平面，平面平面，，底面为正六边形，下列结论错误的是( )
A. 平面
B. 平面
C. 平面平面
D. 平面平面
8.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，平面与直线交于点，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知甲组数据为，，，乙组数据为，，，将甲、乙两组数据混合后得到丙组数据，则( )
A. 丙组数据的中位数为 B. 甲组数据的分位数是
C. 甲组数据的方差等于乙组数据的方差 D. 甲组数据的平均数小于乙组数据的平均数
10.记的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，则的周长可能为( )
A. B. C. D.
11.已知边长为的正三角形的三个顶点都在球的表面上，为球表面上一动点，且不在平面上，当三棱锥的体积最大时，直线与平面所成角的正切值为，则下列结论正确的是( )
A. 球的表面积为
B. 的最大值为
C. 三棱锥体积的最大值为
D. 当三棱锥的体积最大时，若点与点关于点对称，则三棱锥的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量，若共面，则 ______．
13.已知数据，，，，，的极差为，且分位数为，则 ___．
14.如图，平行六面体的所有棱长均为，，，两两所成夹
角均为，点，分别在棱，上，且，，则 ___；
直线与所成角的余弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
月日，第届中国一南亚博览会暨第届中国昆明进出口商品交易会在昆明滇池国际会展中心隆重开幕本届南博会以“团结协作、共谋发展”为主题，会期从日至日，共设个展馆，展览面积万平方米，吸引个国家、地区和国际组织参会，多家企业进馆参展某机构邀请了进馆参展的家企业对此次展览进行评分，分值均在内，并将部分数据整理如下表：
分数
频数
估计这家企业评分的中位数保留小数点后一位；
估计这家企业评分的平均数与方差同一组中的数据用该组区间的中点值作代表．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，已知．
求；
若，在边上存在一点，使得，求的长．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，为的中点，平面平面，是等腰直角三角形，．
证明：；
求二面角的正弦值．
18.本小题分
如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以海里时的速度从处向南偏西的方向行驶甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以海里时的速度与货船在处会合．
求的长；
试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？
19.本小题分
将菱形绕直线旋转到的位置，使得二面角的大小为，连接，，得到几何体已知分别为，上的动点且．
证明：平面；
求的长；
当的长度最小时，求直线到平面的距离．
参考答案
1.
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8.
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13.
14.
15.解：由题意得这家企业评分在内的频数为，
设这家企业评分的中位数的估计值为，
因为评分在内的频数之和为，
评分在内的频数之和为，
所以，
由，
得；
这家企业评分的平均数的估计值为，
这家企业评分的方差的估计值为：
．
16.解：由余弦定理得，
因为，所以．
因为，所以，解得，
因为，所以．
因为，所以．
设，在中，由正弦定理得，则，
，由，
解得或舍去，
故AD的长为．
17.解：证明：因为是等腰直角三角形，，为的中点，
所以，平面，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面．
因为平面，所以，又为的中点，
所以是等腰三角形，故．
在平面上，作，垂足为，连接，．
平面平面，平面平面，
又平面，所以平面．
由，又，则为等边三角形，
所以，，
所以，所以，
，，
所以，
在等腰直角中，，
所以≌，
故，即，
以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，
设平面的法向量为，
则，则
即取，
可得，
设平面的法向量为，
则，则
即
取，可得，
设二面角的大小为，
则，
故二面角的正弦值为．
18.解：由题意知，，海里，海里，
在中，由余弦定理得，，
所以海里．
在中，由余弦定理得，，
所以，
所以，
设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为小时，则海里，海里，
在中，由余弦定理知，，
所以，
整理得，解得或舍去，
故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为小时．
19.证明：在上取点，使得，连接，，
如图：
因为，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，所以，
又，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为且都在面内，所以平面平面，
因为平面，
所以平面；
解：取的中点，连接，，，
如图：
由题意可得，是边长为的正三角形，
则，
且，，所以为二面角的平面角，
即，则为正三角形，
所以；
解：取的中点，连接，
则，且，
由得，，，，平面，
所以 平面，因为平面，
所以，
又因为，，，平面，
所以平面，
以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，，，，
又，，
可得，
连接，则，
，
所以，
当时，取得最小值，且最小值为，则的最小值为，
此时，则，
设平面的法向量为，
则，即，
取，得，
因为平面，所以直线到平面的距离就是点到平面的距离，
，，
则点到平面的距离．
故直线到平面的距离为．
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