课件11张PPT。等腰三角形的性质 等腰三角形是有两边相等的三角形.另外一边叫作底边.两腰的夹角叫作顶角.腰和底边的夹角叫作底角.其中相等的两边都叫作腰.认识等腰三角形等腰三角形除了具有这些一般三角形的性质外，
还有哪些特殊的性质呢？提出问题 如图,把一张长方形纸片按图中的虚线对折, AC和AB有什么关系?这个三角形有什么特点?然后沿着虚线剪去一部分,再把它展开,得△ABC. 任意画一个等腰三角形ABC， 其中AB =AC， 如图, 作△ABC 关于顶角平分线AD 所在直线的轴
反射， 由于∠1 =∠2， AB=AC， 因此：射线AB的像是射线AC， 射线AC的像是射线 ；
线段AB的像是线段AC， 线段AC的像是线段 ；
点B的像是点C， 点C的像是点 ；
线段BC的像是线段CB.从而等腰△ABC关于直线 对称.ABABBAD由于点D 的像是点D, 因此线段DB 的像是线段 ， 从而AD 是底边BC上的 .
由于射线DB的像是射线DC, 射线DA的像
是射线 , 因此∠BDA=∠CDA= °,
从而AD是底边BC上的 .
由于射线BA 的像是射线CA , 射线BC 的
像是射线 ,因此∠B ∠C.DC中线DA90高CB= 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）在△ABC中， ∵ AC=AB（已知 ）
∴ ∠B=∠C（等边对等角）几何语言： 等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）．在△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上
1、∵AD ⊥ BC
∴∠ = ∠ ， = .
2、∵AD是中线，
∴ ⊥ ，∠ =∠ .
3、∵AD是角平分线，
∴ ⊥ ， = .几何语言：BAD CADBD CDBD CDBAD CADAD BCAD BC 在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ ABC各角的度数 . 解：∵在△ABC中，AB=AC∴∠ABC=∠ACB,∠A+∠ABC+∠ACB=180°∵在△ABD中，BD=AD∴∠ABD=∠A，∠BDC=∠A+∠ABD, 即∠BDC=2∠A ∵ 在△BDC中，BD=BC∴∠BDC=∠BCD, ∠A+2∠ACB=180°即 ∠A+4∠A=180°∴∠A=36°∠ABC=∠BCA=2∠A=72°如图（1）在等腰△ABC中，
AB =AC, ∠A = 36°,则∠B = ,∠C= .2、如图（3）在等腰△ABC中， AB=AC, ∠A = 120°则∠B = ，∠C= .72 °72 °65 °65 °30 °30 °变式练习：1、如图（2）在等腰△ABC中，AB=AC, ∠A = 50° ,
则∠B = ，∠C= .3、等腰△ABC中，有一个角是50°，
则其余两个角分别是 。65 °、65 °或50 °、80 ° 如图， △ABC 是等边三角形， 那么∠A， ∠B，∠C的大小之间有什么关系呢？因为△ABC 是等边三角形，
所以AB＝BC＝AC,
从而∠C ＝∠A＝∠B．
由三角形内角和定理可得：
∠A＝∠B＝∠C ＝ 60°．等边三角形的三个内角相等，且都等于60°. 由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且AD=AE. 求证：BD=CE.证明 作AF⊥BC，垂足为点F，则AF是等腰△ABC和等腰△ADE
底边上的高，也是底边上的中线.∴ BF=CF，∴ BF-DF=CF-EF，DF=EF，即 BD=CE. 如图的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅锤线上.（1）AD与BC是否垂直，试说明理由.（2）这时BC处于水平位置，为什么？1. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上
的高，∠BAC=49°，BC= 4，求∠BAD的度
数及DC的长.答：∠BAD=24.5°， DC=2.2. 如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一点，且∠APD= 80°，AD=AP，求∠DPC的度数.∠DPC =20°.3、已知房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC,屋檐AB=AC,求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数。1题2题3题∠B =∠C=40°.∠BAD=∠CAD=50° 本节课你学习了等腰三角形的哪些重要性质?等边对等角： 。三线合一： 。等腰三角形的三个特殊性质：对称性： 。等边三角形的性质： 。作业：P66 A 1、2、3、4 B 8课件11张PPT。等腰三角形的判定等腰三角形的性质有哪些？(1)从边看：等腰三角形两边相等（定义）；等腰三角形两底角相等（性质定理）；(2)从角看：(3)从重要线段看：等腰三角形底边上的高、底边上的中线与顶角的平分线互相重合（三线合一）；(4)从特殊图形看：等边三角形每个角都相等并且每个角都等于60°。(5)从对称性看：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线
所在的直线。等边三角形有三条对称轴。我测量后发现AB与AC相等.3cm3cm 我们知道，等腰三角形的两底角相等，
反过来，两个角相等的三角形是等腰三角形吗？ 如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？如何证明AB=AC？事实上，如图，在△ABC中，∠B=∠C. 沿过点A的直线把∠BAC对折，得∠BAC的平分线AD交BC于点D，则∠1=∠2.又∠B=∠C，由三角形内角和的性质得
∠ADB=∠ADC.沿AD所在直线折叠，由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，所以射线DB与射线DC重合，射线AB与射线AC重合.从而点B与点C重合，于是AB=AC.三个角都是60°的三角形是等边三角形.由此并且结合三角形内角和定理，还可以得到等边三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).举
例例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.
求证：△ADE为等腰三角形.证明 ∵AB=AC，∴ ∠B=∠C（等边对等角） ∵ DE∥BC，∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴ ∠ADE=∠AED.∴ △ADE为等腰三角形.（ 等角对等边 ） 1. 已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和
∠ACB的平分线相交于点O.
求证：△OBC为等腰三角形.∴ ∠ABD = ∠DBC = ，∵ △ABC是等腰三角形，∴ ∠DBC =∠ECB，∴ △OBC是等腰三角形. （ 等角对等边 ） ∴ ∠ABC =∠ACB （ 等边对等角 ） ∠ACE = ∠ECB = 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC.由三角形内角和定理得
∠A+∠B+∠C= 180°.如果顶角∠A=60°，则∠B+∠C= 180°- 60°=120°.又 AB=AC，∴ ∠B=∠C.∴∠B=∠C=∠A=60°.∴ △ABC是等边三角形.由此得到另一条等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 例2 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，
且AD=AE.
求证：△ADE是等边三角形.举
例证明 ∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠B=∠C= 60°.∵∠EAD=∠BAC= 60°，又 AD =AE，∴△ADE是等边三角形 （有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形 ）2. 已知：如图，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE
交BC的延长线于点E，且∠ACE= 60°.
求证：△ACE是等边三角形.∵∠ACE=60°，∴ ∠E=∠DCB=60°,∠EAC=∠ACD=60°，
∴ ∠ACD =∠DCB，∴ ∠ACD=∠DCB=60°，∵ AE∥DC，∴ ∠CAE = ∠ACE=∠E=60° ∴△ACE是等边三角形. （三个角都是60°
的三角形是等边三角形. ）3. 已知：如图，AB=BC ，∠CDE= 120°， DF∥BA,且DF平分∠CDE.
求证：△ABC是等边三角形.∴△ABC是等边三角形. （有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形 ）∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.∴ ∠FDC=∠ABC=60°，∴ △ABC是等腰三角形，∴ ∠EDF=∠FDC=60°，∵DF∥BA，1、这节课我们学习了什么？2、等腰三角形的判定定理和性质定理有何联系？作业：P66 A 5、6、7 B 9、10定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边）。
推论1：三个角相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形课件9张PPT。等腰三角形的性质与判定2.3.3 1. ____________的三角形叫等腰三角形.有两边相等2.如图△ABC 中，AB =AC，
则△ABC 是______三角形
腰是__________，
底边是________，
顶角是________，
底角是____________. AB 、ACB C∠A∠B 、∠C等腰2：等腰三角形的性质定理（1）对称性：等腰三角形是__________图形，
对称轴是_________________________.（3）等边对等角：等腰三角形的两底角______.或在一个三角形中相等的边所对的角_______（2）三线合一：等腰三角形______________、______________
及_____________互相重合.轴对称顶角平分线所在的直线.顶角平分线底边上的中线底边上的高相等相等 3.等腰三角形的判定方法（1）有两边相等的三角形是等腰三角形.
（1）有三边相等的三角形是等边三角形（2）有三个角都是60 °的三角形是等边三角形
（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形.等边三角形的判定方法
（3）有一个角都是60 °的等腰三角形是
等边三角形
1.等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为____________
2.等腰三角形一个角为50°,它的另外两个角为__________________
3.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为________________
4.等腰直角三角形的两个底角分别为__________ 75°, 30°65°,65°或50°,80° 35°, 35°自主练习交流5.已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A.12或9 B.12 C.9 D.7B 45°, 45°6.如图,在等边三角形ABC的AC边上取
中点D,连接BD，则∠ABD=_______30 ° 7、已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC。
求证：AB=AD 上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40o，∠NBC=80o，求从B处到灯塔C的距离．
8.已知：如图,在等边三角形ABC的AC边上取
中点D,BC的延长线上取一点E,使得CE=CD.
求证：BD=DE.证明：∵△ABC是等边三角形,D是AC中点 ∴∠ABC=∠ACB=60°,∠CBD=30° ∵CD=CE
∴∠E =∠CDE ∵∠BCD=∠E+∠CDE
=2∠E=60° ∴∠E = 30°=∠CBD
∴BD=DE9.如图,D是等边三角形ABC的AC边上的中
点,在BC的延长线上取一点E,如果DE=6，
∠DCB=2∠CDE，求BD的长.解 ∵△ABC是等边三角形, D是AC的中点∴∠ACB=∠ABC=60°, ∠CBD=30° ∵∠DCB=2∠CDE∴∠CDE=30°∵∠DCB=∠E+∠CDE =60°∴∠E=30° =∠CBD ∴BD=DE=6（等角对等边）
