课件13张PPT。命题与证明(一)前面我们学习了许多的概念，请举例说明： 如等腰三角形、等边三角形以及三角形的高线、中线、角平分线，一元一次方程，代数式，因式分解，轴对称图形等如： 不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形； 三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫作三角形的外角.分母含有未知数的方程叫分式方程。在同一平面内，没有公共点的两条直线
叫做两直线平行。还有很多，大家回顾一下这些概念。 像这样，对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义. 例如：“把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式”是“代数式”的定义. “同一平面内没有公共点的两条直线叫作平行线”是“平行线”的定义.说出下列概念的定义：
(1)方程； (2)代数式; (3)三角形角平分线我们把含有未知数的等式叫做方程.把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式.在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.注意：
定义必须能清楚地规定出概念最本质的特征. 在现实生活中，我们经常要对一件事情作出判断. 数学中同样有许多问题需要我们作出判断.下列叙述事情的语句中，哪些是对事情作出了判断？（1）三角形的内角和等于180°；
（2）如果| a | = 3，那么a = 3；
（3）1月份有31天；
（4）作一条线段等于已知线段；
（5）一个锐角与一个钝角互补吗？
（6）请把手机交出来！ 一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题. 例如，上述语句(1)(2)(3)都是命题；语句(4)(5)(6)没有对事情作出判断，就不是命题.命题与定义有什么区别？命题是一个陈述句，就是判断一件事情的句子。
而祈使句、疑问句，感叹句 均不是命题。
如：今天会下雨吗？
而定义仅对事物的 特征属性进行描述，是什么叫什么。（1）如果a = b且b = c，那么a = c；（4）如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角.它们的表述形式都是“如果……，
那么……”.(2).如果两个数互为相反数，那么它们的和是0.（3）两条直线被第三条直线所截，
如果同位角相等，那么这两条直线平行。 命题通常写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分就是条件，“那么”引出的部分就是结论.命题的表述形式有什么共同点？ 例如，对于上述命题（4）， “两个角的和等于90°”就是条件，“这两个角互为余角”就是结论. 有时为了叙述的简便，命题也可以省略关联词
“如果”、“那么”. 如：“对顶角相等”； “同角的余角相等”.（1）指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式：那么这个数是
偶数如果一个数能
被2整除那么这两个角是对顶角如果两个角有公共顶点那么它们的同位角相等如果两条直线平行那么这两条直线
平行如果两个同位角相等（2）上述命题③与④的条件与结论之间有什么联系？③两直线平行，同位角相等.
④同位角相等，两直线平行. 命题③与④的条件与结论互换了位置. 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题. 例如，上述命题③与④就是互逆命题. 从上我们可以看出，只要将一个命题的条件和结论互换，就可得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题.你还能举出其它的例子吗？1. 下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？（2）两点之间线段最短；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（3）任意一个三角形的三条中线都相交于一点吗？（1）如果x=3，求 的值；不是命题是命题不是命题是命题2. 将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.（1）两条直线相交，只有一个交点；如果两条直线相交，那么这两条直线只有一个交点.（2）个位数字是5的整数一定能被5整除；如果一个整数的个位数字是5，那么这个数一定能被5整除.（3）互为相反数的两个数之和等于0；如果两个数是互为相反数，那么这两个数之和等于0.（4）三角形的一个外角大于它的任何一个内角.如果某角是三角形的外角，那么这个角大于它的任何一个内角.3. 写出下列命题的逆命题：（1）若两数相等，则它们的绝对值也相等；（2）如果m是整数，那么它也是有理数；（3）两直线平行，内错角相等；（4）两边相等的三角形是等腰三角形.答：绝对值相等的两个数相等答：如果m是有理数，那么它也是整数答：内错角相等，两直线平行答：等腰三角形的两边相等4.在下列空格上填写适当的概念：（1）垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的 。
（2）在数轴上，表示一个实数的点与原点的
距离叫作这个实数的 .垂直平分线绝对值1.指出下列语句中，哪些是命题？哪些不是？
1)直线a⊥b;
2)同位角都相等吗？
3)如果∠1+∠2=90°,那么∠1与∠2互余；
4)“0”不能做分母；
5)如果邻补角相等，那么它们的公共边与另一边垂直.×√×√√再
练
习2.指出下列命题的题设、结论：
1)如果两直线相交，那么它们只有一个交点；
2)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；
3)如果∠1=∠2 , ∠2=∠3，那么∠1=∠3；
4)如果∠1+∠2=90°,那么∠1与∠2互余；
5)如果邻补角相等，那么它们的公共边与另一边垂直.3.把下列命题写成“如果······那么······”的形式，并指出哪是题设？哪是结论？
1)对顶角相等；
2)两直线平行，同位角相等；
3)和为0的两个数互为相反数；
4)若a∥b，b∥c，则a∥c；
5)等角的余角相等；
6)垂直于同一直线的两直线平行；1) 如果两个角是对顶角，
那么这两个角相等.2) 如果两条平行线被第三条直线所截，那么截得的同位角相等.3) 如果两个数的和为0，
那么这两个数互为相反数.4) 如果a∥b，b∥c,
那么a∥c.5) 如果两个角相等，
那么这两个角的余角也相等.6) 如果两条直线都垂直于同一直线，
那么这两条直线平行.4.叙述下列概念的定义：
（1）等腰三角形； （2）等边三角形.（1）什么是概念的定义?两个命题间的关系：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件那么这样两个命题叫互逆命题。其中一个叫另一个的逆命题。定义：叙述一件事情的句子（陈述句），如果要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命题.1、这节课我们学习了哪些内容？(2).关于命题：命题的形式:这些命题都是用“如果….那么….”的形式表达。命题的结构:“如果”引出的部分叫条件，“那么”引出的部分叫结论。2、你还有什么疑惑？作业：P58 A 1 、2课件17张PPT。命题与证明(三) 执教：潘市镇第一中学 尹玲bab判断一个命题是不是真命题需要讲道理，讲道理的过程叫证明。如何证明？从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个推理的过程叫作证明。怎样判断一个命题是不是真命题？如图，线段a、b一样长吗？图中两个正方形哪个大？ 观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段，而且人们可以从中猜测发现出一些结论.直观是重要的,但它有时也会骗人.通过观察,先猜想结论,再动手验证:1.如图,一组直线a,b,c,d是否都互相平行?a
b
c
da
b
c
d2.当n=0,1,2,3,4时,代数式n2-3n+7的值分别是 7,5,5,7,11,它们都是素数,那么,命题“对于自然数n,
代数式n2-3n+7的值都是素数”是真命题吗?
采用剪拼或度量的方法，
猜测“三角形的外角和” 等于多少度.
从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于360° ，但是剪拼时难以真正拼成一个周角， 只是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果可能接近360°，但不能很准确地都得360°． 另外，由于不同形状的三角形有无数个，我们也不可能用剪拼或度量的方法来一一验证，因此，我们只能猜测任何一个三角形的外角和都为360°．此时猜测出的命题仅仅是一种猜想， 未必都是真命题．要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明.证明命题“三角形的外角和为360°”是真命题. 已知： 如图∠BAF， ∠CBD和∠ACE分别是△ABC的三个外角.
求证︰∠BAF +∠CBD +∠ACE = 360°证明:∵∠BAF=∠2+∠3， ∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理)，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.经过刚才三站的“证明”之旅，你能说出完整的几何命题证明需要哪几个步骤吗？（1）根据题意，画出图形。（2）结合图形，写出已知求证（3）写出证明过程，并且步步有依据。依据(定义)(定理)(推论)(基本事实)（真命题）条件结论 数学上证明一个命题时，通常从命题的条件出发，
运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通
过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立. 证明的每一步都必须要有根据.推理 例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.求证：AE∥BC.举
例证明：∵∠DAC =∠B +∠C（三角形外角定理）， ∠B=∠C（已知），∴ ∠DAC=2∠B（等式的性质）.又∵AE平分∠DAC（已知），∴∠DAC=2∠DAE（角平分线的定义）∴∠DAE=∠B（等量代换）.∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）例2 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.证明 假设∠A，∠B，∠C 中没有一个角大于或等于60°即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，则∠A+∠B+∠C＜180°.这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不正确.因此，∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60°. 像这样，当直接证明一个命题为真有困难时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法. 反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.反证法的步骤：
假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确(1).证明命题：一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，则这两个角相等。已知：如图，AB∥A’B’,BC∥B’C’.求证：∠B= ∠B’ 证明：∵ AB∥A’B’ （ ） ∴ ∠ B’ = ∠α（ ） ∵ BC∥B’C’ （ ）∴ ∠ B = ∠α（ ）∴ ∠ B = ∠B’ ( )已 知两直线平行，同位角相等 已 知两直线平行，同位角相等 等量代换 1. 在括号内填上理由.(2).已知：如图，∠A+∠B= 180°.
求证：∠C+∠D= 180°.
证明：∵∠A+∠B= 180°（已知），
∴ AD∥BC（ ）.
∴ ∠C+∠D= 180°（ ）.同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同旁内角互补2. 已知：如图，直线AB，CD被直线MN所截，∠1=∠2.
求证：∠2=∠3，∠3+∠4=180°.证明： ∵ ∠1=∠2，∴ ∠2 =∠3（两直线平行,内错角相等）∠3+∠4=180°（两直线平行, 同旁内角互补）.∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）3. 已知：如图，AB与CD 相交于点E.
求证：∠A+∠C=∠B+∠D.证明： ∵ AB与CD 相交于点E ，∴ ∠AEC=∠BED （对顶角相等），又 ∠A+∠C +∠AEC =∠B+∠D +∠BED =180°
（三角形内角和等于180°），∴∠A+∠C=∠B+∠D.4.已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c.
求证：a//b证明：假设a与b不平行，
则可设它们相交于点A。那么过点A 就有两条直线a、b分别与直线c平行，
这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直
线平行”矛盾,故假设不成立。 ∴a//b.已知：如图，AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD，EG、FH分别是∠AEF和 ∠EFD的平分线；
求证：EG∥FH1)两条平行线的一对内错角的平分线互相平行.2)垂直于同一直线的两直线平行；3)内错角相等，两直线平行；巩固练习2、3题请画出图形，写出已知、求证。1、证明下述命题。2、如图，AB∥CD，MG、NH分别平分∠BMF和∠CNE，求证：MG∥NH3、如图，已知AB∥CD，∠C=∠D，求证∠AMB=∠ENF1.如图∠1=∠2，那么∠3+∠4= 。2、如图AB∥CD，∠1=115°，∠A=75°，则∠E= 。180°40°3、如图AB∥CD，AD⊥AC，∠ADC=32°，
则∠CAB= .4、如图AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，则∠C= .5、已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBD=37°，则∠BDE= .6、如图AD∥BC，∠EAD=50°，∠ACB=40°，则∠BAC= .122°20°63°90°证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：第一步第二步第三步画出图形写出已知、求证写出证明的过程思考:∠B=∠D成立，图中会有哪些 使得∠B=∠D成立的条件.作业：P59 A 6、7 B 8、9课件17张PPT。知识回顾1.对某一件事情作出_________的语句
（陈述句）叫作命题. 2.命题由________与________两部分组成.3.如果一个命题的条件和结论分别是另一
个命题的_______和_______，这样的两
个命题称为互逆命题.4.将一个命题的条件和结论_______，就
可得到它的逆命题，所以每个命题都有
____________.判断条件结论结论条件逆命题互换下列命题中，哪些正确，哪些错误？
并说一说你的理由.（5）每一个月都有31天.（4）如果a是有理数，那么a是整数.（6）同位角相等.（3）同角的补角相等.议一议（1）如果a是整数，那么a是有理数.（2）如果△ABC是等边三角形，那么△ABC
是等腰三角形.正确正确正确错误错误错误命题（1）（2）（3）称为真命题，命题（4）（5）（6）称为假命题.真命题与假命题 命题与证明
（2）一、命题的分类1.真命题：________的命题称为真命题.2.假命题：________的命题称为假命题.正确错误理解：真命题是指由条件得出结论正确的命题假命题是指由条件得出结论错误的命题交流：观察下列命题②如果a是有理数，那么a是整数.①如果a是整数，那么a是有理数.试问：
（1）命题①②是什么关系？
（2）命题①是什么命题？命题②是什么
命题？
（3）一个真命题的逆命题一定是真命题
吗？结论：一个真命题的逆命题不一定是
真命题证明：从命题的条件出发，通过讲道理（推
理），得出其结论成立，从而判断这
个命题为真命题，这个过程叫证明.观察：判断命题“同角的补角相等”是
真命题的过程：由于∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，
所以∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1.
因此∠2=∠3（等量代换）.
于是，我们得出：
同角（或等角）的补角相等.二、真命题与假命题的判断1.真命题的判断：证明要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子（反例），它符合命题的条件，但不满足命题
的结论，从而就可判断这个命题为假命题. 大家知道命题“如果a是有理数，那么a是整数”是一个假命题，那你是怎样判断这个命题是假
命题的呢？举反例2.假命题的判断：例如:a=0.1是有理数，但是0.1不是整数
所以这个命题是假命题.举反例1.判断下列命题为真命题的依据是什么？（1）如果a是整数，那么a是有理数；（2）如果△ABC是等边三角形，那么△ABC
是等腰三角形.说一说依据是有理数的定义依据是等腰（等边）三角形的定义2.判断下列命题为真命题的依据是什么？在同一平面内，如果直线a⊥l，b⊥l，
那么a∥b.依据是同位角相等，两直线平行从上可以看到，在判断一个命题是否为真命题时常常要利用一些概念的定义，但是光用定义只能判断一些很简单的命题是否为真.事实上，对于绝大多数命题的真假的判断，光
用定义是远远不够的.那么还要用到哪些依据呢？ 1.公理三、公理与定理如：两点确定一条直线；
两点之间线段最短；
同位角相等，两直线平行.古希腊数学家欧几里得（Euclid，约公元前
330—前275年）对他那个时代的数学知识作
了系统的总结，他挑选了一些人们在长期实
践中总结出来的公认的真命题作为证明的原
始依据，称这些真命题为公理.（基本事实）人们可以用定义和基本事实作为推理
的出发点，去判断其他命题的真假.基本事实
同位角相等，
两直线平行.（1）内错角相等，
两直线平行.
（2)同旁内角互补，
两直线平行. 例如在七年级下册，我们从基本事实出发证明了一些有关平行线的结论. (1)经过证明为真的命题叫作定理. 如“三角形的内角和等于180°”称为“三角形内角和定理”.2.定理 定理也是作为判断其他命题真假的依据，由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.如“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个
内角的和”
称为“三角形内角和定理的推论”，
也可称为“三角形外角定理”. “内错角相等，两直线平行”是平行线的判定定理（1）定理：两条直线被第三条直线所截，如果
内错角相等，那么这两直线平行说一说：指出下列定理的逆命题，并判断
逆命题的真假（2）定理：对顶角相等逆命题：逆命题：两条直线被第三条直线所截，如果这两直线平
行 那么内错角相等.如果两个角相等， 那么这两个角是对顶角.真假→逆定理没有逆定理如果一个定理的逆命题也是真命题，那么
就叫它是原定理的逆定理.判断：
每个定理都有逆命题，每个定理都有逆定理，对吗？由上得到：逆定理两个定理叫作互逆定理.错1. 下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命
题？请说说你的理由.（1）绝对值最小的数是0；答：真命题（2）相等的角是对顶角；（3）一个角的补角大于这个角；（4）在同一平面内，如果直线a⊥l，
b⊥l，那么a∥b.答：假命题答：假命题答：真命题自主练习交流2. 举反例说明下列命题是假命题：（1）两个锐角的和是钝角；（2）如果数a，b的积ab＞0，那么a，b都是
正数；（3）两条直线被第三条直线所截同位角相等.3. 试写出两个命题，要求它们不仅是互逆命题，
而且都是真命题.例 下列四个命题中是真命题的有（ ）.
①同位角相等；②相等的角是对顶角；③直角三角形两锐角互余；④三个内角相等的三角形是等边三角形.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个C
