第一章三角形的证明 1.3 线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的的性质与判定课件( 共42张PPT） 2023-2024学年北师大版八年级数学下册

(共42张PPT)
1.3 线段的垂直平分线
第一章 三角形的证明
第1课时 线段的垂直平分线
问题引入
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A、B、C 之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
A
B
C
观察： 已知点 A 与点 A′ 关于直线 l 对称，如果线段 AA′ 沿直线 l 折叠，则点 A 与点 A′ 重合，AD = A′D，∠1 =∠2 = 90°，即直线 l 既平分线段 AA′，又垂直于线段 AA′.
●
●
l
A
A′
D
2
1
(A)
线段垂直平分线的性质
我们把垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.
由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
知识要点
新课导入
作线段 AB 的中垂线 MN，垂足为 C；在 MN上任取一点 P，连结 PA、PB；
量一量 PA、PB 的长，你能发现什么？
A
B
M
N
C
P
如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，… 是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么？请猜想点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系．
A
B
l
P1
P2
P3
探究发现
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
将△ABC 沿直线 l 对折，由于 l 是线段 AB 的垂直平分线，因此点 A 与点 B 重合. 从而线段 PA 与线段 PB 重合，于是 PA = PB.
(A)
(B)
B
A
P
l
活动探究
猜想：
点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离分别相等．
命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
由此你能得到什么结论？
你能证明这一结论吗？
如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = CB，点 P 在 l 上.
求证：PA = PB．
证明：∵ l⊥AB，
∴∠PCA =∠PCB．
又 AC = CB，PC = PC，
∴△PCA≌△PCB (SAS)．
∴ PA = PB．
P
A
B
l
C
验证结论
微课——证明线段垂直平分线的性质
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线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理：
总结归纳
判断：如图直线 MN 垂直平分线段 AB ，则 AE = AF.（ ）
练习
A
B
M
N
F
E
×
例1 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　)
A．5 cm
B．10 cm
C．15 cm
D．17.5 cm
典例精析
C
解析：∵△DBC 的周长为 BC＋BD＋CD＝35 cm，又 DE 垂直平分 AB，
∴ AD＝BD，故 BC＋AD＋CD＝35 cm.
∵ AC＝AD＋DC＝20 cm，
∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
练一练：1. 如图①所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2. 如图②所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 .
B
10 cm
P
A
B
C
D
图①
A
B
C
D
E
图②
想一想
你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
逆
命
题
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
它是真命题吗？你能证明吗？
线段垂直平分线的判定
想一想：如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
记得要分点 P 在线段 AB 上及线段 AB 外两种情况来讨论
① 当点 P 在线段 AB 上时，
∵ PA = PB，
∴ 点 P 为线段 AB 的中点，
显然此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上；
② 当点 P 在线段 AB 外时，如右图所示.
∵ PA = PB，
∴△PAB 是等腰三角形.
过顶点 P 作 PC⊥AB，垂足为点 C.
∴ 底边 AB 上的高 PC 也是底边 AB 上的中线.
即 PC⊥AB，且 AC = BC.（三线合一）
∴ 直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线，
此时点 P 也在线段 AB 的垂直平分线上.
定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
已知：线段 AB，点 P 是平面内一点且 PA = PB．求证：P 点在 AB 的垂直平分线上．
A
B
C
P
证明一：过点 P 作已知线段 AB 的垂线 PC，
PA = PB， PC = PC，
∴Rt△PAC ≌Rt△PBC（HL）．
∴AC = BC，
即 P 点在 AB 的垂直平分线上．
A
B
C
P
证法二：取 AB 的中点 C，过 P，C 作直线.
∵AP = BP，PC = PC. AC = CB，
∴△APC ≌△BPC（SSS）.
∴∠PCA =∠PCB（全等三角形的对应角相等）.
又∵∠PCA +∠PCB = 180°，
∴∠PCA =∠PCB =∠90°，即 PC⊥AB.
∴ P 点在 AB 的垂直平分线上.
A
B
C
P
证法三：过 P 点作∠APB 的角平分线交 AB 于点 C.
∵AP = BP，∠APC =∠BPC，PC = PC，
∴△APC ≌△BPC（SAS）.
∴AC = BC，∠PCA =∠PCB
又∵∠PCA +∠PCB = 180°
∴∠PCA =∠PCB = 90°
∴ P 点在线段 AB 的垂直平分线上.
A
B
C
P
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
应用格式：
∵ PA = PB，
∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
总结归纳
例2 已知：如图 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段 BC.
证明：∵ AB = AC，
∴ A 在线段 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上).
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线
(两点确定一条直线).
你还有其他证明方法吗？
利用全等三角形去证明
证明：延长 AO 交 BC 于点 D.
∵ AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，
∴△ABO ≌ △ACO (SSS).
∴∠BAO ＝ ∠CAO.
∵ AB＝AC，
∴ AO⊥BC.（三线合一）
∵ OB＝OC，OD＝OD，
∴ Rt△DBO≌Rt△DCO (HL).
∴ BD＝CD.
∴ 直线 AO 垂直平分线段 BC.
试一试：已知：如图，点 E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为 C，D，连接 CD.
求证：OE 是 CD 的垂直平分线.
A
B
O
E
D
C
证明：
∵ OE 平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ DE = CE (角平分线上的点到角的两边的距离相等).
∴Rt△ODE≌Rt△OCE(HL)
∴ OE 是 CD 的垂直平分线.
步骤
还不全
已知：如图，D 是 BC 延长线上的一点，BD = BC + AC.
求证：点 C 在 AD 的垂直平分线上.
练习
A
B
C
D
证明：因为点 D 在 BC 延长线上，
所以 BD = BC + CD，
又因为 BD = BC + AC，
∴ AC = DC，
所以点 C 在 AD 的垂直平分线上.
A
B
C
D
1. 如图所示，AC = AD，BC = BD，则下列说法正确的是
　 (　　)
A. AB 垂直平分 CD
B. CD 垂直平分 AB
C.AB 与 CD 互相垂直平分
D.CD 平分∠ACB
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
2. 已知线段 AB，在平面上找到三个点 D、E、F，使
DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，这样的点的组合共有
　　　种.
无数
3. 下列说法：
① 若点 P、E 是线段 AB 的垂直平分线上两点，则 EA＝
EB，PA＝PB；
② 若 PA＝PB，EA＝EB，则直线 PE 垂直平分线段 AB；
③ 若 PA＝PB，则点 P 必是线段 AB 的垂直平分线上的点；
④ 若 EA＝EB，则经过点 E 的直线垂直平分线段 AB．
其中正确的有 （填序号）.
①②③
4. 如图，△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AC于 E，连接 BE，AB + BC = 16 cm，则△BCE 的周长是
cm.
A
B
C
D
E
16
5. 已知：如图，点 C，D 是线段 AB 外的两点，且 AC = BC，AD = BD，AB 与 CD 相交于点 O.
求证：AO = BO.
证明：∵ AC = BC，AD = BD，
∴
点 C 和点 D 在线段 AB 的垂直平分线上.
∴ CD 为线段 AB 的垂直平分线.
又 ∵ AB 与 CD 相交于点 O，
∴
AO = BO.
随堂演练
　　 1. 如图，在△ABC 中，BC = 8，AB 的中垂线交 BC 于 D，AC 的中垂线交 BC 与 E，则△ADE 的周长等于______.
8
A
B
C
D
E
　 2. 到三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）
A.三条角平分线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三边高线的交点
D.没有这样的点
B
3. 在△ABC 中，AB 的中垂线与 AC 边所在直线相交所得的锐角为 50°，则∠A 的度数为（ ）
A. 50° B. 40°
C. 40°或140° D. 40°或50°
C
4. 已知：如图，在△ABC 中，边 AB、BC 的垂直平分线交于 P. 求证：点 P 在 AC的垂直平分线上.
B
A
C
M
N
M′
N′
P
B
A
C
M
N
M′
N′
P
证明：
∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线 MN 上，
∴PA = PB.
同理 PB = PC.
∴PA = PC.
∴点 P 在 AC 的垂直平分线上;
∴ AB、BC、AC 的垂直平分线相交于点 P.
　　 5. 如图，AD⊥ BC，BD = DC，点 C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB + BD 与 DE 有什么关系？
A
B
C
D
E
　解：∵　AD⊥ BC，BD = DC，
∴　AD 是 BC 的垂直平分线，
∴　AB = AC.
　∴　AB = AC = CE.
∵　AB = CE，BD = DC，
∴　AB + BD = CD + CE.
即　AB + BD = DE .
∵　点 C 在 AE 的垂直平
分线上，
∴　AC = CE.
A
B
C
D
E
课堂小结
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
互逆命题
线段的垂直平分线的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上