小升初专题讲义：圆柱与圆锥-数学六年级下册人教版（含解析）

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小升初专题讲义：圆柱与圆锥-数学六年级下册人教版
一、选择题
1．圆锥的高一定，则它的底面积与体积（ ）。
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法判断
2．等底等高的圆柱、正方体和长方体的体积相比较（ ）。
A．正方体体积大 B．长方体体积大 C．圆柱体体积大 D．体积一样的
3．一个圆柱和一个圆锥体，底面周长比是4∶3，它们的体积比是2∶3，那么圆柱和圆锥高的最简整数比是（ ）。
A．3∶8 B．1∶8 C．8∶3 D．8∶1
4．一个等底等高的圆柱和圆锥，如果圆锥的高增加18cm，那么圆柱和圆锥的体积相等。已知圆锥的底面半径是5cm，则原来圆锥的体积是（ ）立方厘米。
A．50π B．75π C．100π D．200π
5．把一段圆柱形木材削成一个最大的圆锥，削掉的部分是20dm3。这段木材原来的体积是（ ）dm3。
A．10 B．20 C．30 D．60
6．如图，将一个半径为，高为的圆柱沿着一条直径竖直切成相同的两部分，表面积比原来增加（ ）。
A．2rh B．4rh C．2 D．4
7．如图，直角三角形与长方形分别沿一条边所在的直线为轴旋转一周，所形成的圆锥与圆柱体积的比是（ ）。
A．1∶2 B．2∶3 C．3∶2 D．4∶3
8．下列说法中正确的有几个（ ）。
①一个圆的面积与它的半径的平方成正比例关系。
②当为假分数时（m，n均为非0自然数），一定大于1
③将圆锥沿高切开，切面形状是等腰三角形。
④百分数可以看成后项为100的特殊形式的比。
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
9．有一块正方体木料的棱长是6分米。把它削成一个最大的圆锥体，要削去( )立方分米。
10．等底等高的圆柱与圆锥，圆柱与圆锥的体积比是( )，它们的体积之和是48立方分米，圆锥比圆柱的体积少( )立方分米。
11．小明有一个圆柱形玩具，它的底面半径3厘米，高是10厘米。它是用一个长方体盒子包装的，这个盒子的容积至少是( )立方厘米。
12．手工课上，丽丽打算用一块体积为188立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆柱的体积是( )立方厘米。
13．三个完全一样的圆柱能拼成一个长9厘米的圆柱，但表面积减少50.24平方厘米，原来一个圆柱的体积是( )。
14．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的高与底面半径的比是( )（用含π的式子表示）。
三、计算题
15．计算如图圆柱的表面积和体积。（单位：cm）
16．求下图所示几何体的表面积（单位：）。
17．如图是由一个圆柱体和一个圆锥体组成的零件，求它的体积。
四、解答题
18．将一个圆柱形状的物品包装盒的侧面沿虚线剪开，得到一个平行四边形（如图），这个包装盒最多能容纳物品多少立方厘米？
19．“六一”儿童节，小红和妈妈出去游玩。妈妈带了一个圆柱形水壶，从里面量底面直径是10厘米，高是16厘米。如果两人游玩期间要喝1升水，装满这壶水够喝吗？
20．李师傅用一个底面半径是2厘米，高是15厘米的圆柱形木料做一个最大的圆锥形木料，应削去多少立方厘米的木料？
21．林叔叔是环保卫士，他为树林中的小鸟们修建了一个露天饮水器，即圆柱形的蓄水池，从蓄水池里面量得底面直径是20分米，高是5分米。在水池的内部四周和底面抹水泥，抹水泥的面积是多少平方分米？
22．一个圆柱形橡皮泥，底面直径是4厘米，高是6厘米。如果把它捏成底面同样大小的圆锥，这个圆锥的高是多少厘米？
23．沙子的用途很广泛，在我们日常生活中主要用于建筑、修路等。某村修路，运回的沙子堆成了一个圆锥形，底面直径为4米，高1.5米。用这堆沙在5米宽的路面上铺2厘米厚，能铺多少米？
24．两个底面积相等的圆柱，第一个圆柱的高为4.5分米，体积为81立方分米；第二个圆柱的高为3.3分米，它的体积是多少立方分米？
25．桌子上有一个茶杯，底面直径6厘米，（如图）。
（1）为了不烫手，在这个茶杯中部贴一圈装饰带，这条装饰带宽7厘米，它的面积是多少？
（2）这个茶杯最多能装多少毫升水？合多少升？
26．下图是一张长方形铁皮，剪下两端两个圆和中间那块长方形，正好能做成一个圆柱。这个圆柱的表面积是多少平方厘米？
27．如图1，某种油菜籽榨油机的漏斗是由圆柱和圆锥两部分组成的。底面半径是4分米，这两部分的高都是6分米。每立方分米油菜籽重0.5千克。
图1 图2
（1）这个漏斗最多能装多少千克油菜籽？
（2）如果张师傅打算用铁皮给这个漏斗做一个圆柱形的防尘罩（如图2，没有下底面），至少需要多少平方分米铁皮？
28．一根长10分米，横截面直径是4分米的圆柱形木头浮在水面上，亮亮发现它正好有一半露出水面。这根木头露出水面部分的面积是多少平方分米？
29．用铁皮做一根直径是50厘米，高是3米的圆柱形通风管（中空），铁皮接口处为5厘米，4根这样的通风管，至少需要铁皮多少平方米？
30．如图，一卷卫生纸的内直径是4厘米，外直径是14厘米。高是10厘米。这卷卫生纸的体积是多少立方厘米？
31．蚁狮能够挖出圆锥形的洞穴作陷阱，躲在洞六里取食落入陷阱的昆虫。一只蚁狮挖出47.1立方厘米的沙子，这个陷阱的直径是6厘米，陷阱有多深？
32．欢欢一家到餐馆吃饭，点完菜后服务员把一个沙漏摆到桌子上说：“给您计个时，沙漏漏完前您点的菜都会上桌。”欢欢发现这是一个上下均为圆锥的沙漏（如图），两个圆锥的底面直径均是10厘米，高均是6厘米，沙漏上面的圆锥装满沙子，如果每分钟漏掉10立方厘米的沙子，那么按服务员的承诺。
（1）最迟多少秒钟后点的菜会全部上完？
（2）沙漏用完后，服务人员用一个与圆锥等底等高的圆柱形包装盒对沙漏进行包装，需要用多少平方厘米的包装盒？
参考答案：
1．A
【分析】当两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量。
【详解】圆锥的体积＝×底面积×高，当圆锥的高一定时，圆锥的体积÷底面积＝×高（一定），圆锥的体积与底面积的比值一定，所以它的底面积与体积成正比例。
故答案为：A
2．D
【分析】圆柱体积＝底面积×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长＝底面积×高，长方体体积＝长×宽×高＝底面积×高，据此分析。
【详解】由分析可得：圆柱、正方体、长方体的体积都可以用底面积×高来计算，所以等底等高的圆柱、正方体、长方体的体积一样大。
故答案为：D
3．B
【分析】圆柱和圆锥的底面都是圆，知道底面周长（C＝2πr）的比也就是知道两者底面半径（直径）的比，V圆柱＝πr2h，V圆锥＝πr2h，变换公式求出圆柱和圆锥高的比，再根据比的基本性质化简整数比，据此解答。
【详解】因为C＝2πr，底面周长比是4∶3，所以圆柱和圆锥的底面半径比是4∶3。
设圆柱的底面半径是4，则圆锥的底面半径是3，圆柱的体积是2，则圆锥的体积是3
则[2÷（π×42）]∶[3÷÷（π×32）]
＝[2÷16π]∶[3×3÷9π]
＝∶
＝（）∶（）
＝1∶8
故答案为：B
4．B
【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的高增加18厘米后，圆锥与圆柱的体积相等，说明圆锥体积增加了2倍，即高增加了2倍，先算出圆锥原来的高，再根据公式：圆锥的体积＝×底面积×高，算出原来圆锥的体积，据此解答。
【详解】18÷2＝9（厘米）
×π×52×9
＝×π×25×9
＝75π（立方厘米）
即原来圆锥的体积是75π立方厘米。
故答案为：B
5．C
【分析】把一段圆柱形木材削成一个最大的圆锥，这个圆锥与圆柱等底等高。等底等高的圆锥的体积是圆柱的，把圆柱形木材体积看作单位“1”，圆柱形木材削成一个最大的圆锥，削去部分的体积占原来圆柱形木材体积的（1－），对应的是削掉部分的体积20dm3，求单位“1”，用20÷（1－），求出圆柱形木材的体积。
【详解】20÷（1－）
＝20÷
＝20×
＝30（dm3）
把一段圆柱形木材削成一个最大的圆锥，削掉的部分是20dm3。这段木材原来的体积是30dm3。
故答案为：C
6．B
【分析】圆柱沿着一条直径竖直切成相同的两部分，增加了两个切面，这两个切面是以圆柱的高为长，直径为宽的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，即可求出增加的两个切面的面积，也就是表面积比原来增加的面积，据此解答。
【详解】直径：2×r＝2r
h×2r×2＝4rh
即表面积比原来增加4rh。
故答案为：B
7．D
【分析】由题可得，圆锥的底面半径是6，高是2，圆柱的底面半径是3，高是2。根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式分别求出圆锥、圆柱的体积，进而求出它们体积的比。
【详解】[×3.14×62×2]∶（3.14×32×2）
＝[×3.14×36×2]∶（3.14×9×2）
＝75.36∶56.52
＝4∶3
即所形成的圆锥与圆柱体积的比是4∶3。
故答案为：D
8．B
【分析】①判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此判断；
②假分数的意义：分子大于或等于分母的分数叫做假分数，据此判断；
③根据圆锥的特征，圆锥沿高切成两部分，切面是以底面直径为底，以圆锥的高为高的等腰三角形，据此判断；
④百分数表示一个数是另一个数的百分之几，也叫做百分率或百分比，根据分数与比的关系，据此判断。
【详解】①圆的面积＝π×半径2，圆的面积÷半径2＝π（一定），圆的面积与它的半径的平方成正比例，原题干说法正确。
②当为假分数时，（m、n均为非0自然数），≥1，原题干说法错误。
③根据圆锥的特征可知，将圆锥沿高切开，切面形状是等腰三角形，原题干说法正确。
④百分数的分母是100的特殊分数，根据分数与比的关系，分数的分母相当与比的后项，所以百分数可以看成后项为100的特殊形式的比。
①③④说法正确。
正确的有3个。
故答案为：B
9．159.48
【分析】将正方体削成一个最大的圆锥体，圆锥的底面直径和高都等于正方体棱长，要削去的体积＝正方体体积－圆锥体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，圆锥体积＝底面积×高÷3，据此列式计算。
【详解】6×6×6－3.14×（6÷2）2×6÷3
＝216－3.14×32×6÷3
＝216－3.14×9×6÷3
＝216－56.52
＝159.48（立方分米）
要削去159.48立方分米。
10． 3∶1 24
【分析】根据等底等高的圆柱与圆锥，圆柱的体积是圆锥的3倍，体积之和就是圆锥的4倍，用48÷4，即可求出圆锥的体积。圆锥体积乘3即可求出圆柱体积，圆柱体积减去圆锥体积，即体积差。
【详解】48÷（3＋1）
＝48÷4
＝12（立方分米）
12×3－12
＝36－12
＝24（立方分米）
等底等高的圆柱与圆锥，圆柱与圆锥的体积比是3∶1，它们的体积之和是48立方分米，圆锥比圆柱的体积少24立方分米。
11．360
【分析】长方体的长和宽都等于圆柱底面直径，长方体高＝圆柱的高，根据长方体体积＝长×宽×高，求出容积即可。
【详解】3×2＝6（厘米）
6×6×10
＝36×10
＝360（立方厘米）
这个盒子的容积至少是360立方厘米。
12．141
【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积是3份，用它们的体积和除以份数和就是圆锥的体积，再用圆锥的体积乘3就是圆柱的体积。
【详解】188÷（1＋3）×3
＝188÷4×3
＝47×3
＝141（立方厘米）
圆柱的体积是141立方厘米。
13．37.68立方厘米/37.68cm3
【分析】根据题意，把三个完全一样的圆柱能拼成一个长9厘米的圆柱，那么表面积减少了4个圆柱的底面积；用减少的表面积除以4，即可求出圆柱的底面积；
拼成的圆柱的高是原来一个圆柱高的3倍，据此求出原来一个圆柱的高；
最后根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出原来一个圆柱的体积。
【详解】圆柱的底面积：
50.24÷4＝12.56（平方厘米）
原来一个圆柱的高：
9÷3＝3（厘米）
原来一个圆柱的体积：
12.56×3＝37.68（立方厘米）
原来一个圆柱的体积是37.68立方厘米。
14．2π∶1
【分析】若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则该圆柱的底面周长等于圆柱的高，假设圆柱的底面半径为r，再结合圆的周长公式：C＝2πr，据此进行计算即可。
【详解】2πr∶r
＝（2πr÷r）∶（r÷r）
＝2π∶1
则这个圆柱的高与底面半径的比是2π∶1。
15．100.48平方厘米；75.36立方厘米
【分析】由图可知这个圆柱的底面直径是4cm，高是6cm，可以得出圆柱底面半径是2cm，再依据圆柱的表面积公式：S＝，和圆柱的体积公式：V＝，代入数据计算即可求解。
【详解】4÷2＝2（cm）
＝100.48（cm2）
＝
＝
＝75.36（cm3）
圆柱的表面积是：100.48cm2，圆柱的体积是：75.36cm3。
16．168.84
【分析】观察图形可知，图形的表面积等于正方体表面积与圆柱侧面积之和，再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，圆柱侧面积＝底面周长×高，进行解答即可。
【详解】正方体表面积：
（cm2）
圆柱侧面积：
（cm2）
几何体表面积：
17．50.24cm3
【分析】如图，圆柱、圆锥的底面半径相等都是2cm，圆柱、圆锥的高相等都是3cm，圆柱的体积公式是，据此可以求出圆柱的体积。等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一，据此圆锥体积可求，组合图形的体积是两部分体积之和，据此解答。
【详解】
（cm3）
它的体积是50.24cm3。
18．75.36立方厘米
【分析】根据题意，把一个圆柱形包装盒的侧面沿虚线剪开，得到一个平行四边形，那么圆柱的底面周长等于平行四边形的底，圆柱的高等于平行四边形的高；
先根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径；
再根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，求出这个包装盒最多能容纳物品的体积。
【详解】圆柱的底面半径：
12.56÷3.14÷2
＝4÷2
＝2（厘米）
圆柱的容积：
3.14×22×6
＝3.14×4×6
＝75.36（立方厘米）
答：这个包装盒最多能容纳物品75.36立方厘米。
19．装满这壶水够喝
【分析】根据圆柱体的体积公式：V＝Sh＝π（d÷2）2h，求出这个保温杯的容积，再和1升进行比较，如果保温杯的容积大于1升就够喝，否则就不够喝，注意根据1升＝1立方分米＝1000立方厘米进行单位换算。
【详解】壶的容积：
（立方厘米）
＝1.256（升）
1.256升＞1升
答：装满这壶水够喝。
【点睛】本题考查圆柱的体积、体积和容积的单位换算，解答本题的关键是掌握圆柱的体积计算公式。
20．125.6立方厘米
【分析】做成的最大圆锥形木料与圆柱形木料等底等高，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，圆柱体积－圆锥体积＝削去的体积，据此列式解答。
【详解】3.14×22×15－3.14×22×15÷3
＝3.14×4×15－3.14×4×15÷3
＝3.14×4×（15－15÷3）
＝12.56×（15－5）
＝12.56×10
＝125.6（立方厘米）
答：应削去125.6立方厘米的木料。
21．628平方分米
【分析】由于蓄水池无盖，剩余只求这个圆柱的一个底面和侧面积的总和，根据圆柱的侧面积公式：S＝Ch，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。
【详解】20×3.14×5＋3.14×（20÷2）2
＝62.8×5＋3.14×100
＝314＋314
＝628（平方分米）
答：抹水泥的面积是628平方分米。
22．18厘米
【分析】根据题意，把一个圆柱形橡皮泥捏成底面同样大小的圆锥，那么这个圆锥和圆柱等体积等底面积；
根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，圆柱的高h柱＝V÷S，圆锥的高h锥＝3V÷S，所以当圆锥和圆柱等体积等底面积时，圆锥的高是圆柱高的3倍，据此解答。
【详解】6×3＝18（厘米）
答：这个圆锥的高是18厘米。
23．62.8米
【分析】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出沙子体积，铺在路上的形状是长方体，铺的长度相当于长方体的长，根据长方体的长＝体积÷宽÷高，列式解答即可。
【详解】3.14×（4÷2）2×1.5÷3
＝3.14×22×1.5÷3
＝3.14×4×1.5÷3
＝6.28（立方米）
2厘米＝0.02米
6.28÷5÷0.02＝62.8（米）
答：能铺62.8米。
24．59.4立方分米
【分析】因为两个圆柱的底面积相等，已知其中一个圆柱的体积和高，就能求出它们的底面积，根据圆柱的体积＝底面积×高，就可以求出另一个圆柱的体积。
【详解】S底＝V1÷h1＝81÷4.5＝18（平方分米）
V2＝S底h2＝18×3.3＝59.4（立方分米）
答：第二个圆柱的体积是59.4立方分米。
25．（1）131.88平方厘米
（2）452.16毫升水；0.45216升
【分析】（1）求装饰带的面积，就是求一个底面直径为6厘米、高为7厘米的圆柱的侧面积；
根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，即可求出装饰带的面积。
（2）求这个茶杯最多能装水的量，就是求圆柱的容积；根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，代入数据计算求解。
注意单位的换算：1立方厘米＝1毫升，1升＝1000毫升。
【详解】（1）3.14×6×7
＝18.84×7
＝131.88（平方厘米）
答：它的面积是131.88平方厘米。
（2）3.14×（6÷2）2×16
＝3.14×32×16
＝3.14×9×16
＝452.16（立方厘米）
452.16立方厘米＝452.16毫升
452.16毫升＝0.45216升
答：这个茶杯最多能装452.16毫升水，合0.45216升。
26．1884平方厘米
【分析】根据题意，是需要求圆柱体的表面积，圆柱的高等于圆的直径，依据表面积的计算公式：S圆柱体＝2πr ＋2πrh
将数值代入计算出结果即可。
【详解】S圆柱体＝2πr ＋2πrh
＝2×3.14×102＋2×3.14×10×（10×2）
＝6.28×100＋6.28×10×（10×2）
＝628＋62.8×20
＝628＋1256
＝1884（平方厘米）
答：这个圆柱的表面积是1884平方厘米。
27．（1）200.96千克
（2）455.3平方分米
【分析】（1）漏斗的容积＝圆柱的容积＋圆锥的容积，圆柱的容积＝底面积×高，圆锥的容积＝底面积×高÷3，据此求出漏斗的容积，漏斗的容积×每立方分米油菜籽的质量＝漏斗最多装的油菜籽质量。
（2）防尘罩没有下底面，防尘罩的表面积＝底面积＋侧面积，侧面积＝底面周长×高，据此列式解答。
【详解】（1）3.14×42×6＋3.14×42×6÷3
＝3.14×16×6＋3.14×16×6÷3
＝301.44＋100.48
＝401.92（立方分米）
401.92×0.5＝200.96（千克）
答：这个漏斗最多能装200.96千克油菜籽。
（2）3.14×（10÷2）2＋3.14×10×12
＝3.14×52＋376.8
＝3.14×25＋376.8
＝78.5＋376.8
＝455.3（平方分米）
答：至少需要455.3平方分米铁皮。
28．75.36平方分米
【分析】看图可知，露出水面部分两头可以拼成一个完整的底面，露出水面部分的面积＝底面积＋侧面积÷2，侧面积＝底面周长×高，据此列式解答。
【详解】3.14×（4÷2）2＋3.14×4×10÷2
＝3.14×22＋62.8
＝3.14×4＋62.8
＝12.56＋62.8
＝75.36（平方分米）
答：这根木头露出水面部分的面积是75.36平方分米。
29．19.44平方米
【分析】圆柱形通风管只有一个侧面，圆柱的侧面积＝底面周长×高＝πdh。铁皮接口处为5厘米，则一根通风管所需铁皮的底面周长应是（3.14×50＋5）厘米，再根据圆柱的侧面积公式求出一根通风管所需铁皮的面积，最后乘4，即可求出4根这样的通风管至少需要铁皮多少平方米。
【详解】3.14×50＋5
＝157＋5
＝162（厘米）
162厘米＝1.62米
1.62×3×4
＝4.86×4
＝19.44（平方米）
答：至少需要铁皮19.44平方米。
30．1413立方厘米
【分析】这卷卫生纸的体积等于外直径为14厘米的圆柱体积减去里面内直径为4厘米的圆柱体积，利用圆柱体积＝分别求出这两个圆柱的体积，再相减即可。
【详解】
（立方厘米）
答：卷卫生纸的体积是1413立方厘米。
31．5厘米
【分析】求陷阱的深度，就是求这个圆锥形的洞穴的高度，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，高＝体积÷（底面积×），代入数据，即可解答。
【详解】47.1÷[3.14×（6÷2）2×]
＝47.1÷[3.14×32×]
＝47.1÷[3.14×9×]
＝47.1÷[28.26×]
＝47.1÷9.42
＝5（厘米）
答：陷阱深5厘米。
32．（1）942秒
（2）345.4平方厘米
【分析】（1）根据圆锥的体积公式V＝，先求出沙子的体积，再用沙子的体积除以每分钟漏掉的沙子的体积，最后进行单位换算即可。
（2）圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，圆柱的底面直径为10里，高为（2×6）厘米，解答。
【详解】10÷2＝5（厘米）
×3.14×52×6
＝3.14×25×（6×）
＝78.5×2
＝157（立方厘米）
157÷10＝15.7（分）
15.7分＝942秒
答：最迟942秒钟后点的菜会全部上完。
（2）3.14×10×6＋3.14×52×2
＝31.4×6＋3.14×25×2
＝188.4＋157
＝345.4（平方厘米）
答：需要用345.4平方厘米的包装盒。
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