小升初专题讲义：式与方程-数学六年级下册人教版（含解析）

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小升初专题讲义：式与方程-数学六年级下册人教版
一、选择题
1．下列式子中，方程有（ ）个。
①；②；③；④；⑤
A．1 B．2 C．3 D．4
2．每个足球元，小明买了5个，付出200元，找回5元。下面的方程中不正确的是（ ）。
A． B． C． D．
3．营养学专家建议：儿童每天水的摄入量不应少于1500毫升。乐乐用同一个杯子每天需要喝3杯再多240毫升才正好达到这个标准，乐乐的水杯可以装水多少毫升？如果设这个水杯可以装水x毫升，下面方程正确的是（ ）。
A． B． C． D．以上都不对
4．今年哥哥x岁，妹妹（x－3）岁，再过5年，他们相差（ ）岁。
A．x－3 B．2 C．3 D．5
5．小马虎在计算8×（A＋1.25）时，漏看了括号，算成8×A＋1.25，这样得到的结果与正确答案相差了（ ）。
A．1.25 B．10 C．8.75 D．无法确定
6．下列选项中，不能用2n＋2表示的是（ ）。
A．线段的总长度：
B．长方形的周长：
C．平行四边形的面积：
D．两种书一共的本数：
二、填空题
7．爷爷锻炼身体时每分钟走v米，1千米需要走( )分钟。
8．小敏今年w岁，比妈妈小28岁，妈妈今年( )岁。
9．长途汽车从起点出发时车上有48名乘客，中途下车x人，又上来y人，到终点的时候车上有( )人。
10．一个数的75%比这个数的25%多12，这个数是( )。
11．如果ab·cd×9＝dc·ba，那么a＝( )，b＝( )，c＝( )，d＝( )。
12．两辆汽车从相距350km的两地同时开出，相向而行。甲车每小时行驶72km，乙车每小时行驶68km，经过( )小时两车相遇。
13．仓库里有货物100吨，运走了12车，每车运a吨，仓库里剩下( )吨货物，当a＝5时，仓库的货物剩下( )吨。
14．用小棒按照下面所示摆图形：第一个需要6根小棒，第二个需要9根棒……摆第10个图形需要( )根小棒，摆第( )个图形需要72根小棒。
三、判断题
15．6a－8y＝21是方程。( )
16．m是非0的自然数，的商一定比2022大。( )
17．六（1）班有男生a人，女生b人，“a＋b”表示数量。( )
18．一个正方形是由两个一样大小的长方形拼成的，如果这个正方形的边长是a，那么其中一个长方形原来的周长是3×a。( )
19．已知35＋x＝30＋y，则35＋x－z＝30＋y－x。( )
20．今天上午8时的气温是9℃，中午12时的气温比上午8时高x℃，中午12时的气温是（9＋x）℃。( )
四、计算题
21．直接写得数。


22．解方程。
1.4x＋2.8x＝21 x－ 3.5x＋0.6×5＝10
五、解答题
23．张叔叔买了一套衣服花了300元钱，其中上衣的价钱是裤子的1.5倍，这套衣服的上衣和裤子各多少元？
24．甲厂有120吨玉米，乙厂有96吨玉米，如果甲厂每天用15吨玉米，乙厂每天用9吨玉米，那么多少天后，两厂剩下的玉米相等？（方程法解题）
25．甲、乙两车同时从同一地点向相反方向开出。甲车每小时行80千米，乙车每小时行60千米，几时后两车相距350千米？（用方程解答）
26．鹰的视力非常强大。鹰眼每立方厘米有视觉细胞150万个，比人眼每立方厘米的视觉细胞个数的7倍还多10万个。人眼每立方厘米有视觉细胞多少万个？
27．一个儿童玩具组装车间要完成一批儿童玩具组装任务，每天组装玩具的个数与需要的天数如下表。
每天组装数量/个 600 750 900 1200 1500
组装天数/天 30 24 20 15 12
（1）如果每天组装数量用p表示，组装天数用t表示，组装玩具总数用s表示，请你用式子表示出三者之间的关系。
（2）如果这批组装任务需要在8天内完成，每天要组装多少个玩具？（用比例解答）
28．“六一”国际儿童节前夕，工人们正抓紧生产一批造型可爱、色彩鲜艳的塑胶公仔玩具，工厂每天制作1600个，15天能全部做完。如果要在交货规定的10天期限内准时完成，工厂每天至少要制作多少个？（列方程解答）
29．买3千克茶叶和5千克糖，一共用去420元，买同样的2千克茶叶比5千克糖贵130元。每千克茶叶和每千克糖各多少元？
30．李师傅加工一批零件，第一天加工了这批零件的，第二天加工了这批零件的，还有220个没有加工，这批零件共有多少个？（列方程解答）
31．乙队原有人数是甲队的，现在甲队派10人到乙队，则乙队人数是甲队的。甲、乙两队原来有多少人？
32．“为了传承爱心精神，奉行公益理念”。“六一”国际儿童节这天，光明学校开展了“阳光义卖，志愿同行”为主题的爱心义卖活动。五年级和六年级一共获得爱心义卖金1500元，如果六年级捐出其中的30%，还比五年级多234元，五、六年级各获得多少元爱心义卖金？
33．希望小学图书室新进了一批儿童国学经典图书，其中《弟子规》和《千字文》一共85本，《弟子规》的本数是《千字文》本数的2.4倍，《弟子规》和《千字文》各有多少本？（列方程解答）
34．甲、乙两堆货物共重5.1吨，现在从甲堆中取出0.4吨货物放入乙堆，这时甲堆货物质量的40%等于乙堆货物质量的。乙堆货物原来有多少吨？
35．春节期间，某商场柜组进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照的利润定价，然后又打九折出售。
（1）商品成本是120元，商品最后应卖多少元？
（2）商品卖出后，赚了68元，商品的成本是多少元？
参考答案：
1．B
【分析】本题考查方程的辨析，含有未知数的等式叫做方程，据此判断。
【详解】根据分析可知，②⑤含有未知数且是等式，所以②⑤是方程。
故答案为：B
2．C
【分析】由题意得，每个足球元，小明买了5个，那么5个足球的钱数就是元。根据题目信息列出等量关系式为：总钱数－5个足球的钱数＝找回的钱数或5个足球的钱数＝总钱数－找回的钱数或5个足球的钱数＋找回的钱数＝总钱数。据此列出方程即可。
【详解】A．，是根据等量关系总钱数－5个足球的钱数＝找回的钱数列出的方程，该方程正确；
B．，是根据等量关系5个足球的钱数＝总钱数－找回的钱数列出的方程，该方程正确；
C．， 5个足球的钱数－总钱数＝找回的钱数，不符合题意，该方程错误；
D．，是根据等量关系5个足球的钱数＋找回的钱数＝总钱数列出的方程，该方程正确。
故答案为：C
3．C
【分析】用水杯能装的毫升数乘3可以计算出3杯水的毫升数，再加上240毫升为1500毫升；设乐乐的水杯可以装水的x毫升，列出方程：，再运用等式的性质解方程，等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；据此解答。
【详解】根据分析：
解：设乐乐的水杯可以装水x毫升。
所以乐乐的水杯可以装水420毫升，那么方程正确的是。
故答案为：C
4．C
【分析】根据年龄差不变，用哥哥今年的岁数减去妹妹今年的岁数即可解答。
【详解】x－（x－3）
＝x－x＋3
＝0＋3
＝3（岁）
哥哥与妹妹相差3岁。
故答案为：C
5．C
【分析】先根据乘法分配律将正确的式子展开，然后与错误的式子相减，求出两者的差值。
【详解】8×（A＋1.25）
＝8×A＋8×1.25
＝8A＋10
8×A＋1.25＝8A＋1.25
（8A＋10）－（8A＋1.25）
＝8A＋10－8A－1.25
＝8A－8A ＋10－1.25
＝10－1.25
＝8.75
即得到的结果与正确答案相差了8.75。
故答案为：C
6．C
【分析】将三条线段的长度相加，求出这条线段的总长度；长方形的周长＝（长＋宽）×2；平行四边形的面积＝底×高；童话书的本数比故事书的本数少2本，据此求出故事书的本数，再把两种书相加；据此解答。
【详解】A．线段的总长度是：n＋n＋2＝2n＋2，能用2n＋2表示；
B．长方形的周长是：（n＋1）×2＝2n＋2，能用2n＋2表示；
C．平行四边形的面积是：2n×2＝4n，不能用2n＋2表示；
D．两种书一共的本数：（n＋2）＋n＝2n＋2，能用2n＋2表示；
故答案为：C
7．1000÷v
【分析】路程是1千米即1000米，速度是每分钟v米，根据时间＝路程÷速度，走1千米需要的时间是（1000÷v）分钟，据此解答。
【详解】由分析得：
爷爷锻炼身体时每分钟走v米，1千米需要走（1000÷v）分钟。
8．w＋28
【分析】由题意可知，用小敏今年的岁数加上28就是妈妈今年的岁数。
【详解】小敏今年w岁，比妈妈小28岁，妈妈今年（w＋28）岁。
9．48－x＋y
【分析】根据车上原有的乘客数量，中途下车和上车的人数变化，来计算终点时车上的乘客数量。据此解答。
【详解】长途汽车出发时有48名乘客，中途下车x人，中途下车后车上还剩下（48－x）人，又上来 y 人，所以到终点时车上有（48－x＋y）人。
10．24
【分析】设这个数为x，用x×75%，求出这个数的75%是多少；用x×25%，求出这个数的25%是多少，这个数的75%－这个数的25%＝12，列方程：75%x－25%x＝12，解方程，即可解答。
【详解】解：设这个数是x。
75%x－25%x＝12
0.5x＝12
x＝12÷0.5
x＝24
一个数的75%比这个数的25%多12，这个数是24。
11． 1 0 8 9
【分析】可列出竖式，先看最高位上的a×9是否有进位，从而确定a是几，a确定了，那积的末位上的数字也是a，从而可以确定d是几，依次类推，得出答案。
【详解】如图：
列出竖式，先看最高位上的a乘9没有进位，说明a就是1；再看最低位上的d乘9得1，只有口诀“九九八十一”符合，d就是9；接着看个位b乘9没有进位，b只能是0；最后看十分位上c×9＋8＝b，则说明c乘9的末尾必须是2，由此可知c是8。
故如果ab·cd×9＝dc·ba，那么a＝1，b＝0，c＝8，d＝9。
12．2.5
【分析】设经过x小时两车相遇，甲车每小时行驶72km，x小时行驶72xkm；乙车每小时行驶68km，x小时行驶68xkm；甲车行驶的路程＋乙车行驶的路程＝两地的路程，列方程：72x＋68x＝350，解方程，即可解答。
【详解】解：设经过x小时两车相遇。
72x＋68x＝350
140x＝350
140x÷140＝350÷140
x＝2.5
两辆汽车从相距350km的两地同时开出，相向而行。甲车每小时行驶72km，乙车每小时行驶68km，经过2.5小时两车相遇。
13． 100－12a 40
【分析】用每车运的重量×运走的次数，求出运走的重量，再用仓库里的货物的重量－运走的重量，求出仓库剩下的重量，再把a＝5，代入算式中，即可解答。
【详解】100－a×12
＝（100－12a）吨
当a＝5时：
100－12×5
＝100－60
＝40（吨）
仓库里有货物100吨，运走了12车，每车运a吨，仓库里剩下（100－12a）吨货物，当a＝5时，仓库的货物剩下40吨。
14． 33 23
【分析】第1个图需要6根小棒，第2个图在第1个图的基础上增加了3根小棒，第3个图在第2个图的基础上增加了3根小棒，那么第n个图形需要的小棒个数是：6＋3×（n－1）＝3n＋3，据此给10乘3再加3，即为第10个图形需要小棒的个数。要求72根小棒摆成的图形是第几个图形，先给72减3，求出差之后再除以3即可。
【详解】3×10＋3
＝30＋3
＝33（根）
（72－3）÷3
＝69÷3
＝23（个）
第一个需要6根小棒，第二个需要9根棒……摆第10个图形需要33根小棒，摆第23个图形需要72根小棒。
15．√
【分析】根据方程的意义：含有未知数的等式叫做方程；方程必须具备两个条件：（1）含有未知数；（2）是等式，据此判断。
【详解】6a－8y＝21，既含有未知数，又是等式，所以6a－8y＝21是方程。
原题说法正确。
故答案为：√
16．×
【分析】一个数（0除外），除以小于1的数，商比原数大；一个数（0除外），除以1，商等于原数；一个数（0除外），除以大于1的数，商比原数小。据此解答。
【详解】因为m是非0的自然数，所以m＞1或m＝1；
当m＞1时，＜1，此时＞2022；
当m＝1时，＝1，此时＝2022。
所以，m是非0的自然数，的商可能比2022大，也可能等于2022。
原题说法错误。
故答案为：×
17．√
【分析】六（1）班有男生a人，女生b人，“a＋b”表示男生人数与女生人数之和，是表示数量，据此判断即可。
【详解】“a＋b”表示总人数，是数量，本题说法正确。
故答案为：√
18．√
【分析】这个正方形的边长是a，那么长方形的长也是a，两个长方形组成一个正方形，那么长方形的宽为正方形的边长的一半，即a÷2，根据长方形的周长＝长×2＋宽×2，代入数据即可。
【详解】长：a
宽：a÷2
a÷2×2＋a×2
＝a＋2a
＝3a
所以一个正方形是由两个一样大小的长方形拼成的，如果这个正方形的边长是a，那么其中一个长方形原来的周长是3×a，原说法正确。
故答案为：√
19．×
【分析】根据等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式，据此解答。
【详解】根据分析可知，已知35＋x＝30＋y，左边35＋x－z，右边30＋y－x，不是减去同一个数。所以35＋x－z≠30＋y－x。
原题干错误。
故答案为：×
20．√
【分析】中午12时的气温比上午8时高x℃，那么中午12时的气温就是在上午8时气温的基础上加上高的部分，即中午12时的气温是（9＋x）℃。据此解答。
【详解】由分析得：
今天上午8时的气温是9℃，中午12时的气温比上午8时高x℃，中午12时的气温是（9＋x）℃。这句话的说法是正确的。
故答案为：√
21．30；3；1.6；
20；10；2；
【解析】略
22．x＝5；x＝；x＝2
【分析】等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
等式的性质2：等式两边乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。
（1）先化简方程得到4.2x＝21，等号左右两边同时除以4.2，即可解出方程；
（2）方程等号左右两边同时加上，即可解出方程；
（3）先化简方程得到3.5x＋3＝10，方程等号左右两边同时减去3，等号左右两边同时除以3.5，即可解出方程。
【详解】（1）1.4x＋2.8x＝21
解：4.2x＝21
4.2x÷4.2＝21÷4.2
x＝5
（2）
解：
（3）3.5x＋0.6×5＝10
解：3.5x＋3＝10
3.5x＋3－3＝10－3
3.5x＝7
3.5x÷3.5＝7÷3.5
x＝2
23．上衣180元，裤子120元
【分析】将裤子价格设为x元，那么上衣价格是（1.5x）元。根据“上衣价格＋裤子价格＝300元”列出方程，解出裤子价格。用这套衣服总价减去裤子价格，求出上衣价格即可。
【详解】解：设裤子的价钱为x元。
1.5x＋x＝300
2.5x＝300
2.5x÷2.5＝300÷2.5
x＝120
300－120＝180（元）
答：上衣180元，裤子120元。
24．4天
【分析】设x天后，两个厂剩下的玉米相等。此时甲厂用去（15x）吨玉米，剩下（120－15x）吨。乙厂用去（9x）吨，剩下（96－9x）吨。根据两个厂剩下的玉米相等，列方程解方程即可。
【详解】解：设x天后，两厂剩下的玉米相等。
120－15x＝96－9x
120－15x＋15x＝96－9x＋15x
120＝96＋6x
96＋6x＝120
96＋6x－96＝120－96
6x＝24
6x÷6＝24÷6
x＝4
答：4天后，两厂剩下的玉米相等。
25．2.5小时
【分析】根据题意，设x小时后两车相距350千米。根据“速度×时间＝路程”，可知甲车行驶的路程为80x千米，乙车行驶的路程为60x千米，根据两车行驶路程之和是350千米，列出方程进行解答。
【详解】解：设x小时后两车相距350千米。
80x＋60x＝350
（80＋60）x＝350
140x＝350
140x÷140＝350÷140
x＝2.5
答：2.5小时后两车相距350千米。
26．20万个
【分析】由题可得等量关系式：人眼每立方厘米的视觉细胞个数×7倍＋10万个＝ 150万个，设人眼每立方厘米有视觉细胞万个，根据等量关系式可列方程：，解出方程，即可解答。
【详解】解：设人眼每立方厘米有视觉细胞万个，
答：人眼每立方厘米有视觉细胞20万个。
27．（1）
（2）2250个
【分析】（1）根据总数量一定，每天组装的数量×需要的天数＝总数量，表示出p、t和组装玩具总数s之间的关系即可。（2）这批任务的数量是一定的，所以p和t成反比例；设每天组装x个玩具，根据每天组装的数量×需要的天数＝总数量，列出反比例方程解答即可。
【详解】（1）p、t和组装玩具总数s之间的关系式：。
（2）解：设每天组装x个玩具。
答：每天要组装2250个玩具。
28．2400个
【分析】设工厂每天至少要制作x个；10天制作10x个，根据题意，工厂每天制作1600个，15天能全部做完，15天制作1600×15个，求出制作玩具的总数量，由于玩具的总数量不变，据此列方程：10x＝1600×15，解方程，即可解答。
【详解】解：设工厂每天至少要制作x个。
10x＝1600×15
10x＝24000
10x÷10＝24000÷10
x＝2400
答：工厂每天至少要制作2400个。
29．110元；18元
【分析】从题意可得：等式1：3千克茶叶价格＋5千克糖价格＝420元，等式2：2千克茶叶价格－130元＝5千克糖的价格，将等式1中的5千克糖价格替换成2千克茶叶价格－130元，得等式3：3千克茶叶价格＋2千克茶叶价格－130元＝420元。设每千克茶叶元，根据等式3列方程并求出的值，即每千克茶叶的价钱。再用（110×2－130）÷5即可求出每千克糖的价钱。
【详解】解：设每千克茶叶元。
3＋2－130＝420
5－130＝420
5－130＋130＝420＋130
5＝550
5÷5＝550÷5
＝110
（110×2－130）÷5
＝（220－130）÷5
＝90÷5
＝18（元）
答：每千克茶叶110元，每千克糖18元。
【点睛】列等量关系式和等量代换是解此题的关键。
30．400个
【分析】根据题意，设这批零件共有个，第一天加工了这批零件的，第二天加工了这批零件的，根据分数乘法的意义可知，第一天加工了个，第二天加工了个；
等量关系：这批零件的总数－第一天加工的零件个数－第二天加工的零件个数＝还没有加工的零件个数，据此列出方程，并求解。
【详解】解：设这批零件共有个。
－－＝220
（1－－）＝220
（1－－）＝220
＝220
＝220÷
＝220×
＝400
答：这批零件共有400个。
31．甲队原来有70人；乙队原来有30人
【分析】设甲队原有x人，则乙队原有x人，现在甲队派10人到乙队，则现在甲队有（x－10）人，乙队有（x＋10）人，根据等量关系：“现在的甲队的人数×＝现在的乙队人数”列方程解答即可求出甲队原来的人数，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出乙队原来的人数。
【详解】解：设甲队原有x人。
（x－10）＝x＋10
x＝70
70×＝30（人）
答：甲队原来的70人，乙队原来有30人。
【点睛】找出等量关系：“现在的甲队的人数×＝现在的乙队人数”是列方程解题的关键。
32．480元；1020元
【分析】设五年级获得x元爱心义卖金，则六年级获得（1500－x）元爱心义卖金，将六年级获得爱心义卖金看作单位“1”，捐出其中的30%，还剩（1－30%），根据六年级获得爱心义卖金×还剩的对应分率＝五年级获得爱心义卖金＋234元，列出方程求出x的值是五年级获得爱心义卖金，五年级和六年级一共获得爱心义卖金－五年级获得爱心义卖金＝六年级获得爱心义卖金。
【详解】解：设五年级获得x元爱心义卖金。
（1500－x）×（1－30%）＝x＋234
（1500－x）×0.7＝x＋234
1050－0.7x＝x＋234
1050－0.7x＋0.7x－234＝x＋234＋0.7x－234
1.7x＝816
1.7x÷1.7＝816÷1.7
x＝480
1500－480＝1020（元）
答：五、六年级各获得480元、1020元爱心义卖金
33．《弟子规》：60本；《千字文》：25本
【分析】设《千字文》本数是x本，《弟子规》的本数是《千字文》本数的2.4倍，则《弟子规》的本数2.4x本，《弟子规》和《千字文》一共85本，即《弟子规》的本数＋《千字文》的本数＝85本，列方程：2.4x＋x＝85，解方程，即可解答。
【详解】解：设《千字文》本数是x本，则《弟子规》的本数2.4x本。
2.4x＋x＝85
3.4x＝85
3.4x÷3.4＝85÷3.4
x＝25
《弟子规》：85－25＝60（本）
答：《弟子规》有60本，《千字文》有25本。
34．1.3吨
【分析】设乙堆货物现在有x吨，则甲堆货物现在有（5.1－x）吨，求一个数的几分之几或百分之几是多少用乘法，根据甲堆货物现在吨数×40%＝乙堆货物现在吨数×，列出方程求出x的值，是乙堆货物现在吨数，乙堆货物现在吨数－放入的0.4吨＝乙堆货物原来吨数。
【详解】解：设乙堆货物现在有x吨。
（5.1－x）×40%＝x
（5.1－x）×0.4＝x
2.04－0.4x＝0.8x
2.04－0.4x＋0.4x ＝0.8x＋0.4x
1.2x＝2.04
1.2x÷1.2＝2.04÷1.2
x＝1.7
1.7－0.4＝1.3（吨）
答：乙堆货物原来有1.3吨。
【点睛】关键是理解分数乘法的意义，用方程解决问题的关键是找到等量关系。
35．（1）129.6元
（2）850元
【分析】（1）将成本价看作单位“1”，定价是成本价的（1＋20%），成本价×定价对应百分率＝定价，再将定价看作单位“1”，几折就是百分之几十，定价×折扣＝最后卖价。
（2）设商品的成本是x元，成本价×定价对应百分率×折扣＝最后卖价，根据最后卖价－成本价＝赚的钱数，列出方程解答即可。
【详解】（1）120×（1＋20%）×90%
＝120×1.2×0.9
＝129.6（元）
答：商品最后应卖129.6元。
（2）解：设商品的成本是x元。
x×（1＋20%）×90%－x＝68
x×1.2×0.9－x＝68
1.08x－x＝68
0.08x＝68
0.08x÷0.08＝68÷0.08
x＝850（元）
答：商品的成本是850元。
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