选择必修 第二章 2.3.3 点到直线的距离公式 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
选择必修
第二章 直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.3 点到直线的距离公式
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解点到直线距离公式的推导过程，掌握点到直线的距离公式． 1.直观想象素养和逻辑推理素养.
2.会用点到直线的距离公式分析解决问题. 2.数形结合素养和数学运算素养.
温故知新
2.利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤：
1. 两点间的距离公式：
平面内两点 P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)，
.
① 原点 O (0，0) 与任一点 P (x，y) 间的距离：.
② 当直线P1P2垂直于x轴时：|| = ||；
③ 当直线P1P2垂直于y轴时：|| = ||.
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；
第二步：进行有关的代数运算
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论
新知引入
在公路附近有一家乡村饭馆,现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路.请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短
新知探究
点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足
(如图)．因此，求出垂足Q的坐标，利用两点间的距离公式求出|PQ|，就可以得到点P到直线l的距离.
,于是，
如图,已知点P(x0,y0)，直线l：Ax+By+C=0，
如何求点P到直线l的距离？
P
Q
x
y
O
l
新知探究
设A≠0，B≠0，由PQ⊥l，以及直线l的斜率为－，可得垂线PQ的斜率为，因此，垂线PQ的方程为y－y0=(x－x0)，即Bx－Ay=Bx0－Ay0.
解方程组,
方法1：(坐标法)
P
Q
x
y
O
l
得直线l与PQ的交点坐标，即垂足Q的坐标为
.
于是
.
.
因此，点P(x0，y0)到直线l:Ax＋By＋C=0的距离
可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立.
新知探究
上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离转化为两点之间的距离，思路自然但运算量较大.反思求解过程，你发现引起复杂运算的原因了吗？由此能否给出简化运算的方法？
上述方法中，若设垂直Q的坐标为(x,y),则
. ①
对于①式，你能给出它的几何意义吗？能否直接求出(x-x0)2+(y-y0)2,进而求出|PQ|呢？请你试一试！
新知探究
设A≠0，B≠0，由PQ⊥l，以及直线l的斜率为－，可得垂线PQ的斜率为，因此，垂线PQ的方程为y－y0=(x－x0)，即Bx－Ay=Bx0－Ay0.
解方程组,转化为的方程组
方法2：(整体法)
P
Q
x
y
O
l
,
③④两边分别平方后相加，得.
，
可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立.
即.
∴=.
新知探究
我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具.能否用向量方法求点到直线的距离？
如图，点P到直线l的距离，就是向量的模.
设M(x，y)是直线l上的任意一点，是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则是在
上的投影向量，||=| |.
如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量？
新知探究
方法3：(向量法)
设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是直线Ax+By+C=0上任意两点，则是直线l的方向向量.
把Ax1+By1+C=0,Ax2+By2+C=0两式相减，得
A(x2-x1)+B(y2-y1)=0.
由向量的数量积运算可知，向量(A,B)与向量(x2-x1,y2-y1)垂直.
则向量就是与直线l的方向向量垂直的单位向量.
新知探究
取，
.
.
∵点M(x,y)在直线l上，∴Ax+By+C=0，即Ax+By=-C.
∴.
因此.
从而
新知探究
，
求PM最短线段的长度|PQ|，即求d的最小值.
虽然思路简单，但运算繁琐.
比较上述几种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果；最后一种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算.除了上述方法，你还有其他推导方法吗？
方法4：(函数法)
新知探究
点P(x0，y0)到直线l:Ax＋By＋C=0的距离：
注意：用此公式时，直线方程必须先化成一般式.
点到直线的距离公式.
.
分子是P点坐标代入直线方程左边
分母是直线未知数x、y系数平方和的算术根
知新探究
【例1】求点P(－1，2)到直线l:3x=2的距离.
解：
方法1：点P(－1，2)到直线l:3x-2=0的距离
方法2：由直线l可得，,
.
∴点P(－1，2)到直线l:3x=2的距离
分析：将直线l的方程写成3x－2=0，再用点到直线的距离公式求解.
直线l有什么特性？
由此你能给出简便解法吗？
.
初试身手
1.求点P(3，－2)到下列直线的距离：
⑴; ⑵y=3; ⑶x=-1.
解：
⑴∵直线可化为3x-4y+1=0，
∴点P(3，－2)到直线的距离
.
⑵点P(3，－2)到直线y=3的距离
．
⑶点P(3，－2)到直线x=-1的距离
.
知新探究
【例2】已知△ABC的三个顶点分别是A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0),求△ABC的面积.
解：
如图，设AB边上的高为h，则
,
|AB|=,
边AB上的高为h就是点C到直线AB的距离.
边AB所在直线l的方程为，
即，
∴点C(－1，0)到x＋y－4=0的距离.
因此，.
分析：由三角形面积公式可知，只有利用距离公式求出边AB的长和边AB上的高即可.
你还有其他解法吗？
初试身手
解：
由直线方程的两点式得直线BC的方程为，
即x-2y+3=0,
点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，
．
由两点间距离公式得
2.已知点A(-1,3), B(-3,0), C(1,2)，求△ABC的面积.
|BC|=．
∴=4.
新知探究
【例3】已知点P(2，－1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2),
即kx－y－2k－1＝0，
,
∴直线l的方程为y＋1＝(x－2),即3x－4y－10＝0.
由点到直线距离公式得,
解：
解得,
故直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
初试身手
3.求过点M(－2，1)，且与A(－1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线l的方程．.
解：
方法1：当直线l斜率不存在时，不存在符合题意的直线．
当直线l斜率存在时，设所求的直线方程为y－1＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋1＝0，
由题意得
解得k＝0或k＝.
故所求的直线l方程为y＝1或x＋2y＝0.
初试身手
3.求过点M(－2，1)，且与A(－1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线l的方程．.
解：
方法2：由平面几何知识，得l∥AB或l过AB中点．
若l∥AB，
∵kAB＝，且直线l过点M(－2，1)，
∴直线l方程为x＋2y＝0
若l过AB的中点N(1，1)，又直线l过点M(－2，1)，则l的方程为y＝1.
故所求的直线l方程为y＝1或x＋2y＝0.
课堂小结
点P(x0，y0)到直线l:Ax＋By＋C=0的距离：
.
点到直线的距离公式.
应用点到直线的距离公式的关注点：
⑴直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式；
⑵直线方程Ax＋By＋C=0中，A=0或B=0公式也成立；
⑶点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用.
作业布置
作业： P77 练习 第2⑵⑶，3题
P79-80 习题2.3 第6,13，14题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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