(共64张PPT)
o
一般地，设函数 的定义域为I：
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 ， 。当 时，都有
那么就说 在这个区间上是增函数。
o
一般地，设函数 的定义域为I：
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 ， 。当 时，都有
那么就说 在这个区间上是减函数。
如果函数 在某个区间上是增
函数或减函数，那么就说函数
在这一区间具有（严格的）单调性，
这一区间叫做 的单调区间。
1.函数的单调性也叫函
数的增减性
2.函数的单调性是对某个区间而言
的,它是一个局部概念.
注：
例1 下图是定义在闭区间[-5,5]上的函
数 的图象,根据图象说出
的单调区间,以及在每一区间上,
是增函数还是减函数.
-2
1
2
3
4
5
-2
3
-3
-4
-5
-1
-1
1
2
O
-2
1
2
3
4
5
-2
3
-3
-4
-5
-1
-1
1
2
在区间[-5,-2), [1,3)上是减函数
在区间[-2,1), [3,5)上是增函数.
解:函数 的单调区间有
[-5,-2), [-2,1), [1,3), [3,5],
O
1
2
-2
-1
-1
1
o
如图,已知 的图象(包括端点),
根据图象说出函数的单调区间,以及
在每一区间上,函数是增函数还是减
函数.
如图,已知 的图象(包括端点),
根据图象说出函数的单调区间,以及
在每一区间上,函数是增函数还是减
函数.
-1
1
o
例2 证明函数 在R上是
增函数.
判定函数在某个区间上的单调性的
方法步骤:
1.设 给定的区间,且 ;
2.计算 至最简 ;
3.判断上述差的符号 ;
4.下结论(若差<0,则为增函数;
若差>0,则为减函数).
例2 证明函数 在R上是
增函数.
例2 判断函数 在R上是
增函数还是减函数.
证明函数 在R上是
减函数.
例3 证明函数 在(0,+∞)上
是减函数.
证明：设 是（0，+∞）上的任意两个
实数，且 ，则
由 ，得
又由 ， 得
于是 ，即
所以， 在（0，+∞)上是减函数.
例3 证明函数 在(-∞,0)上
是减函数.
证明：设 是（0，+∞）上的任意两个
实数，且 ，则
由 ，得
又由 ， 得
于是 ，即
所以， 在（0，+∞)上是减函数.
例3 证明函数 在(-∞,0)上
是减函数.
由 ，得
又由 ， 得
于是 ，即
所以， 在 上是减函数.
证明：设 是 上的任意两个
实数，且 ，则
（- ∞ ，0）
（- ∞ ，0 ）
判断函数 在(0, +∞)上
是增函数还是减函数
结合图象说出函数
的单调区间,以及在各个区间上是
增函数还是减函数;你能给出相应
的证明吗
f(a)
f(b)
[f(b)，f(a)]
f(x)≤M
f(x0)＝M
二、巩固练习
例1 求函数 在区间[2，6]上的最大值和最小值.
分析:由函数
(x∈[2,6])的图象可知,函数
在区间[2,6]上递减.
所以函数 在区间
[2,6]的两个端点上分别取得
最大值和最小值.
先说明函数是在区
间上的减函数，
复习一下判定函数
单调性的基本步骤。
利用函数的单调性来求函数的最大值
与最小值是一种十分常用的方法，要
注意掌握。
例2 画出函数y=2x2-5x+5的图象，并结合图象写出函数
在下列区间上的最大值与最小值.
(1) [-2,1] (2) [3,6] (3) [1,3]
解:根据题意画出如下函数图象
(1)最大值为f(-2)=23,最小值为f(1)=2;
(2)最大值为f(6)=47,最小值为f(3)=8;
(3)最大值为f(3)=8,最小值为f(5/4)=15/8.
[思路点拨] 将f(x)>0恒成立，转化为一元二次不等式x2＋2x＋a>0恒成立，最后利用二次函数的图象和性质求解．
[一点通]
(1)不等式在某区间上的恒成立问题常转化为求某熟知函数在该区间上的最值问题．即
a≥g(x)恒成立 a≥g(x)max(g(x)max表示g(x)的最大值)；
a≤g(x)恒成立 a≤g(x)min(g(x)min表示g(x)的最小值)．
(2)求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在闭区间[a，b]上的最值，首先配方找对称轴，然后判断对称轴与区间的关系，最后求最值．若对称轴在区间内，则对称轴上取得最小值，最大值在区间端点上取得；若对称轴在区间外，则函数在该区间上是单调函数，利用单调性求最值．
5．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值
范围是________．
解析：令g(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，易知
g(x)min＝g(0)＝g(2)＝0，∴a<0.
答案：(－∞，0)
6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小
值为－2，则f(x)的最大值为________．
解析：f(x)＝－(x－2)2＋4＋a，易知f(x)在[0,1]上是单调增函数，所以f(x)min＝f(0)＝a＝－2.
f(x)max＝f(1)＝3＋a＝1.
答案：1
