河北省石家庄市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题
1．（2024高二下·石家庄期末）已知集合，则（ ）
A． B．{0} C．{1} D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，
。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法，进而得出集合B，再利用交集的运算法则，进而得出集合A和集合B的交集。
2．（2024高二下·石家庄期末）已知命题 ： ， ，那么命题 的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】 原命题是全称命题，
命题 的否定是“ ， ”.
故选：A.
【分析】由全称命题的否定是特称命题即可得解.
3．（2024高二下·石家庄期末）函数在处的切线斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
则，即函数在处的切线斜率为.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用导数的几何意义求解即可.
4．（2024高二下·石家庄期末）不等式的解集为空集，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空集；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】根据题意可得：，解得-4≤a≤4，即a的取值范围[-4，4].
故答案为：A．
【分析】根据题意可得，求解a即可.
5．（2024高二下·石家庄期末）从本不同的书中选本送给个人，每人本，不同方法的种数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】解：从本不同的书中选本送给个人，每人本，不同方法的选法有种.
故答案为：B.
【分析】利用排列知识求解即可.
6．（2024高二下·石家庄期末）已知一组样本数据，根据这组数据的散点图分析x与y之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为（ ）
A． B．2.45 C．3.45 D．54.55
【答案】B
【知识点】回归分析；回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：将代入，可得，
则在样本点处的残差为.
故答案为：B.
【分析】根据样本点的横坐标和回归直线方程得出y的估计值，再根据残差定义计算即可.
7．（2024高二下·石家庄期末）正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.假设随机变量，可以证明，对给定的是一个只与k有关的定值，部分结果如图所示：
通过对某次数学考试成绩进行统计分析，发现考生的成绩基本服从正态分布.若共有1000名考生参加这次考试，则考试成绩在的考生人数大约为（ ）
A．341 B．477 C．498 D．683
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意，可知考生的成绩基本服从正态分布，
则考试成绩在的考生人数，即为考试成绩在的人数，
因为共有1000名考生参加这次考试，所以考试成绩在的考生人数大约为.
故答案为：B.
【分析】利用正态分布的性质计算求解即可.
8．（2024高二下·石家庄期末）某货车为某书店运送书籍，共箱，其中箱语文书、箱数学书、箱英语书．到达目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下的箱书中随机打开箱，结果是箱语文书、箱数学书，则丢失的一箱是英语书的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全概率公式；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：从剩下的箱书中随机打开箱，结果是箱语文书、箱数学书，记为事件A；
丢失的一箱是语文书，事件丢失的一箱是数学书，事件丢失的一箱是英语书，记事件，
则，
，
由贝叶斯公式可得.
故答案为：B.
【分析】由题意，先记事件，利用全概率公式求出的值，再利用贝叶斯公式可求得所求事件的概率即可.
9．（2024高二下·石家庄期末）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、因为，所以，则，故A错误；
B、因为，，所以，，，，
所以，即，故B正确；
C、因为，所以，，所以，即，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】由题意，可确定，再结合不等式性质和作差法依次判断即可.
10．（2024高二下·石家庄期末）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量，若，则
B．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是
C．已知，则
D．从一批含有10件正品 4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为
【答案】B,C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；超几何分布；二项分布；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、因为随机变量， ，
所以，解得，故A错误；
B、两位男生和两位女生随机排成一列共有种排法；两位女生不相邻用插空法，则不同的排法有种，
则两位女生不相邻的概率是，故B正确；
C、由，可得，解得，故C确；
D、设随机变量X表示取得次品的个数，则X服从超几何分布，则，故D错误．
故答案为：BC．
【分析】利用二项分布的数学期望和方差的公式即可判断A；根据古典概型的概率公式及排列组合知识即可判断B；利用排列数和组合数的计算即可判断C；利用超几何分布的概率即可判断D.
11．（2024高二下·石家庄期末）已知函数，给出下列结论正确的是（ ）
A．函数存在4个极值点
B．
C．若点为函数图象上的两点，则
D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
【答案】A,C,D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、当时，，，
当或时，，当时，，
当时，，求导得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
函数的极大值点为，极小值点为，共4个，故A正确；
B、，即，故B错误；
C、函数在处取得极大值，而，
当时，恒有，则当时，，
函数在在处取得极小值，因此当时，，
于是，故C正确；
D、由方程，得或，
由解得，因此方程有两个不相等的实数根，
当且仅当方程有一个非0实根，
即直线与函数的图象有唯一公共点，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图所示：
由图可知，当或时，
直线与函数的图象有一个公共点，解得或，
综上可知：实数的取值范围是，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求出函数的导数并判断其单调性，判断极值点个数即可判断A；比较导数值大小即可判断B；求出两段的函数值集合即可判断C；由方程根的情况，数形结合求出的范围即可判断D.
12．（2024高二下·石家庄期末）已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为
【答案】1
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，所以，
，当且仅当，
即时等号成立，则的最大值为1.
故答案为：.
【分析】利用基本不等式求最大值即可.
13．（2024高二下·石家庄期末）二项展开式(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4= ，a1+a3+a5= .
【答案】80；122
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：因为(1+2x)5= a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，且其展开式的通项公式为
所以a4 80.
a1+a3+a5 122.
故答案为：80；122.
【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求解即可。
14．（2024高二下·石家庄期末）一个装子里面有装有大小相同的白球和黑球共10个，其中黑球有4个，现从中不放回的取球，每次取1球，在第一次取出黑球的条件下，求第二次取出白球的概率为 ．
【答案】
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：第一次取出黑球记为事件A； 第二次取出白球记为事件B，
，，则.
故答案为：.
【分析】由题意，利用条件概率公式求解即可.
15．（2024高二下·石家庄期末）某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元．为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测，检测结果如下表：
产品等级 一等品 二等品 三等品
样本数量（件） 50 30 20
（1）若从流水线上随机抽取2件产品，估计2件产品中恰有1件一等品、1件二等品的概率；
（2）若从流水线上随机抽取3件产品，记X为这3件产品中一等品的件数，为这3件产品的利润总额．
①求X的分布列；
②直接写出Y的数学期望．
【答案】（1）解：“第件产品是一等品”记为；“第件产品是二等品”记为；
“2件产品中恰有1件一等品、1件二等品”记为C；
此时，易知，
则；
（2）解：①若从流水线上随机抽取3件产品，则的所有可能取值为，
此时；；
；；
则的分布列如下：
0 1 2 3
②由①可得，的分布列如下：
则.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）由题意，利用独立事件的概率乘法公式求解即可；
（2）①由得出X的分布列；②先得出Y的分布列，再求数学期望即可．
（1）记表示“第件产品是一等品”；
记表示“第件产品是二等品”；
记C表示“2件产品中恰有1件一等品、1件二等品”；
此时，易知，
则；
（2）①若从流水线上随机抽取3件产品，则的所有可能取值为，
此时；；
；；
所以的分布列如下：
0 1 2 3
②由①可得，的分布列如下：
则.
16．（2024高二下·石家庄期末）如图是我国2014年至2022年65岁及以上老人人口数（单位：亿）的折线图
注：年份代码1-9分别对应年份2014-2022.
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数（结果精确到0.01）加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），并预测2023年我国65岁及以上老人人口数（单位：亿）.
参考数据：.
参考公式：相关系数.
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
【答案】（1）解：由折线图看出，与之间存在较强的正相关关系，理由如下：因为，，所以，
，，
所以，
，因为，所以与之间存在较强的正相关关系；
（2）解：由（1），结合题中数据可得， ，，
，则关于的回归方程，
2023年对应的值为10，故，则预测2023年我国65岁及以上老人人口数2.15亿.
【知识点】变量相关关系；线性回归方程；回归分析
【解析】【分析】（1）根据参考数据，以及相关公式求出相关系数，判断即可；
（2）根据参考公式求出回归直线方程，进而可以根据回归直线方程进行数据估计.
（1）解：由折线图看出，与之间存在较强的正相关关系，理由如下：
因为，，所以
，，
所以
，
∵，故与之间存在较强的正相关关系.
（2）由（1），结合题中数据可得，
，
，
，
∴关于的回归方程，
2023年对应的值为10，故，
预测2023年我国65岁及以上老人人口数2.15亿.
17．（2024高二下·石家庄期末）为切实提升我省儿童青少年视力健康整体水平，各中小学积极推进近视综合防控，落实“明眸”工程，开展了近视原因的调查．某校为研究本校学生的近视情况与本校学生是否有长时间使用电子产品习惯的关系，在已近视的学生中随机调查了100人，同时在未近视的学生中随机调查了100人，得到如下数据：
长时间使用电子产品 非长时间使用电子产品
近视
未近视
（1）能否有99%的把握认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关？
（2）据调查，某校患近视学生约为46%，而该校长时间使用电子产品的学生约为30%，这些人的近视率约为60%．现从每天非长时间使用电子产品的学生中任意调查一名学生，求他患近视的概率．
附：，其中．
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：零假设学生患近视与长时间使用电子产品无关，
，
因为当成立时，，所以我们有的把握认为学生患近视与长时间使用电子产品的习惯有关；
（2）解：设事件A：“长时间使用电子产品的学生”，事件B：“任意调查一人，此人患近视”，
则，，
由全概率公式得，
解得，即从每天非长时间使用电子产品的学生中任意调查一名学生，他患近视的概率为0.4.
【知识点】独立性检验；全概率公式；2×2列联表
【解析】【分析】（1）先进行零假设，再根据公式计算卡方值，与6.635比较即可得结论；
（2）先设事件，再利用全概率公式得到方程求解即可.
（1）提出假设学生患近视与长时间使用电子产品无关，
，
因为当成立时，，
所以我们有的把握认为学生患近视与长时间使用电子产品的习惯有关；
（2）设事件A：“长时间使用电子产品的学生”，事件B：“任意调查一人，此人患近视”，
则，，
由全概率公式得，
解得，
即从每天非长时间使用电子产品的学生中任意调查一名学生，他患近视的概率为0.4.
18．（2024高二下·石家庄期末）已知函数，（）．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
（3）若对任意，存在，使得，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，不等式为，整理可得，
即，解得或，
则不等式的解集为或；
（2）解： 因为任意，不等式恒成立，所以不等式的解集是，
即，解得，
则的取值范围是；
（3）解：当时，，
又，
①当，即时，对任意，，所以，不等式组无解；
②当，即时，对任意，，所以解得；
③当，即时，对任意，，
所以不等式组无解；
④当，即时，对任意，，所以，不等式组无解，
综上可知，实数的取值范围是．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【分析】（1）将代入不等式，解一元二次不等式即可；
（2）转化为一元二次不等式恒成立问题，利用求解参数的范围即可；
（3）对任意，存在，使得，转化为的值域包含于的值域.同时对值域的求解，需要根据二次函数对称轴与闭区间的相对位置进行讨论，解不等式组求解即可.
（1）当时，由得，
即，解得或．
所以不等式的解集为或．
（2）由得，
即不等式的解集是．
所以，解得．
所以的取值范围是．
（3）当时，．
又．
①当，即时，
对任意，．
所以，此时不等式组无解，
②当，即时，
对任意，．
所以解得，
③当，即时，
对任意，．
所以此时不等式组无解，
④当，即时，
对任意，．
所以此时不等式组无解．
综上，实数的取值范围是．
19．（2024高二下·石家庄期末）已知函数，
（1）若在区间上恰有一个极值点，求实数的取值范围；
（2）求的零点个数；
（3）若，求证：对于任意，恒有．
【答案】（1）解：函数定义域为，，
当时，；当时，，
则是的极小值点，因为在区间上恰有一个极值点，所以，解得，
则实数的取值范围是；
（2）解：函数的定义域为，，
当时，解得，当时，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
而当时，，即有，因此在上没有零点，
显然，即函数在上存在1个零点，
故函数的零点个数为1；
（3）证明：当时，，，
于是要证，即证，只需证，
令函数，求导得，
由，得，由，得，即在上递减，在上递增，
因此，则，，即，
所以对于任意，恒有.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求导，利用导数求出函数的极值点，结合题意列不等式求解即可；
（2）利用导数探讨函数的单调性，结合零点存在性定理判断即可；
（3）把代入，对所证不等式作等价变形，再构造函数，利用导数证明即可.
（1）函数，求导得，当时，，当时，，
因此是的极小值点，依题意，，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）函数的定义域为，求导得，
由得，由得，于是函数在上单调递减，在上单调递增，
而当时，，即有，因此在上没有零点，
显然，即函数在上存在1个零点，
所以函数的零点个数为1.
（3）当时，，，
于是要证，即证，只需证，
令函数，求导得，
由，得，由，得，即在上递减，在上递增，
因此，则，，即，
所以对于任意，恒有.
1 / 1河北省石家庄市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题
1．（2024高二下·石家庄期末）已知集合，则（ ）
A． B．{0} C．{1} D．
2．（2024高二下·石家庄期末）已知命题 ： ， ，那么命题 的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（2024高二下·石家庄期末）函数在处的切线斜率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·石家庄期末）不等式的解集为空集，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高二下·石家庄期末）从本不同的书中选本送给个人，每人本，不同方法的种数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·石家庄期末）已知一组样本数据，根据这组数据的散点图分析x与y之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为（ ）
A． B．2.45 C．3.45 D．54.55
7．（2024高二下·石家庄期末）正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.假设随机变量，可以证明，对给定的是一个只与k有关的定值，部分结果如图所示：
通过对某次数学考试成绩进行统计分析，发现考生的成绩基本服从正态分布.若共有1000名考生参加这次考试，则考试成绩在的考生人数大约为（ ）
A．341 B．477 C．498 D．683
8．（2024高二下·石家庄期末）某货车为某书店运送书籍，共箱，其中箱语文书、箱数学书、箱英语书．到达目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下的箱书中随机打开箱，结果是箱语文书、箱数学书，则丢失的一箱是英语书的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·石家庄期末）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高二下·石家庄期末）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量，若，则
B．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是
C．已知，则
D．从一批含有10件正品 4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为
11．（2024高二下·石家庄期末）已知函数，给出下列结论正确的是（ ）
A．函数存在4个极值点
B．
C．若点为函数图象上的两点，则
D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
12．（2024高二下·石家庄期末）已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为
13．（2024高二下·石家庄期末）二项展开式(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4= ，a1+a3+a5= .
14．（2024高二下·石家庄期末）一个装子里面有装有大小相同的白球和黑球共10个，其中黑球有4个，现从中不放回的取球，每次取1球，在第一次取出黑球的条件下，求第二次取出白球的概率为 ．
15．（2024高二下·石家庄期末）某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元．为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测，检测结果如下表：
产品等级 一等品 二等品 三等品
样本数量（件） 50 30 20
（1）若从流水线上随机抽取2件产品，估计2件产品中恰有1件一等品、1件二等品的概率；
（2）若从流水线上随机抽取3件产品，记X为这3件产品中一等品的件数，为这3件产品的利润总额．
①求X的分布列；
②直接写出Y的数学期望．
16．（2024高二下·石家庄期末）如图是我国2014年至2022年65岁及以上老人人口数（单位：亿）的折线图
注：年份代码1-9分别对应年份2014-2022.
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数（结果精确到0.01）加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），并预测2023年我国65岁及以上老人人口数（单位：亿）.
参考数据：.
参考公式：相关系数.
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
17．（2024高二下·石家庄期末）为切实提升我省儿童青少年视力健康整体水平，各中小学积极推进近视综合防控，落实“明眸”工程，开展了近视原因的调查．某校为研究本校学生的近视情况与本校学生是否有长时间使用电子产品习惯的关系，在已近视的学生中随机调查了100人，同时在未近视的学生中随机调查了100人，得到如下数据：
长时间使用电子产品 非长时间使用电子产品
近视
未近视
（1）能否有99%的把握认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关？
（2）据调查，某校患近视学生约为46%，而该校长时间使用电子产品的学生约为30%，这些人的近视率约为60%．现从每天非长时间使用电子产品的学生中任意调查一名学生，求他患近视的概率．
附：，其中．
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18．（2024高二下·石家庄期末）已知函数，（）．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
（3）若对任意，存在，使得，求的取值范围．
19．（2024高二下·石家庄期末）已知函数，
（1）若在区间上恰有一个极值点，求实数的取值范围；
（2）求的零点个数；
（3）若，求证：对于任意，恒有．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，
。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法，进而得出集合B，再利用交集的运算法则，进而得出集合A和集合B的交集。
2．【答案】A
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】 原命题是全称命题，
命题 的否定是“ ， ”.
故选：A.
【分析】由全称命题的否定是特称命题即可得解.
3．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
则，即函数在处的切线斜率为.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用导数的几何意义求解即可.
4．【答案】A
【知识点】空集；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】根据题意可得：，解得-4≤a≤4，即a的取值范围[-4，4].
故答案为：A．
【分析】根据题意可得，求解a即可.
5．【答案】B
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】解：从本不同的书中选本送给个人，每人本，不同方法的选法有种.
故答案为：B.
【分析】利用排列知识求解即可.
6．【答案】B
【知识点】回归分析；回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：将代入，可得，
则在样本点处的残差为.
故答案为：B.
【分析】根据样本点的横坐标和回归直线方程得出y的估计值，再根据残差定义计算即可.
7．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意，可知考生的成绩基本服从正态分布，
则考试成绩在的考生人数，即为考试成绩在的人数，
因为共有1000名考生参加这次考试，所以考试成绩在的考生人数大约为.
故答案为：B.
【分析】利用正态分布的性质计算求解即可.
8．【答案】B
【知识点】全概率公式；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：从剩下的箱书中随机打开箱，结果是箱语文书、箱数学书，记为事件A；
丢失的一箱是语文书，事件丢失的一箱是数学书，事件丢失的一箱是英语书，记事件，
则，
，
由贝叶斯公式可得.
故答案为：B.
【分析】由题意，先记事件，利用全概率公式求出的值，再利用贝叶斯公式可求得所求事件的概率即可.
9．【答案】B,C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、因为，所以，则，故A错误；
B、因为，，所以，，，，
所以，即，故B正确；
C、因为，所以，，所以，即，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】由题意，可确定，再结合不等式性质和作差法依次判断即可.
10．【答案】B,C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；超几何分布；二项分布；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、因为随机变量， ，
所以，解得，故A错误；
B、两位男生和两位女生随机排成一列共有种排法；两位女生不相邻用插空法，则不同的排法有种，
则两位女生不相邻的概率是，故B正确；
C、由，可得，解得，故C确；
D、设随机变量X表示取得次品的个数，则X服从超几何分布，则，故D错误．
故答案为：BC．
【分析】利用二项分布的数学期望和方差的公式即可判断A；根据古典概型的概率公式及排列组合知识即可判断B；利用排列数和组合数的计算即可判断C；利用超几何分布的概率即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、当时，，，
当或时，，当时，，
当时，，求导得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
函数的极大值点为，极小值点为，共4个，故A正确；
B、，即，故B错误；
C、函数在处取得极大值，而，
当时，恒有，则当时，，
函数在在处取得极小值，因此当时，，
于是，故C正确；
D、由方程，得或，
由解得，因此方程有两个不相等的实数根，
当且仅当方程有一个非0实根，
即直线与函数的图象有唯一公共点，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图所示：
由图可知，当或时，
直线与函数的图象有一个公共点，解得或，
综上可知：实数的取值范围是，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求出函数的导数并判断其单调性，判断极值点个数即可判断A；比较导数值大小即可判断B；求出两段的函数值集合即可判断C；由方程根的情况，数形结合求出的范围即可判断D.
12．【答案】1
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，所以，
，当且仅当，
即时等号成立，则的最大值为1.
故答案为：.
【分析】利用基本不等式求最大值即可.
13．【答案】80；122
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：因为(1+2x)5= a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，且其展开式的通项公式为
所以a4 80.
a1+a3+a5 122.
故答案为：80；122.
【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求解即可。
14．【答案】
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：第一次取出黑球记为事件A； 第二次取出白球记为事件B，
，，则.
故答案为：.
【分析】由题意，利用条件概率公式求解即可.
15．【答案】（1）解：“第件产品是一等品”记为；“第件产品是二等品”记为；
“2件产品中恰有1件一等品、1件二等品”记为C；
此时，易知，
则；
（2）解：①若从流水线上随机抽取3件产品，则的所有可能取值为，
此时；；
；；
则的分布列如下：
0 1 2 3
②由①可得，的分布列如下：
则.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）由题意，利用独立事件的概率乘法公式求解即可；
（2）①由得出X的分布列；②先得出Y的分布列，再求数学期望即可．
（1）记表示“第件产品是一等品”；
记表示“第件产品是二等品”；
记C表示“2件产品中恰有1件一等品、1件二等品”；
此时，易知，
则；
（2）①若从流水线上随机抽取3件产品，则的所有可能取值为，
此时；；
；；
所以的分布列如下：
0 1 2 3
②由①可得，的分布列如下：
则.
16．【答案】（1）解：由折线图看出，与之间存在较强的正相关关系，理由如下：因为，，所以，
，，
所以，
，因为，所以与之间存在较强的正相关关系；
（2）解：由（1），结合题中数据可得， ，，
，则关于的回归方程，
2023年对应的值为10，故，则预测2023年我国65岁及以上老人人口数2.15亿.
【知识点】变量相关关系；线性回归方程；回归分析
【解析】【分析】（1）根据参考数据，以及相关公式求出相关系数，判断即可；
（2）根据参考公式求出回归直线方程，进而可以根据回归直线方程进行数据估计.
（1）解：由折线图看出，与之间存在较强的正相关关系，理由如下：
因为，，所以
，，
所以
，
∵，故与之间存在较强的正相关关系.
（2）由（1），结合题中数据可得，
，
，
，
∴关于的回归方程，
2023年对应的值为10，故，
预测2023年我国65岁及以上老人人口数2.15亿.
17．【答案】（1）解：零假设学生患近视与长时间使用电子产品无关，
，
因为当成立时，，所以我们有的把握认为学生患近视与长时间使用电子产品的习惯有关；
（2）解：设事件A：“长时间使用电子产品的学生”，事件B：“任意调查一人，此人患近视”，
则，，
由全概率公式得，
解得，即从每天非长时间使用电子产品的学生中任意调查一名学生，他患近视的概率为0.4.
【知识点】独立性检验；全概率公式；2×2列联表
【解析】【分析】（1）先进行零假设，再根据公式计算卡方值，与6.635比较即可得结论；
（2）先设事件，再利用全概率公式得到方程求解即可.
（1）提出假设学生患近视与长时间使用电子产品无关，
，
因为当成立时，，
所以我们有的把握认为学生患近视与长时间使用电子产品的习惯有关；
（2）设事件A：“长时间使用电子产品的学生”，事件B：“任意调查一人，此人患近视”，
则，，
由全概率公式得，
解得，
即从每天非长时间使用电子产品的学生中任意调查一名学生，他患近视的概率为0.4.
18．【答案】（1）解：当时，不等式为，整理可得，
即，解得或，
则不等式的解集为或；
（2）解： 因为任意，不等式恒成立，所以不等式的解集是，
即，解得，
则的取值范围是；
（3）解：当时，，
又，
①当，即时，对任意，，所以，不等式组无解；
②当，即时，对任意，，所以解得；
③当，即时，对任意，，
所以不等式组无解；
④当，即时，对任意，，所以，不等式组无解，
综上可知，实数的取值范围是．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【分析】（1）将代入不等式，解一元二次不等式即可；
（2）转化为一元二次不等式恒成立问题，利用求解参数的范围即可；
（3）对任意，存在，使得，转化为的值域包含于的值域.同时对值域的求解，需要根据二次函数对称轴与闭区间的相对位置进行讨论，解不等式组求解即可.
（1）当时，由得，
即，解得或．
所以不等式的解集为或．
（2）由得，
即不等式的解集是．
所以，解得．
所以的取值范围是．
（3）当时，．
又．
①当，即时，
对任意，．
所以，此时不等式组无解，
②当，即时，
对任意，．
所以解得，
③当，即时，
对任意，．
所以此时不等式组无解，
④当，即时，
对任意，．
所以此时不等式组无解．
综上，实数的取值范围是．
19．【答案】（1）解：函数定义域为，，
当时，；当时，，
则是的极小值点，因为在区间上恰有一个极值点，所以，解得，
则实数的取值范围是；
（2）解：函数的定义域为，，
当时，解得，当时，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
而当时，，即有，因此在上没有零点，
显然，即函数在上存在1个零点，
故函数的零点个数为1；
（3）证明：当时，，，
于是要证，即证，只需证，
令函数，求导得，
由，得，由，得，即在上递减，在上递增，
因此，则，，即，
所以对于任意，恒有.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求导，利用导数求出函数的极值点，结合题意列不等式求解即可；
（2）利用导数探讨函数的单调性，结合零点存在性定理判断即可；
（3）把代入，对所证不等式作等价变形，再构造函数，利用导数证明即可.
（1）函数，求导得，当时，，当时，，
因此是的极小值点，依题意，，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）函数的定义域为，求导得，
由得，由得，于是函数在上单调递减，在上单调递增，
而当时，，即有，因此在上没有零点，
显然，即函数在上存在1个零点，
所以函数的零点个数为1.
（3）当时，，，
于是要证，即证，只需证，
令函数，求导得，
由，得，由，得，即在上递减，在上递增，
因此，则，，即，
所以对于任意，恒有.
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