四川省眉山市东坡区2023-2024学年高二下学期6月期末联合考试数学试题
1．（2024高二下·东坡期末）下列函数求导运算正确的个数为（ ）
①②③
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：①，故①错误；
②，故②正确；
③，故③正确.
故答案为：C.
【分析】根据基本初等函数的导数公式计算判断即可.
2．（2024高二下·东坡期末）已知函数（k，n为正奇数），是的导函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的四则运算；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：函数，
当时，，
求导可得，
则，
其中，
则，故.
故答案为：D.
【分析】由题意，令，求得，再求出函数的导函数，根据二项式系数的特征求出，再求即可.
3．（2024高二下·东坡期末）从5名男生和4名女生中选出3名学生参加一项活动，要求至少一名女生参加，不同的选法种数是（ ）
A．70 B．74 C．84 D．504
【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】从9名学生中任选3名，有 种选法，其中全为男生的有 种选法，
所以选出3名学生，至少有 名女生的选法有 种.
故答案为：B.
【分析】从反面考虑，从9名学生中任选3名的所有选法中去掉3名全是男生的情况，即为所求结果．
4．（2024高二下·东坡期末）身高各不同的六位同学、、、、、站成一排照相，说法不正确的是（ ）
A．、、三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B．与同学不相邻，共有种站法
C．、、三位同学必须站在一起，且只能在与的中间，共144种站法
D．不在排头，不在排尾，共有504种站法
【答案】C
【知识点】排列及排列数公式；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、6个人的全排列共有种方法，、、全排列有种方法，
则、、三位同学从左到右按照由高到矮的排列有种方法，故A正确；
B、先排其余4个人，有种方法，4个人有5个空，利用插空法将、插入5个空中，有种方法，
则共有种站法，故B正确；
C、因、、三位同学必须站在一起，且只能在与的中间的排法，则共有2种排法，
将这3人捆绑在一起，与其余3人进行全排列，共有种方法，则共有种方法，故C错误；
D、6个人全排列共有种方法，当在排头时，共有种方法，
当在排尾时，共有种方法，当在排头且在排尾时，共有种方法，
则不在排头，不在排尾的情况共有种方法，故D正确.
故答案为：C.
【分析】利用全排列和定序即可判断A；利用插空法即可判断B；利用捆绑法即可判断C；利用间接法即可判断D.
5．（2024高二下·东坡期末）已知的展开式第3项的系数是60，则下列结论中的正确个数（ ）
（1） （2）展开式中常数项是160 （3）展开式共有6项 （4）展开式所有项系数和是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：的展开式第3项为，
因为的展开式第三项的系数为60，所以，解得，故（1）正确；
展开式的通项为，
令，解得，展开式中常数项是，故（2）正确；
的展开式共有7项，故（3）错误；
令，则展开式所有项系数和为，故（4）错误.
故答案为：.
【分析】由题意，写出二项式展开式的第三项根据其系数是60求出，再利用二项式定理逐一判断即可.
6．（2024高二下·东坡期末）设，若为函数的极小值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，
，
令，解得或，
当，即时，
若时，则在，上单调递增，在上单调递减，
则是函数的极大值点，不合题意；
若时，则在，上单调递减，在上单调递增，
则是函数的极小值点，满足题意，此时由，，可得，
当，即时，
若时，在，上单调递减，在上单调递增，
则是函数的极大值点，不合题意，
若时，在，上单调递增，在上单调递减，
则是函数的极小值点，满足题意，此时由，得，
综上，一定成立.
故答案为：C.
【分析】由题意，先求导，令，解得或，再分和结合的正负讨论判断函数的极值点即可.
7．（2024高二下·东坡期末）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意，构造函数，，
因为，所以，则函数在R上单调递减，
又因为，所以，
不等式即得，即，
因为在R上单调递减，所以.
故答案为：A.
【分析】构造函数，由题意可判断函数在R上单调递减，所求不等式可整理得，即，由函数的单调性求解即可.
8．（2024高二下·东坡期末）已知函数，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
且满足，则函数是偶函数，
又，
令，则恒成立，
所以当时，，即，
又因为在上单调递增，所以，
所以在上恒成立，则在上单调递增，
令，则，
当时，解得；当时，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为，
所以，所以，所以，故.
故答案为：B.
【分析】根据函数奇偶性的定义，并求导利用导数判断函数的奇偶性与单调性，再构造函数，利用导数判断得，即可判断的大小关系.
9．（2024高二下·东坡期末）下列说法中正确的有（ ）
A．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是58；
B．5名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数有种；
C．壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各1张，一共可以组成15种币值；
D．将4名医生志愿者分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院至少去1人），则共有20种分配方案.
【答案】A,B,C
【知识点】基本计数原理的应用；组合及组合数公式；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、从正方体的8个顶点中选4个，共有 种选法，其中有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面情况；
6个对角面有6个四点共面情况，则以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是，故A正确；
B、5个人中每个人都有3种选择，且选择的时间对别人没有影响，则不同方法的种数是，故B正确；
C、选择1张、2张、3张、4张进行组合；当选择1张时，有4种币值；
当选择2张时，有种币值；当选择3张时，有种币值；当选择4张时，有1种币值；
则一共可以组成15种币值，故C正确；
D、先将4名医生分成两组，有种方法，再分配到两家医院，有 种方法，故共有14种分配方案，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用组合的知识求解即可判断A；利用计数原理求解即可判断BC；利用分组分配求解即可判断D.
10．（2024高二下·东坡期末）已知函数，，若，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有2个零点
B．当时，恒在的上方
C．若在上单调递增，则
D．若在有2个极值点，则
【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、当时，，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，即没有零点，故A错误；
B、当时，，则，所以在上单调递增，且，
即，故B正确；
C、易知，当时，因为，，则，所以在上单调递增，符合要求；当时，则当时，，此时，所以在上单调递减，不符合要求，故C正确；
D、当时，在上恒成立，所以函数在单调递增，
所以函数在不存在极值点，
当时，在上恒成立，所以函数在单调递增，
所以函数在不存在极值点，时单调递增，即函数在至多存在一个极值点，
故D错误.
故答案为：BC．
【分析】的最小值为，即没有零点即可判断A；当时，，即，即可判断B；当时，符合要求；当时，不符合要求，即可判断C；当时，至多存在一个极值点，即可判断D.
11．（2024高二下·东坡期末） 定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．，
B．函数既有极大值又有极小值
C．函数有三个零点
D．过可以作三条直线与图象相切
【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数，求导可得，，
令，得，由函数的对称中心为，
得，且，解得，故A正确；
则，，
当或时，，当时，，
则函数在，上都单调递增，在上单调递减，
因此函数既有极大值，又有极小值，故B正确；
由于极小值，因此函数不可能有三个零点，故 C错误；
显然，若是切点，则，切线方程为；
若不是切点，设过点 的直线与图象相切于点，，
由，解得，即切点，切线方程为，
过 只可以作两条直线与图象相切，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】利用导数结合已知求出即可判断A；利用导数求出极值，结合三次函数的图象特征即可判断BC；求出切线方程即可判断D.
12．（2024高二下·东坡期末）如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有 种不同涂色方法；（用数字作答）
【答案】144
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由图可知，区域1有4种选法，区域2有3种选法，区域3有2种选法，
区域4可选剩下的一种和区域1，2所选的颜色有3种选法，
区域5从区域4剩下的2种颜色中选有2种选法，则共有种.
故答案为：144种.
【分析】根据任意两个相邻区域不同色，利用分步计数原理求解即可.
13．（2024高二下·东坡期末）以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉迟393年.那么，第9行第8个数是 .
【答案】36
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：易知，第0行的数为，
第1行的数为，
第2行的数为，
第3行的数为，
第4行的数为，
因此，第行第个数为：，
则第9行第8个数是.
故答案为：.
【分析】根据题意，结合杨辉三角，找规律求解即可.
14．（2024高二下·东坡期末）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构 形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为 ．
【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：关于的方程，两边取自然对数可得①，
对两边取自然对数，得，
即②，
因为方程①②为两个同构方程，所以，解得，
设且，则，
所以在上单调递增，故的解只有一个，
所以，则．
故答案为：.
【分析】对已知方程两侧取对数得、，利用同构求得，构造并应用导数研究单调性判断对应关系，求目标式的值即可.
15．（2024高二下·东坡期末）已知函数，且．
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）解：函数定义域为，，则，解得；
（2）解：由（1）可知函数，，
令，解得或，
当时，，即单调递增；
当时，，即单调递减；
当时，，即单调递增，
因为，，，，
所以在区间的最大值是，最小值是．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，由题意，列出关于的方程求解即可；
（2）由（1）可得函数解析之导函数判定函数的单调性，求出函数在区间上的极值和区间端点处的函数值，即可求得函数在区间上的最大值和最小值．
（1），所以，解得．
（2）由，
得，令，得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
又，，，，
所以在区间的最大值是，最小值是．
16．（2024高二下·东坡期末）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，
（1）求值和的展开式中含的项的系数.
（2）求展开式中常数项．
【答案】（1）解：由题意可知：，由二项式系数的性质可得，
的展开式的通项公式为，
令，可得，
所以含的项的系数为；
（2）解：因为，
由（1）可知的展开式的通项公式为，
所以常数项为.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据二项式系数可得，结合二项式定理求常数项即可；
（2）由题意可得，结合（1）中结论分析求解即可.
（1）由题意可知：，由二项式系数的性质可得.
的展开式的通项公式为，
令，可得，
所以含的项的系数为.
（2）因为，
由（1）可知的展开式的通项公式为，
所以常数项为.
17．（2024高二下·东坡期末）从1到9的九个数字中任取三个偶数四个奇数，问：
（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？
（2）上述七位数中三个偶数排在一起的概率？
（3）在（1）中任意两偶数都不相邻的概率？
【答案】（1）解：能组成没有重复数字的七位数；
（2）解：上述七位数中三个偶数排在一起的概率为；
（3）解：在（1）中任意两偶数都不相邻的概率为.
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【分析】（1）利用分步计数原理，第一步在4个偶数中取3个，第二步在5个奇数中取4个，第三步得到7个数字进行排列，根据分步计数原理求解即可；
（2）上述七个数中三个偶数排在一起可以把三个偶数看出一个元素进行排列，三个偶数之间还有一个排列，得到结果； （3）上述七个数中偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，利用分布计数原理求解即可．
（1）能组成没有重复数字的七位数；
（2）上述七位数中三个偶数排在一起的概率为；
（3）在（1）中任意两偶数都不相邻的概率为.
18．（2024高二下·东坡期末）已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）当时，求在上的最小值；
（3）若在上存在零点，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，函数的定义域为，，令，则，
变化时，，的变化情况如下表：
0
单调递增 极大值 单调递减
则的极大值为：，没有极小值；
（2）解：当时，定义域为，，
令，定义域：，，
则在上是增函数，则，所以，
即在上是增函数，则.
（3）解：函数的定义域为，，
令，定义域：，，
（1）当时，，则在上是减函数，则，
当时，，则在上是减函数，，不合题意；
当时，，，则存在，使，即，
变化时，，的变化情况如下表：
0
单调递增 极大值 单调递减
则，只需，即；
（2）当时，由（1）知在上是增函数，，不合题意；
（3）当时，在上是增函数，在上是增函数，
则在上是增函数，，不合题意，
综上所述，的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域以及导函数，利用导函数求函数的极值即可；
（2）求导，利用导数判断函数的单调性求最值即可；
（3）根据的导数，对进行分类，结合函数的单调性和极值可得的取值范围.
19．（2024高二下·东坡期末）已知函数
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）解：函数，
，
令，则，
则，
当时，，
当，即，
当，即，
则函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）解：设，
，
设，
，
所以，
、若，即在上单调递减，所以，
所以当，符合题意；
、若、当，所以，，
所以，使得，即，使得，
当，即当单调递增，
所以当，不合题意，
综上，的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，令，讨论导数的符号判断函数的单调性即可；
（2）构造，计算的最大值，然后与0比较大小，得出的分界点，再对讨论即可.
（1）
令，则
则
当
当，即.
当，即.
所以在上单调递增，在上单调递减
（2）设
设
所以.
若，
即在上单调递减，所以.
所以当，符合题意.
若
当，所以.
.
所以，使得，即，使得.
当，即当单调递增.
所以当，不合题意.
综上，的取值范围为.
1 / 1四川省眉山市东坡区2023-2024学年高二下学期6月期末联合考试数学试题
1．（2024高二下·东坡期末）下列函数求导运算正确的个数为（ ）
①②③
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024高二下·东坡期末）已知函数（k，n为正奇数），是的导函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·东坡期末）从5名男生和4名女生中选出3名学生参加一项活动，要求至少一名女生参加，不同的选法种数是（ ）
A．70 B．74 C．84 D．504
4．（2024高二下·东坡期末）身高各不同的六位同学、、、、、站成一排照相，说法不正确的是（ ）
A．、、三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B．与同学不相邻，共有种站法
C．、、三位同学必须站在一起，且只能在与的中间，共144种站法
D．不在排头，不在排尾，共有504种站法
5．（2024高二下·东坡期末）已知的展开式第3项的系数是60，则下列结论中的正确个数（ ）
（1） （2）展开式中常数项是160 （3）展开式共有6项 （4）展开式所有项系数和是
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024高二下·东坡期末）设，若为函数的极小值点，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·东坡期末）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·东坡期末）已知函数，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·东坡期末）下列说法中正确的有（ ）
A．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是58；
B．5名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数有种；
C．壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各1张，一共可以组成15种币值；
D．将4名医生志愿者分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院至少去1人），则共有20种分配方案.
10．（2024高二下·东坡期末）已知函数，，若，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有2个零点
B．当时，恒在的上方
C．若在上单调递增，则
D．若在有2个极值点，则
11．（2024高二下·东坡期末） 定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．，
B．函数既有极大值又有极小值
C．函数有三个零点
D．过可以作三条直线与图象相切
12．（2024高二下·东坡期末）如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有 种不同涂色方法；（用数字作答）
13．（2024高二下·东坡期末）以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉迟393年.那么，第9行第8个数是 .
14．（2024高二下·东坡期末）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构 形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为 ．
15．（2024高二下·东坡期末）已知函数，且．
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
16．（2024高二下·东坡期末）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，
（1）求值和的展开式中含的项的系数.
（2）求展开式中常数项．
17．（2024高二下·东坡期末）从1到9的九个数字中任取三个偶数四个奇数，问：
（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？
（2）上述七位数中三个偶数排在一起的概率？
（3）在（1）中任意两偶数都不相邻的概率？
18．（2024高二下·东坡期末）已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）当时，求在上的最小值；
（3）若在上存在零点，求的取值范围.
19．（2024高二下·东坡期末）已知函数
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：①，故①错误；
②，故②正确；
③，故③正确.
故答案为：C.
【分析】根据基本初等函数的导数公式计算判断即可.
2．【答案】D
【知识点】导数的四则运算；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：函数，
当时，，
求导可得，
则，
其中，
则，故.
故答案为：D.
【分析】由题意，令，求得，再求出函数的导函数，根据二项式系数的特征求出，再求即可.
3．【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】从9名学生中任选3名，有 种选法，其中全为男生的有 种选法，
所以选出3名学生，至少有 名女生的选法有 种.
故答案为：B.
【分析】从反面考虑，从9名学生中任选3名的所有选法中去掉3名全是男生的情况，即为所求结果．
4．【答案】C
【知识点】排列及排列数公式；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、6个人的全排列共有种方法，、、全排列有种方法，
则、、三位同学从左到右按照由高到矮的排列有种方法，故A正确；
B、先排其余4个人，有种方法，4个人有5个空，利用插空法将、插入5个空中，有种方法，
则共有种站法，故B正确；
C、因、、三位同学必须站在一起，且只能在与的中间的排法，则共有2种排法，
将这3人捆绑在一起，与其余3人进行全排列，共有种方法，则共有种方法，故C错误；
D、6个人全排列共有种方法，当在排头时，共有种方法，
当在排尾时，共有种方法，当在排头且在排尾时，共有种方法，
则不在排头，不在排尾的情况共有种方法，故D正确.
故答案为：C.
【分析】利用全排列和定序即可判断A；利用插空法即可判断B；利用捆绑法即可判断C；利用间接法即可判断D.
5．【答案】B
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：的展开式第3项为，
因为的展开式第三项的系数为60，所以，解得，故（1）正确；
展开式的通项为，
令，解得，展开式中常数项是，故（2）正确；
的展开式共有7项，故（3）错误；
令，则展开式所有项系数和为，故（4）错误.
故答案为：.
【分析】由题意，写出二项式展开式的第三项根据其系数是60求出，再利用二项式定理逐一判断即可.
6．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，
，
令，解得或，
当，即时，
若时，则在，上单调递增，在上单调递减，
则是函数的极大值点，不合题意；
若时，则在，上单调递减，在上单调递增，
则是函数的极小值点，满足题意，此时由，，可得，
当，即时，
若时，在，上单调递减，在上单调递增，
则是函数的极大值点，不合题意，
若时，在，上单调递增，在上单调递减，
则是函数的极小值点，满足题意，此时由，得，
综上，一定成立.
故答案为：C.
【分析】由题意，先求导，令，解得或，再分和结合的正负讨论判断函数的极值点即可.
7．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意，构造函数，，
因为，所以，则函数在R上单调递减，
又因为，所以，
不等式即得，即，
因为在R上单调递减，所以.
故答案为：A.
【分析】构造函数，由题意可判断函数在R上单调递减，所求不等式可整理得，即，由函数的单调性求解即可.
8．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
且满足，则函数是偶函数，
又，
令，则恒成立，
所以当时，，即，
又因为在上单调递增，所以，
所以在上恒成立，则在上单调递增，
令，则，
当时，解得；当时，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为，
所以，所以，所以，故.
故答案为：B.
【分析】根据函数奇偶性的定义，并求导利用导数判断函数的奇偶性与单调性，再构造函数，利用导数判断得，即可判断的大小关系.
9．【答案】A,B,C
【知识点】基本计数原理的应用；组合及组合数公式；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、从正方体的8个顶点中选4个，共有 种选法，其中有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面情况；
6个对角面有6个四点共面情况，则以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是，故A正确；
B、5个人中每个人都有3种选择，且选择的时间对别人没有影响，则不同方法的种数是，故B正确；
C、选择1张、2张、3张、4张进行组合；当选择1张时，有4种币值；
当选择2张时，有种币值；当选择3张时，有种币值；当选择4张时，有1种币值；
则一共可以组成15种币值，故C正确；
D、先将4名医生分成两组，有种方法，再分配到两家医院，有 种方法，故共有14种分配方案，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用组合的知识求解即可判断A；利用计数原理求解即可判断BC；利用分组分配求解即可判断D.
10．【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、当时，，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，即没有零点，故A错误；
B、当时，，则，所以在上单调递增，且，
即，故B正确；
C、易知，当时，因为，，则，所以在上单调递增，符合要求；当时，则当时，，此时，所以在上单调递减，不符合要求，故C正确；
D、当时，在上恒成立，所以函数在单调递增，
所以函数在不存在极值点，
当时，在上恒成立，所以函数在单调递增，
所以函数在不存在极值点，时单调递增，即函数在至多存在一个极值点，
故D错误.
故答案为：BC．
【分析】的最小值为，即没有零点即可判断A；当时，，即，即可判断B；当时，符合要求；当时，不符合要求，即可判断C；当时，至多存在一个极值点，即可判断D.
11．【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数，求导可得，，
令，得，由函数的对称中心为，
得，且，解得，故A正确；
则，，
当或时，，当时，，
则函数在，上都单调递增，在上单调递减，
因此函数既有极大值，又有极小值，故B正确；
由于极小值，因此函数不可能有三个零点，故 C错误；
显然，若是切点，则，切线方程为；
若不是切点，设过点 的直线与图象相切于点，，
由，解得，即切点，切线方程为，
过 只可以作两条直线与图象相切，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】利用导数结合已知求出即可判断A；利用导数求出极值，结合三次函数的图象特征即可判断BC；求出切线方程即可判断D.
12．【答案】144
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由图可知，区域1有4种选法，区域2有3种选法，区域3有2种选法，
区域4可选剩下的一种和区域1，2所选的颜色有3种选法，
区域5从区域4剩下的2种颜色中选有2种选法，则共有种.
故答案为：144种.
【分析】根据任意两个相邻区域不同色，利用分步计数原理求解即可.
13．【答案】36
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：易知，第0行的数为，
第1行的数为，
第2行的数为，
第3行的数为，
第4行的数为，
因此，第行第个数为：，
则第9行第8个数是.
故答案为：.
【分析】根据题意，结合杨辉三角，找规律求解即可.
14．【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：关于的方程，两边取自然对数可得①，
对两边取自然对数，得，
即②，
因为方程①②为两个同构方程，所以，解得，
设且，则，
所以在上单调递增，故的解只有一个，
所以，则．
故答案为：.
【分析】对已知方程两侧取对数得、，利用同构求得，构造并应用导数研究单调性判断对应关系，求目标式的值即可.
15．【答案】（1）解：函数定义域为，，则，解得；
（2）解：由（1）可知函数，，
令，解得或，
当时，，即单调递增；
当时，，即单调递减；
当时，，即单调递增，
因为，，，，
所以在区间的最大值是，最小值是．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，由题意，列出关于的方程求解即可；
（2）由（1）可得函数解析之导函数判定函数的单调性，求出函数在区间上的极值和区间端点处的函数值，即可求得函数在区间上的最大值和最小值．
（1），所以，解得．
（2）由，
得，令，得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
又，，，，
所以在区间的最大值是，最小值是．
16．【答案】（1）解：由题意可知：，由二项式系数的性质可得，
的展开式的通项公式为，
令，可得，
所以含的项的系数为；
（2）解：因为，
由（1）可知的展开式的通项公式为，
所以常数项为.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据二项式系数可得，结合二项式定理求常数项即可；
（2）由题意可得，结合（1）中结论分析求解即可.
（1）由题意可知：，由二项式系数的性质可得.
的展开式的通项公式为，
令，可得，
所以含的项的系数为.
（2）因为，
由（1）可知的展开式的通项公式为，
所以常数项为.
17．【答案】（1）解：能组成没有重复数字的七位数；
（2）解：上述七位数中三个偶数排在一起的概率为；
（3）解：在（1）中任意两偶数都不相邻的概率为.
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【分析】（1）利用分步计数原理，第一步在4个偶数中取3个，第二步在5个奇数中取4个，第三步得到7个数字进行排列，根据分步计数原理求解即可；
（2）上述七个数中三个偶数排在一起可以把三个偶数看出一个元素进行排列，三个偶数之间还有一个排列，得到结果； （3）上述七个数中偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，利用分布计数原理求解即可．
（1）能组成没有重复数字的七位数；
（2）上述七位数中三个偶数排在一起的概率为；
（3）在（1）中任意两偶数都不相邻的概率为.
18．【答案】（1）解：当时，函数的定义域为，，令，则，
变化时，，的变化情况如下表：
0
单调递增 极大值 单调递减
则的极大值为：，没有极小值；
（2）解：当时，定义域为，，
令，定义域：，，
则在上是增函数，则，所以，
即在上是增函数，则.
（3）解：函数的定义域为，，
令，定义域：，，
（1）当时，，则在上是减函数，则，
当时，，则在上是减函数，，不合题意；
当时，，，则存在，使，即，
变化时，，的变化情况如下表：
0
单调递增 极大值 单调递减
则，只需，即；
（2）当时，由（1）知在上是增函数，，不合题意；
（3）当时，在上是增函数，在上是增函数，
则在上是增函数，，不合题意，
综上所述，的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域以及导函数，利用导函数求函数的极值即可；
（2）求导，利用导数判断函数的单调性求最值即可；
（3）根据的导数，对进行分类，结合函数的单调性和极值可得的取值范围.
19．【答案】（1）解：函数，
，
令，则，
则，
当时，，
当，即，
当，即，
则函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）解：设，
，
设，
，
所以，
、若，即在上单调递减，所以，
所以当，符合题意；
、若、当，所以，，
所以，使得，即，使得，
当，即当单调递增，
所以当，不合题意，
综上，的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，令，讨论导数的符号判断函数的单调性即可；
（2）构造，计算的最大值，然后与0比较大小，得出的分界点，再对讨论即可.
（1）
令，则
则
当
当，即.
当，即.
所以在上单调递增，在上单调递减
（2）设
设
所以.
若，
即在上单调递减，所以.
所以当，符合题意.
若
当，所以.
.
所以，使得，即，使得.
当，即当单调递增.
所以当，不合题意.
综上，的取值范围为.
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