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数学 苏（文）
§1.1 集合的概念与运算
第一章 集合与常用逻辑用语
基础知识·自主学习
题型分类·深度剖析
思想方法·感悟提高
练出高分
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征： 、 、 ．
(2)元素与集合的关系是 或 关系，用符号 或 表示．
(3)集合的表示法： 、 、 ．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
确定性
互异性
无序性
属于
不属于
∈
列举法
描述法
图示法
2.集合间的基本关系
关系 自然语言 符号语言 Venn图
子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
A B
(或B A)
A?B
(或B?A)
集合相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集
A＝B
3.集合的运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形
符号 A∪B＝ A∩B＝ UA＝
{x|x∈
A或x∈B}
{x|x∈
A且x∈B}
{x|x∈U，
且x A}
4.集合关系与运算的常用结论
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为 ，非空子集个数为 ，真子集有 个．
(2)A B A∩B＝ A∪B＝ .
2n
2n－1
2n－1
A
B
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )
(2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( )
(3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B) (A∪B)恒成立．( )
×
×
√
(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )
(5)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则M∩N＝N.( )
(6)若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<4}，则 UP＝{2}．
( )
×
√
√
[－2，－1]
{－1,0,1,2}
5
A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，
因为函数y＝f(x)＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a>0，f(0)＝－1<0，
根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数，
则这个整数为2，
所以有f(2)≤0且f(3)>0，
解析
思维点拨
解析
答案
思维升华
例1 (1)(2013·江西改编)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a等于________．
题型一 集合的基本概念
不要忽视集合中元素的互异性．
思维点拨
解析
答案
思维升华
例1 (1)(2013·江西改编)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a等于________．
题型一 集合的基本概念
当a＝0时，方程化为1＝0，无解，集合A为空集，不符合题意；
当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.
思维点拨
解析
答案
思维升华
例1 (1)(2013·江西改编)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a等于________．
题型一 集合的基本概念
思维点拨
解析
答案
思维升华
例1 (1)(2013·江西改编)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a等于________．
题型一 集合的基本概念
4
当a＝0时，方程化为1＝0，无解，集合A为空集，不符合题意；
当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.
(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；
思维点拨
解析
答案
思维升华
例1 (1)(2013·江西改编)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a等于________．
题型一 集合的基本概念
4
思维点拨
解析
答案
思维升华
例1 (1)(2013·江西改编)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a等于________．
题型一 集合的基本概念
4
(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
思维点拨
解析
答案
思维升华
例1
例1
不要忽视集合中元素的互异性．
思维点拨
解析
答案
思维升华
例1
所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.
思维点拨
解析
答案
思维升华
例1
2
思维点拨
解析
答案
思维升华
所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.
例1
2
思维点拨
解析
答案
思维升华
(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；
例1
2
思维点拨
解析
答案
思维升华
(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
跟踪训练1 (1)定义集合A，B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1·x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2}，B＝{1,2}，则A*B中的所有元素的数字之和为________．
解析 根据题意，A＝{1,2}，B＝{1,2}，则集合A*B中的元素可能为：1,2,2,4，又由集合元素的互异性，得A*B＝{1,2,4}，其所有元素之和为7.
7
(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析 因为3∈A，
所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.
当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，
此时集合A中有重复元素3，
所以m＝1不符合题意，舍去；
(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析
答案
思维升华
例2 (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0题型二 集合间的基本关系
由x2－3x＋2＝0得A＝{1,2}．
又B＝{1,2,3,4}．
∴满足A C B的集合C可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．
例2 (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0题型二 集合间的基本关系
解析
答案
思维升华
4
例2 (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0题型二 集合间的基本关系
由x2－3x＋2＝0得A＝{1,2}．
又B＝{1,2,3,4}．
∴满足A C B的集合C可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．
解析
答案
思维升华
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；
4
例2 (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0题型二 集合间的基本关系
解析
答案
思维升华
4
例2 (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0题型二 集合间的基本关系
解析
答案
思维升华
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图来直观解决这类问题．
解析
答案
思维升华
例2 (2)已知集合A＝{x|－ 2
≤x≤7}，B＝{x|m＋1当B＝ 时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠ 时，若B A，如图.
解析
答案
思维升华
例2 (2)已知集合A＝{x|－ 2
≤x≤7}，B＝{x|m＋1解得2综上,m的取值范围为m≤4.
解析
答案
思维升华
例2 (2)已知集合A＝{x|－ 2
≤x≤7}，B＝{x|m＋1解析
答案
思维升华
例2 (2)已知集合A＝{x|－ 2
≤x≤7}，B＝{x|m＋1(－∞，4]
解得2综上,m的取值范围为m≤4.
解析
答案
思维升华
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；
例2 (2)已知集合A＝{x|－ 2
≤x≤7}，B＝{x|m＋1(－∞，4]
解析
答案
思维升华
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图来直观解决这类问题．
例2 (2)已知集合A＝{x|－ 2
≤x≤7}，B＝{x|m＋1(－∞，4]
跟踪训练2 (1)设M为非空的数集，M {1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有________个．
解析 集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，集合{2}的所有子集共有2个，故满足要求的集合M共有8－2＝6(个)．
6
(2)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A B，则实数c的取值范围是_________．
解析 A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)，
[1，＋∞)
因为A B，画出数轴，如图所示，
得c≥1.
例3 (1)(2014·辽宁改编)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合 U(A∪B)等于________．
解析
答案
题型三 集合的基本运算
思维升华
∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，
∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，
例3 (1)(2014·辽宁改编)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合 U(A∪B)等于________．
题型三 集合的基本运算
在数轴上表示如图．
∴ U(A∪B)＝{x|0解析
答案
思维升华
例3 (1)(2014·辽宁改编)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合 U(A∪B)等于________．
题型三 集合的基本运算
∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，
∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，
在数轴上表示如图．
∴ U(A∪B)＝{x|0{x|0解析
答案
思维升华
一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；
集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况；
例3 (1)(2014·辽宁改编)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合 U(A∪B)等于________．
题型三 集合的基本运算
{x|0解析
答案
思维升华
例3 (2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若( UA)∩B＝ ，则m的值是________．
解析
答案
思维升华
A＝{－2，－1}，由( UA)∩B＝ ，得B A，
例3 (2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若( UA)∩B＝ ，则m的值是________．
∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠ .
∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．
解析
答案
思维升华
①若B＝{－1}，则m＝1；
例3 (2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若( UA)∩B＝ ，则m的值是________．
②若B＝{－2}，则应有
－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，
∴B≠{－2}；
解析
答案
思维升华
③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)
×(－2)＝2，由这两式得m＝2.
经检验知m＝1和m＝2符合条件．
∴m＝1或2.
例3 (2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若( UA)∩B＝ ，则m的值是________．
解析
答案
思维升华
例3 (2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若( UA)∩B＝ ，则m的值是________．
1或2
解析
答案
思维升华
③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)
×(－2)＝2，由这两式得m＝2.
经检验知m＝1和m＝2符合条件．
∴m＝1或2.
运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．
例3 (2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若( UA)∩B＝ ，则m的值是________．
1或2
解析
答案
思维升华
跟踪训练3 (1)(2014·浙江改编)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则 UA等于________．
{2}
典例：设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若B A，则实数a的取值范围是________．
易 错 分 析
解 析
温 馨 提 醒
易错警示系列1 遗忘空集致误
集合B为方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的实数根所构成的集合，由B A，可知集合B中的元素都在集合A中，在解题中容易忽视方程无解，即B＝ 的情况，导致漏解．
易 错 分 析
解 析
温 馨 提 醒
典例：设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若B A，则实数a的取值范围是________．
易错警示系列1 遗忘空集致误
典例：设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}.若B A，则实数a的取值范围是________________.
因为A＝{0，－4}，所以B A分以下三种情况：
易 错 分 析
解 析
温 馨 提 醒
易错警示系列1 遗忘空集致误
①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数之间的关系，
典例：设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}.若B A，则实数a的取值范围是________________.
易 错 分 析
解 析
温 馨 提 醒
易错警示系列1 遗忘空集致误
典例：设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}.若B A，则实数a的取值范围是________________.
②当B≠ 且B?A时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
易 错 分 析
解 析
温 馨 提 醒
易错警示系列1 遗忘空集致误
解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；
③当B＝ 时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，
典例：设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}.若B A，则实数a的取值范围是________________.
解得a<－1.
易 错 分 析
解 析
温 馨 提 醒
易错警示系列1 遗忘空集致误
(－∞，－1]∪{1}
综上所述，所求实数a的取值范围是a≤－1或a＝1.
(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．
易 错 分 析
解 析
温 馨 提 醒
典例：设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}.若B A，则实数a的取值范围是________________.
易错警示系列1 遗忘空集致误
(－∞，－1]∪{1}
(2)已知集合B，若已知A B或A∩B＝ ，则很容易忽视A＝ 而造成漏解．在解题过程中应根据集合A分三种情况进行讨论.
易 错 分 析
解 析
温 馨 提 醒
典例：设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}.若B A，则实数a的取值范围是________________.
易错警示系列1 遗忘空集致误
(－∞，－1]∪{1}
方 法 与 技 巧
1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．
2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到．
3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图，这是数形结合思想的又一体现．
失 误 与 防 范
1．解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集)．
2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．
3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．
4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.
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1
1. A＝{a,1，－1}，B＝{x,1,0}，若A＝B，则a＝________，x＝________.
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1
解析 ∵A＝B，∴a＝0，x＝－1.
－1
0
2.(2014·课标全国Ⅱ改编)设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N等于________．
解析 由x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)≤0，
解得1≤x≤2，故N＝{x|1≤x≤2}，
∴M∩N＝{1,2}．
{1,2}
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3.已知全集S＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}， SA＝{3}，则实数a等于________．
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1
3
4.设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若 UA＝{1,2}，则实数m＝________.
解析 ∵ UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}．
又A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0，－m}，
∴－m＝3，∴m＝－3.
－3
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4
5.(2013·辽宁改编)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，
B＝{x|x≤2}，则A∩B＝________.
解析 ∵A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，
∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．
(1,2]
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1
6.设全集U为整数集，集合A＝{x∈N|y＝ }，B＝{x∈Z|－12
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由题意知，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{1,2,3}，所以其真子集有： ，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．
7
7.已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∪B＝________.
解析 由x2－2x<0，得0故A∪B＝{x|x>0}．
{x|x>0}
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8.已知集合A＝{x|－1则a的取值范围为_________．
由A B得a≥0.
[0，＋∞)
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解析 用数轴表示集合 A，B(如图)
9.(2014·重庆)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则( UA)∩B＝________.
解析 U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，画出Venn图，
如图所示，阴影部分就是所要求的集合，
即( UA)∩B＝{7,9}.
{7,9}
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10.已知全集U＝R，集合A＝{x∈Z|y＝ }，B＝{x|x>5}，则A∩( UB)＝________.
解析 ∵A＝{x∈Z|x≥3}， UB＝{x|x≤5}，
∴A∩( UB)＝{3,4,5}．
{3,4,5}
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11.已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝______________.
解析 A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．
{(0,1)，(－1,2)}
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12.已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a解析 因为C∩A＝C，所以C A.
综上，a的取值范围是(－∞，－1].
(－∞，－1]
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1
1.设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S A且S∩B≠ 的集合S的个数是________.
解析 集合S的个数为26－23＝64－8＝56.
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1
2.已知集合A＝{1,2,3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为________．
解析 集合B中所满足条件的元素有(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个．
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3.若集合A＝{x|x2－9x<0，x∈N*}，B＝{y| ∈N*}，则A∩B中元素个数为________.
解析 由A得x2－9x<0，x∈N*，所以0由B得 ∈N*，即y＝1,2,4，得B＝{1,2,4}，故A∩B＝{1,2,4}.
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4.已知U＝{y|y＝log2x，x>1}，P＝{y|y＝ ，x>2}，则 UP＝________.
解析 ∵U＝{y|y＝log2x，x>1}＝{y|y>0}，
解析 由给出的定义知集合A?B的元素是由所有属于集合A但不属于集合B和属于集合B但不属于集合A的元素构成的，即A?B＝{x|x∈A且x B，或x∈B且x A}.故M?N＝{－2 011,2 012，－2 012,2 013}.
答案 {－2 011,2 012，－2 012,2 013}
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5.若x，y∈R，A＝{(x，y)|(x＋1)2＋y2＝2}，B＝{(x，y)|x＋y＋a＝0}，当A∩B≠ 时，则实数a的取值范围是________；当A∩B＝ 时，则实数a的取值范围是__________________.
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解析 观察得集合A表示的是以(－1,0)为圆心， 为半径的圆上的点，B表示的是直线x＋y＋a＝0上的点，若满足A∩B≠ ，只需直线与圆相切或相交，
－2≤a－1≤2，即－1≤a≤3；
答案 [－1,3] (－∞，－1)∪(3，＋∞)
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6.已知集合A＝{(x，y)|y＝a}，B＝{(x，y)|y＝bx＋1，b>0，b≠1}，若集合A∩B只有一个真子集，则实数a的取值范围是_________.
解析 由于集合B中的元素是指数函数y＝bx的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A∩B只有一个真子集，那么y＝bx＋1(b>0，b≠1)与y＝a的图象只能有一个交点，所以实数a的取值范围是(1，＋∞).
(1，＋∞)
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