(共17张PPT)
函数的单调性
数与形,本是相倚依
焉能分作两边飞
数无形时少直觉
形少数时难入微
数形结合百般好
隔离分家万事休
切莫忘,几何代数统一体
永远联系莫分离
—— 华罗庚
生活中的例子
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：
时间间隔 t 刚记忆完毕 20分钟后 60分钟后 8-9
小时后 1天后 2天后 6天后 一个月后
记忆量y
(百分比) 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1
以上数据表明，记忆量y是时间
间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这
些数据描绘出了著名的“艾宾浩
斯遗忘曲线”,如图.
1
2
3
t
y
o
20
40
60
80
100
北京市8月8日一天24小时内气温随时间变化曲线图
能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？
x
y
o
x
y
o
x
y
o
在某一区间内，
当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升；
当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。
局部上升或下降
下降
上升
那么就说在f(x)这个区间上是单调
减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.
O
x
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.
x
O
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.
如果对于属于定义域I内某个区间D上
的任意两个自变量的值x1,x2，
设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.
如果对于属于定义域I内某个区间D上
的任意两个自变量的值x1,x2，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函数，D称为f(x)的单调 区间.
增
当x1<
当x1<
>
单调区间
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
（1）如果函数 y =f(x)在区间D是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间D上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
判断1：函数 f (x)= x2 在 是单调增函数；
x
y
o
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函数 f (x)在R上是增函数；
（3） x 1, x 2 取值的任意性
y
x
O
1
2
f(1)
f(2)
例1
如图定义在闭区间 [-5，5] 上的函数y= f(x) 的图象，根据图象说出 y= f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上 , y= f(x)是增函数还是减函数
解：函数y= f(x)的单调区间有[-5，-2），[-2，1），[1，3），[3，5]。其中 y= f(x)在区间[-5，-2）， [1，3）上是减函数，在[-2，1）， [3，5]是增函数。
注意：函数y= f(x)在[-5，-2）∪[1，3）上不是减函数。可以说：函数y= f(x)在[-5，-2）和[1，3）上是减函数
x
o
y
1
2
3
5
-1
-2
-3
-5
-1
-2
1
2
例2
x
y
2
1
o
单调递减区间：
单调递增区间：
单调增区间
单调减区间
a>0
a<0
的对称轴为
返回
例3.证明：函数 在 上是增函数.
证明：在区间 上任取两个值 且
，且
所以函数 在区间上 是增函数.
思考：如何证明一个函数是单调递增的呢？
取值
变形
作差
定号
判断
判断函数单调性的方法步骤
①取值： 任取x1，x2，且x1②作差：f(x1)－f(x2)；
③变形：（因式分解和配方等）乘积或商式；
④定号：（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论：（即指出函数f(x)在给定的区间上的单调性）．
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
强化训练：
1.证明函数 在 是减函数
成果运用
若二次函数 在区间 上单调递增，求a的取值范围。
解：二次函数 的对称轴为 ,
由图象可知只要 ，即 即可.
o
x
y
1
x
y
1
o
小结
1、函数的单调性——增函数和减函数、 函数的单调区间.
函数y= f(x)在其单调递增区间上的图象是上升的，在单调递减区间上的图象是下降的.
2、根据函数的图象确定函数的单调性、单调区间.并注意写单调区间不要轻易用并集连接。
3、函数单调性的证明，证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 化简 → 判号 → 下结论
